Carl Friedrich Gauss
Johann Carl Friedrich Gauss 
(Gauß) (axuda · info) , nado en Brunswick, Ducado de Brunsvique-Luneburgo (Sacro Imperio Romano Xermánico), o 30 de abril de 1777 e finado en Gotinga (Reino de Hannover) o 23 de febreiro de 1855, foi un matemático alemán considerado un dos matemáticos máis grandes e influentes de toda a historia polas súas amplas contribucións en moitos eidos incluíndo a teoría dos números, álxebra, estatística, análise, xeometría diferencial, xeodesia, xeofísica, mecánica, electrostática, astronomía, teoría da matriz, e óptica.
Ás veces coñecido como Princes mathematicorum[1] (en latín, "o Príncipe dos matemáticos" ou "o Primeiro dos matemáticos") e o "máis grande matemático desde a antigüidade", Gauss ten unha influencia destacable en moitos campos da matemática e da ciencia, e considéraselle un dos científicos máis influentes da historia.[2] Das matemáticas dixo que elas eran "a raíña das ciencias".[3]
Gauss foi un neno prodixio e hai moitas anécdotas referentes á súa precocidade. Fixo os seus primeiros descubrimentos matemáticos innovadores cando aínda era adolescente e completou as Disquisitiones Arithmeticae, a súa obra magna, en 1798, á idade de 21 anos, aínda que non foi publicada ata o ano 1801. Esta obra foi fundamental para consolidar a teoría dos números como disciplina, e influíu neste campo ata hoxe en día.
Traxectoria
editarXuventude e educación
editar.jpg)
Johann Carl Friedrich Gauss naceu o 30 de abril de 1777 en Brunswick (Braunschweig), no Ducado de Brunswick-Wolfenbüttel (actualmente parte da Baixa Saxonia, Alemaña), no seo dunha familia de baixa condición social.[4] O seu pai, Gebhard Dietrich Gauss (1744-1808), desempeñou varios oficios: carniceiro, albanel, xardineiro e tesoureiro dunha caixa de pensións. Gauss caracterizaba ao seu pai como un home honorable e respectado, pero rudo e dominante en casa. Tiña experiencia en escritura e cálculo, pero a súa esposa Dorothea (1743-1839), a nai de Carl Friedrich, era case analfabeta. Carl Friedrich foi bautizado e confirmado nunha igrexa[n. 1] próxima á escola á que asistiu de neno.[5] Tivo un irmán maior do primeiro matrimonio do seu pai.
Gauss foi un neno prodixio no campo das matemáticas. Cando os mestres de primaria decatáronse das súas capacidades intelectuais, puxérono en coñecemento do Duque de Brunswick, quen o enviou ao Collegium Carolinum local,[n. 2] ao que asistiu de 1792 a 1795 con Eberhard August Wilhelm von Zimmermann como un dos seus profesores. Aos 17 anos comezou a tarefa de completar o que, ao seu xuízo, deixaran incompleto os seus predecesores na teoría de números, comezando a súa relación en profundidade coa aritmética.
As matemáticas son a raíña das ciencias e a aritmética é a raíña das matemáticas.
A partir de entón o duque concedeulle recursos para estudos de matemáticas, ciencias e linguas clásicas na Hannoveriana Universidade de Gotinga ata 1798.[2] Non se sabe por que Gauss foi a Gotinga e non á Universidade de Helmstedt, preto da súa Brunswick natal, pero suponse que a gran biblioteca de Gotinga, onde se permitía aos estudantes tomar libros prestados e levarllos a casa, foi a razón decisiva.[6] Un dos seus profesores de matemáticas foi Abraham Gotthelf Kästner, a quen Gauss chamaba "o principal matemático entre os poetas, e o principal poeta entre os matemáticos" polos seus epigramas.[7] Gauss representouno nun debuxo que mostraba unha escena dunha conferencia na que producía erros nun cálculo sinxelo. Foi profesor de astronomía de Karl Felix von Seyffer (1762-1822), con quen Gauss mantivo correspondencia tras a súa gradación; Olbers e Gauss burlábanse del na súa correspondencia. Por outra banda, tiña en alta estima a Georg Christoph Lichtenberg, o seu profesor de física, e a Christian Gottlob Heyne, a cuxas clases de clásicas Gauss asistía con pracer.[8] Compañeiros de estudos desta época foron Johann Friedrich Benzenberg, Farkas Bolyai e Heinrich Wilhelm Brandes.
A pesar de estar matriculado na universidade, é evidente que foi un autodidacta en matemáticas, xa que redescubrió varios teoremas de forma independente.[9] Tivo éxito cun gran avance nun problema xeométrico que ocupara aos matemáticos desde os días dos antigos gregos cando determinou en 1796 que o polígono regular pódese construír mediante regra e compás. Este descubrimento foi obxecto da súa primeira publicación e, en última instancia, levou a Gauss a elixir as matemáticas en lugar da filoloxía como carreira.[10] O diario matemático de Gauss mostra que, no mesmo ano, tamén foi produtivo en teoría de números. Fixo descubrimentos avanzados en aritmética modular, atopou a primeira proba da lei de reciprocidade cuadrática e ocupouse do teorema dos números primos. Moitas ideas da súa obra magna matemática Disquisitiones arithmeticae, publicada en 1801, datan desta época.
Estudante particular
editarGauss licenciouse como doutor en Filosofía en 1799. Non se graduó en Gotinga, como ás veces afírmase,[n. 3][11] senón que, a petición especial do duque de Brunswick, foi na Universidade de Helmstedt, a única universidade estatal do ducado. Alí, Johann Friedrich Pfaff avaliou a súa tese doutoral, e Gauss obtivo o título in absentia sen o exame oral posterior que se adoitaba solicitar. A continuación, o duque concedeulle os gastos de manutención como bolseiro privado en Brunswick. Gauss mostrou a súa gratitude e lealdade por este legado cando rexeitou varias chamadas da Academia de Ciencias de Rusia de San Petersburgo e da Universidade de Landshut. Máis tarde, o duque prometeulle a fundación dun observatorio en Brunswick en 1804. O arquitecto Peter Joseph Krahe realizou deseños preliminares, pero unha das guerras de Napoleón cancelou eses plans:[12] o duque foi ferido de morte na batalla de Jena en 1806. Ao ano seguinte aboliuse o ducado e Gauss deixou de recibir axuda económica. Entón recibio unha chamada da Universidade de Gotinga, institución do recentemente fundado Reino de Westfalia baixo Jérôme Bonaparte, como profesor titular e director do observatorio astronómico de Gotinga.
Estudando o cálculo de órbitas de asteroides, Gauss estableceu contacto coa comunidade astronómica de Bremen e Lilienthal, especialmente con Wilhelm Olbers, Karl Ludwig Harding e Friedrich Wilhelm Bessel, un grupo informal de astrónomos coñecido como a policía celeste.[13] Un dos seus obxectivos era descubrir outros planetas, e reuniron datos sobre asteroides e cometas como base para as investigacións de Gauss. Deste xeito, Gauss puido desenvolver novos e potentes métodos para a determinación de órbitas, que máis tarde publicou na súa obra magna astronómica Theoria motus corporum coelestium (1809).
Profesor en Göttingen
editar
Gauss chegou a Gotinga en novembro de 1807 e nos anos seguintes tivo que facer fronte á esixencia de dous mil francos do goberno de Westfalia como contribución de guerra. Sen recibir aínda o seu salario, non puido reunir esta enorme cantidade. Tanto Olbers como Laplace quixeron axudarlle co pago, pero Gauss rexeitou a súa axuda. Finalmente, unha persoa anónima de Frankfurt, que máis tarde se descubriu que era o príncipe-primado Dalberg,[14] pagou a suma.
Gauss asumiu a dirección do observatorio, de 60 anos de antigüidade, fundado en 1748 polo príncipe elector Xurxo II e construído sobre unha torre de fortificación reconvertida,[15] con instrumentos utilizables, pero en parte anticuados.[16] A construción dun novo observatorio fora aprobada en principio polo príncipe elector Xurxo III desde 1802, e o goberno de Westfalia continuou coa planificación,[17] pero o edificio non se terminou ata outubro de 1816. Contiña novos instrumentos actualizados, por exemplo dous círculos meridianos de Repsold[18] e Reichenbach,[19] e un heliómetro de Fraunhofer.[20]
A actividade científica de Gauss, ademais das matemáticas puras, pode dividirse a grandes liñas en tres períodos: nas dúas primeiras décadas do século XIX centrouse na astronomía, na terceira na xeodesia e na cuarta ocupouse da física, principalmente do magnetismo.[21]
Gauss mantívose mentalmente activo ata a súa vellez, mesmo cando sufría de gota e de infelicidade xeral. A súa última observación foi a eclipse solar do 28 de xullo de 1851.[22] O 23 de febreiro de 1855, Gauss morreu dun ataque ao corazón en Gotinga; [7] está enterrado no cemiterio de Albani desa cidade. Heinrich Ewald, xenro de Gauss, e Wolfgang Sartorius von Waltershausen, amigo íntimo e biógrafo de Gauss, pronunciaron senllos eloxios no seu funeral.
Cerebro de Gauss
editarAo día seguinte da morte de Gauss o seu cerebro foille extraído, conservado e estudado por Rudolf Wagner, quen atopou que a súa masa era lixeiramente superior á media, de 1492 g.[23][24] A área cerebral foi determinada polo fillo de Wagner Hermann na súa tese doutoral como 219588 mm2.[25] Tamén se atoparon circunvolucións moi desenvolvidas, que a principios do século XX suxeríronse como explicación da súa xenialidade.[26] Tras varias investigacións previas, un estudo de resonancia magnética de 1998, realizado no Instituto Max Planck de Química Biofísica de Gotinga, non deu ningún resultado que puidese utilizarse para explicar as súas habilidades matemáticas.[27]
En 2013, un neurobiólogo do mesmo instituto descubriu que o cerebro de Gauss mesturouse, debido a un erro de etiquetaxe, co do médico Conrad Heinrich Fuchs, falecido en Gotinga poucos meses despois que Gauss.[28] Unha investigación posterior non mostrou anomalías destacables nos cerebros de ningunha das dúas persoas. Así, todas as investigacións sobre o cerebro de Gauss ata 1998, excepto as primeiras de Rudolf e Hermann Wagner, refírense en realidade ao cerebro de Fuchs.[29]
Familia
editar
Gauss casou o 9 de outubro de 1805 con Johanna Osthoff (1780-1809).[30] Tiveron dous fillos e unha filla: Joseph (1806-1873), Wilhelmina (1808-1840) e Louis (1809-1810). Johanna faleceu o 11 de outubro de 1809, un mes despois do nacemento de Louis, que morreu uns meses máis tarde.
Gauss volveu casar ao cabo dun ano, o 4 de agosto de 1810, con Wilhelmine (Minna) Waldeck (1788-1831), amiga da súa primeira esposa. Tiveron tres fillos máis: Eugen (máis tarde Eugene) (1811-1896), Wilhelm (máis tarde William) (1813-1879) e Therese (1816-1864). Minna Gauss morreu o 12 de setembro de 1831, tras estar gravemente enferma durante máis dunha década.[31] Therese fíxose cargo da casa e coidou de Gauss durante o resto da súa vida; tras a morte do seu pai casou co actor Constantin Staufenau.[32]. A súa irmá Wilhelmina casou co orientalista Heinrich Ewald.[33] A nai de Gauss, Dorothea, viviu na súa casa desde 1817 ata a súa morte en 1839.[2]
O fillo maior, Joseph, sendo aínda colexial, axudou ao seu pai como asistente durante a súa campaña de agrimensura no verán de 1821. Tras un breve paso pola universidade, en 1824 Joseph alistouse no exército hannoveriano e en 1829 volveu axudar en tarefas de topografía. Na década de 1830 foi responsable da ampliación da rede de agrimensura ás zonas occidentais do reino. Coas súas cualificacións geodésicas abandonou o servizo e dedicouse á construción da rede ferroviaria como director dos Ferrocarrís Estatais Reais Hannoverianos. En 1836 estudou durante uns meses o sistema ferroviario dos Estados Unidos.[34][n. 4][35][36]
Eugen abandonou Gotinga en setembro de 1830 e emigrou os Estados Unidos, onde se alistou no exército durante cinco anos. Despois traballou para a American Fur Company no Medio Oeste, onde aprendeu a lingua síux. Máis tarde, trasladouse a Missouri e converteuse nun próspero home de negocios. [34] Wilhelm casou cunha sobriña do astrónomo Friedrich Bessel e tamén se trasladou a Missouri en 1837,[37] comezando como agricultor e enriquecéndose máis tarde no negocio do calzado en St. Louis.[38] Eugene e William teñen numerosos descendentes en América, pero os descendentes que quedan en Alemaña proceden todos de Joseph, xa que as fillas de Gauss non tiveron fillos.[34]
Cultura popular
editarCóntase unha das moitas lendas que hai sobre a súa precocidade: Un día o profesor de aritmética mandou sumar os cen primeiros números naturais. O mestre quería uns minutos de tranquilidade, pero transcorridos uns poucos segundos Gauss levantou a man e dixo ter a solución: os cen primeiros números naturais suman 5050. E efectivamente é así. ¿Como o fixo Gauss? Pois mentalmente deuse conta de que a suma de dous termos equidistantes era constante:
- 1 , 2 , 3 , 4 . . . . . . . . 97 , 98 , 99 , 100
- 1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 = ... = 101
Cos 100 números pódense formar 50 pares, de forma que a solución final vén dada polo produto
- 101· 50 = 5050
Gauss deducira a fórmula que dá a suma de n termos dunha progresión aritmética da que se coñecen o primeiro e o último termos:
onde a1 é o primeiro termo, an o último, e n é o número de termos da progresión.
En 1796 descubriu o método de construción do heptadecágono, e deu o criterio necesario e suficiente para que se poida debuxar un polígono.
Foi o primeiro en probar rigorosamente o Teorema Fundamental da Álxebra (disertación para a súa tese doutoral en 1799), aínda que unha proba case completa de dito teorema xa a fixera Jean Le Rond D'Alembert anteriormente.
En 1801 publicou o libro Disquisitiones Aritmeticae, con seis seccións adicadas á Teoría de números, dándolle a esta rama das matemáticas unha estrutura sistematizada. Na última sección do libro expón a súa tese doutoral. Ese mesmo ano predixo a órbita do planeta anano Ceres aproximando parámetros por mínimos cadrados.
Publicacións
editarBillete de 10 Marcos homenaxe a Gauss. |
- 1799: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. (Novas probas do teorema onde cada función integral alxébrica dunha variábel pode resolverse en factores reais de primeiro ou segundo grado). Disertación sobre o teorema fundamental da álxebra.
- 1801: Disquisitiones Arithmeticae.
- 1809: Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.
- 1827: Disquisitiones generales circa superficies curvas.
- 1843/44: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Erste Abhandlung, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Gotinga. Zweiter Band
- 1846/47: Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie. Zweite Abhandlung, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. Dritter Band.
- 1796-1814: Mathematisches Tagebuch.
Galería de imaxes
editar-
Portada do Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss. -
Retrato de Gauss no ano 1828.
Notas
editar- ↑ igrexa de Santa Catarina
- ↑ O Collegium Carolinum foi a institución precedente da Technische Hochschule Braunschweig, actual Instituto de Tecnoloxía de Braunschweig, pero na época de Gauss non equivalía a unha universidade.
- ↑ Este erro dáse, por exemplo, en Marsden (1977).[11]
- ↑ Nesta viaxe coñeceu ao geodesta Ferdinand Rudolph Hassler, correspondente científico de Carl Friedrich Gauss.
- Referencias
- ↑ Zeidler, Eberhard (2004). Oxford User's Guide to Mathematics. Oxford (Reino Unido): Oxford University Press. pp. 1188. ISBN 0198507631.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Dunnington, G. Waldo. (maio de 1927). "The Sesquicentennial of the Birth of Gauss Arquivado 26 de febreiro de 2008 en Wayback Machine.". Scientific Monthly XXIV: 402–414. Consultado o 29 de xuño de 2005. Article biogràfic exhaustiu.
- ↑ Smith, S. A., et al. 2001. Algebra 1: California Edition. Prentice Hall, Nova Jersey. ISBN 0-13-044263-1
- ↑ Rudolf Borch (1929) : Ahnentafel des Mathematikers Carl Friedrich Gauß [Genealogical table]. Ahnentafeln Berühmter Deutscher, Vol. 1, pp. 63–65. Zentralstelle für Deutsche Personen- und Familiengeschichte (ed.)
- ↑ Chamberless, Susan (11 de marzo de 2000). "Letter:Worthington, Helen to Carl F. Gauss – 26 de xullo de 1911". Susan D. Chamberless. Consultado o 14 de novembro do 2023.
- ↑ Dunnington 2004, pp. 398-404.
- ↑ 7,0 7,1 Dunnington 2004, p. 24.
- ↑ Dunnington 2004, p. 26.
- ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Carl Friedrich Gauss". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews..
- ↑ Dunnington 2004, p. 28.
- ↑ 11,0 11,1 Marsden, Brian G. (1977-08-01). "Carl Friedrich Gauss, Astronomer". Journal of the Royal Astronomical Society of Canada 71. pp. 309–323. Bibcode:1977JRASC..71..309M. ISSN 0035-872X.
- ↑ Michling, Horst (1966). "Zum Projekt einer Gauß-Sternwarte in Braunschweig". Mitteilungen der Gauß-Gesellschaft Göttingen (en alemán) (3). p. 24.
- ↑ Dunnington 2004, pp. 50, 54–55, 74–77.
- ↑ Dunnington 2004, pp. 86-87.
- ↑ Brendel 1929, pp. 81-82.
- ↑ Brendel 1929, p. 49.
- ↑ Brendel 1929, p. 83.
- ↑ Brendel 1929, p. 84.
- ↑ Brendel 1929, p. 119.
- ↑ Brendel 1929, p. 56.
- ↑ Klein 1979, p. 7.
- ↑ Brendel 1929, p. 144.
- ↑ Wagner, Rudolf (1860). Über die typischen Verschiedenheiten der Windungen der Hemisphären und über die Lehre vom Hirngewicht, mit besondrer Rücksicht auf die Hirnbildung intelligenter Männer. Vorstudien zu einer wissenschaftlichen Morphologie und Physiologie des menschlichen Gehirns als Seelenorgan, Vol. 1. Göttingen: Dieterich.
- ↑ Wagner, Rudolf (1862). Über den Hirnbau der Mikrocephalen mit vergleichender Rücksicht auf den Bau des Gehirns der normalen Menschen und der Quadrumanen. Vorstudien zu einer wissenschaftlichen Morphologie und Physiologie des menschlichen Gehirns als Seelenorgan, Vol. 2. Göttingen: Dieterich.
- ↑ Wagner, Hermann (1864). Maassbestimmungen der Oberfläche des grossen Gehirns [Measurements of the surface of the large brain] (en alemán). Cassel & Göttingen: Georg H. Wigand.
- ↑ Bardi, Jason (2008). The Fifth Postulate: How Unraveling A Two Thousand Year Old Mystery Unraveled the Universe. John Wiley & Sons, Inc. p. 189. ISBN 978-0-470-46736-7.
- ↑ Wolfgang Hänicke, Jens Frahm und Axel D. Wittmann: Magnetresonanz-Tomografie des Gehirns von Carl Friedrich Gauß. In: MPI News 5, Heft 12, 1999
- ↑ Schweizer, Renate; Wittmann, Axel; Frahm, Jens (2014). "A rare anatomical variation newly identifies the brains of C.F. Gauss and C.H. Fuchs in a collection at the University of Göttingen". Brain 137 (4). p. e269. PMID 24163274. doi:10.1093/brain/awt296. (con máis referencias)
- ↑ "Unravelling the true identity of the brain of Carl Friedrich Gauss". Max Planck Society.
- ↑ "Johanna Osthoff 1780–1809 – Ancestry". www.ancestry.com (en inglés). Consultado o 15 de novembro do 2023.
- ↑ Cajori, Florian (19 de maio de 1899). "Carl Friedrich Gauss and his children". Science. New Series 9 (229) (American Association for the Advancement of Science). pp. 697–704. Bibcode:1899Sci.....9..697C. JSTOR 1626244. PMID 17817224. doi:10.1126/science.9.229.697.
- ↑ Dunnington 2004, p. 374.
- ↑ Dunnington 2004, p. 206.
- ↑ 34,0 34,1 34,2 Gerardy, Theo (1966). "C. F. Gauß und seine Söhne". Mitteilungen der Gauß-Gesellschaft Göttingen (en alemán) (3). pp. 25–35.
- ↑ Gerardy, Theo (1977). "Geodäten als Korrespondenten von Carl Friedrich Gaus". Allgemeine Vermessungs-Nachrichten (en alemán) (84). pp. 150–160. p.157
- ↑ Dunnington 2004, p. 286.
- ↑ Wolf, Armin (1964). "Der Pädagoge und Philosoph Johann Conrad Fallenstein (1731–1813) – Genealogische Beziehungen zwischen Max Weber, Gauß und Bessel". Genealogie (en alemán) 7. pp. 266–269.
- ↑ Weinberger, Joseph (1977). "Carl Friedrich Gauß 1777–1855 und seine Nachkommen". Archiv für Sippenforschung und alle verwandten Gebiete (en alemán). 43/44 (66): 73–98.
Véxase tamén
editar| Commons ten máis contidos multimedia sobre: Carl Friedrich Gauss |
| A Galicitas posúe citas sobre: Carl Friedrich Gauss |
Bibliografía
editar- Brendel, Martin (1929). "Über die astronomischen Arbeiten von Gauss". En Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften. Carl Friedrich Gauss. Werke (en alemán). XI, 2 (Abhandlung 3).
- Bühler, Walter Kaufmann (1981). Gauss: A Biographical Study. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-10662-5.
- Dunnington, G. Waldo (2004). Carl Friedrich Gauss: Titan of Science. The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-547-8. OCLC 53933110. First edition: Carl Friedrich Gauss: Titan of Science. A Study of his Life and Work. New York: Exposition Press. 1955.
- Galle, Andreas (1924). "Über die geodätischen Arbeiten von Gauss". En Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften. Carl Friedrich Gauss. Werke (en alemán). XI, 2.
- Geppert, Harald (1933). "Über Gauss' Arbeiten zur Mechanik und Potentialtheorie". En Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften. Carl Friedrich Gauss. Werke (en alemán). X, 2 (Abhandlung 7).
- Gray, Jeremy (1955). "Introduction to Dunnington's "Gauss"". Carl Friedrich Gauss: Titan of Science. A Study of his Life and Work. New York: Exposition Press. pp. xix–xxvi. With a critical view on Dunnington's style and appraisals
- Klein, Felix (1979). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil 1 [Lectures on the Development of Mathematics in the 19th Century]. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 24 (en alemán). Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09234-X.
- Maennchen, Philipp (1930). "Gauss als Zahlenrechner". En Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften. Carl Friedrich Gauss. Werke (en alemán). X, 2 (Abhandlung 6).
- Sartorius von Waltershausen, Wolfgang (1856). Gauss zum Gedächtniss (en alemán). S. Hirzel.
- Sartorius von Waltershausen, Wolfgang (1966). Carl Friedrich Gauss. A Memorial (PDF). Traducido por Helen Worthington Gauss. Colorado Springs.
- Schaefer, Clemens (1929). "Über Gauss' physikalische Arbeiten". En Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften. Carl Friedrich Gauss. Werke (en alemán). XI, 2 (Abhandlung 2).
- Schlesinger, Ludwig (1933). "Über Gauss' Arbeiten zur Funktionentheorie". En Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften. Carl Friedrich Gauss. Werke (en alemán) X, 2.
- Wußing, Hans (1982). Carl Friedrich Gauß (en alemán) (4 ed.). Leipzig: BSB B. G. Teubner.