Álxebra
Xunto coa xeometría e a análise matemática, a álxebra constitúe unha das ramas principais da matemática.
Antigamente por álxebra entendíase a serie de coñecementos teóricos e de técnicas nas que se empregan as operacións elementais da aritmética para atopar valores numéricos que solucionen unha ecuación matemática, na que os números descoñecidos son representados por letras. Isto é o que hoxe en día se coñece como álxebra elemental, que inclúe tamén o estudo dos polinomios e o das súas raíces.
Co tempo a álxebra elemental deu lugar a desenvolvementos máis complexos no que se deu en chamar álxebra abstracta ou álxebra moderna. A xeneralización ven da man da definición de distintos tipos de estruturas alxébricas, isto son, conxuntos de elementos non necesariamente de tipo numérico, nos que se definen operacións con propiedades inspiradas nas das operacións elementais de números. Así pois, poderíase dicir que a álxebra é a rama da matemática que estuda as propiedades das estruturas.
EtimoloxíaEditar
O termo álxebra deriva da obra Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala ou Al-jabr wa 'l-muqābala, isto é, Compendio do cálculo mediante restitución e redución (ou "Ensaio da Computación de Transferencia e da Ecuación"), que foi traducido ao latín coma Liber algebrae et almucabala. O texto foi escrito no século IX polo matemático persa Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi. Os cristiáns introduciron este libro en Europa traducido ao latín no século XII. O termo álxebra é a tradución literal de restitución (transferencia da solución numérica no lugar das letras da ecuación) feita polos tradutores ao latín da obra.[1]
ClasificaciónEditar
Podemos dividir a álxebra en:
- Álxebra elemental: estuda as regras que gobernan as ecuacións nas que se empregan símbolos abstractos para denotar cantidades numéricas, e a resolución de problemas polo emprego destes símbolos e regras.
- Álxebra abstracta: tamén chamada álxebra moderna. Estuda estruturas alxébricas definidas axiomaticamente, como os grupos, aneis ou espazos vectoriais. Nela inclúense entre outras:
- Álxebra lineal: estuda as propiedades dos espazos vectoriais e as matrices.
- Álxebra universal: estuda as propiedades comúns a grandes familias de estruturas alxébricas.
Álxebra elementalEditar
Na álxebra elemental, a adición, a subtracción, a multiplicación, e a división son utilizadas para encontrar números (valores dunha variable) nun problema de matemáticas (ecuación) cando non se coñecen.
- Un exemplo sería encontrar o valor de (a variable) na ecuación: .
- Coa axuda da álxebra, pódese sumar cinco a ámbolos dous membros da ecuación ( ), polo que a resposta é: .
Noutras palabras:
- No primeiro membro: . O número -5 e o número 5 suman 0, deixando polo tanto só un " ".
- No segundo membro: . O 2 e o 5 suman 7.
- Reescribindo a ecuación:
- ,
- e polo tanto a solución é
- .
A álxebra pode ser utilizada para resolver problemas da vida real porque as regras da álxebra funcionan no mundo real e os números poden ser utilizados para representar fielmente os valores das cousas reais.
- Por exemplo, se dou 5 moedas a un amigo e quédanme 10, cantas tiña antes? Como intentamos descubrir cantas moedas tiven antes, a esa cantidade chamámoslle x. As moedas que eu tiven antes menos as que eu lle dei ao meu amigo fan o total das que eu teño agora, logo . Podemos sumar cinco en cada membro da ecuación para obter ; logo . O x, o número de moedas que eu tiven é 15.
Notación na álxebra elementalEditar
Na álxebra, a adición de z e y (ou z mais y) escríbese . Na álxebra, a subtracción de z a y (ou y menos z) escríbese .
Na álxebra, a multiplicación de y por z (ou y veces z) pódese escribir de 4 maneiras diferentes: y × z, y*z, y(z), ou yz, sendo esta última a forma máis común.
Cando multiplicamos un número por unha letra, o número escríbese diante da letra.
Cando o número é o 1, entón non se escribe porque 1 multiplicado por unha cousa calquera é esa mesma cousa.
En álxebra, a división: y dividido por z escríbese y */* z ou y/z. Esta última forma é a máis empregada.
Representacións gráficas na álxebra elementalEditar
Na álxebra elemental tamén é útil o uso de gráficas, como a da fórmula básica da recta y=mx+b onde b é o valor no que a recta corta o eixo de ordenadas da gráfica e m é a pendente da recta. Esta fórmula verifícase para ás coordenadas do grafo ou pares ordenados (x,y).
HistoriaEditar
A orixe da álxebra pode atoparse nos babilonios,[2] que desenvolveron un sistema de numeración posicional co que lograron realizar cálculos avanzados mediante algoritmos. Polo contrario, civilizacións como os exipcios, os chineses e os gregos só realizaban cálculos baseándose en métodos xeométricos. Porén, as matemáticas gregas tiveron un gran cambio cando co inicio da álxebra xeométrica, e Diofanto de Alexandría en Arithmetica estudou as solucións de ecuacións alxébricas.[3] O persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. 780–850) foi quen converteu a álxebra nunha disciplina independente da xeometría e da aritmética.[4]
A finais do século XVI, os traballos François Viète deron pulo á nova álxebra, e en 1637, René Descartes publicou La Géométrie, creando a álxebra analítica e introducindo a notación moderna. A busca das solucións de ecuacións de grao superior a tres desenvolveu a idea de determinante, introducida de xeito independente por matemáticos xaponeses e por Gottfried Leibniz no século XVII. A resolución de ecuacións tamén foi a base para o desenvolvemento da teoría de permutacións por parte de Joseph-Louis Lagrange e Paolo Ruffini.
A álxebra abstracta foi desenvolvida no século XIX, grazas ao estudo da teoría de Galois.[5] Josiah Willard Gibbs desenvolveu a álxebra de vectores no espazo tridimensional e Arthur Cayley a álxebra de matrices, que non é conmutativa.[6]
NotasEditar
- ↑ "algebra". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. Arquivado dende o orixinal o 31 de decembro de 2013. Consultado o 05 de marzo de 2016. Arquivado 31 de decembro de 2013 en Wayback Machine.
- ↑ Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. Nova York: Dover Publications. ISBN 0-486-60255-9.
- ↑ Cajori, Florian (2010). A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching. p. 34. ISBN 1-4460-2221-8.
- ↑ Roshdi, Rashed (novembro de 2009). "Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra". Saqi Books. ISBN 0-86356-430-5.
- ↑ "The Origins of Abstract Algebra". University of Hawaii Mathematics Department.
- ↑ "The Collected Mathematical Papers".Cambridge University Press.
Véxase taménEditar
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Álxebra  |
BibliografíaEditar
- Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
- Donald R. Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994).
- Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, e Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999).
- George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000).
- John J O'Connor e Edmund F Robertson, History Topics: Algebra Index. En MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005).
- I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
- R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6
- L. Euler: Elements of Algebra, ISBN 978-1-899618-73-6
- Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.
Ligazóns externasEditar
- Khan Academy: Conceptual videos and worked examples
- Khan Academy: Origins of Algebra, free online micro lectures Arquivado 09 de maio de 2013 en Wayback Machine.
- Algebrarules.com: An open source resource for learning the fundamentals of Algebra
- 4000 Years of Algebra Arquivado 04 de outubro de 2007 en Wayback Machine., por Robin Wilson, en Gresham College, 17 de outubro de 2007 (dispoñible en MP3, MP4 e ficheiro de texto).