Álxebra

unha das ramas principais da matemática

A álxebra (do árabe: الجبر al-ŷabr ‘reintegración, recomposición[1] e obtención de datos[2]) é a rama da matemática que estuda a combinación de elementos de estruturas abstractas acorde a certas regras.[3] Orixinalmente eses elementos podían ser interpretados como números ou cantidades, polo que a álxebra en certo xeito foi orixinalmente unha xeneralización e extensión da aritmética.[4][5] Na álxebra moderna existen áreas da álxebra que de ningún xeito poden considerarse extensións da aritmética (álxebra abstracta, álxebra homolóxica, álxebra exterior etc.).

Al-Khwarizmi (século IX d. C.), considerado un dos «pais da álxebra»
A fórmula cuadrática expresa a solución da ecuación ax2 + bx + c = 0, onde a é distinta de cero, en termos dos seus coeficientes a, b e c.

A álxebra elemental difire da aritmética no uso de abstraccións, como o emprego de letras para representar números que son descoñecidos ou que poden tomar moitos valores. Por exemplo, en a letra é unha incógnita, pero aplicando o oposto pódese revelar o seu valor: . En , as letras e son variables, e a letra é unha constante, a velocidade da luz no baleiro. A álxebra proporciona métodos para escribir fórmulas e resolver ecuacións que son moito máis claras e fáciles que o antigo método de escribir todo con palabras.

A palabra álxebra tamén se utiliza en certas formas especializadas. Un tipo especial de obxecto matemático na álxebra abstracta chámase álxebra, e a palabra úsase, por exemplo, nas frases álxebra lineal e topoloxía alxébrica.

Notación nunha expresión alxébrica:
  1 – potencia (expoñente)
  2 – coeficiente
  3 – termo
  4 – operador
  5 – termo constante ou independente
  x y – variables/incógnitas

Xunto coa xeometría e a análise matemática, a álxebra constitúe unha das ramas principais da matemática.

Antigamente por álxebra entendíase a serie de coñecementos teóricos e de técnicas nas que se empregan as operacións elementais da aritmética para atopar valores numéricos que solucionen unha ecuación matemática, na que os números descoñecidos son representados por letras. Isto é o que hoxe en día se coñece como álxebra elemental, que inclúe tamén o estudo dos polinomios e o das súas raíces.

Co tempo a álxebra elemental deu lugar a desenvolvementos máis complexos no que se deu en chamar álxebra abstracta ou álxebra moderna. A xeneralización ven da man da definición de distintos tipos de estruturas alxébricas, isto son, conxuntos de elementos non necesariamente de tipo numérico, nos que se definen operacións con propiedades inspiradas nas das operacións elementais de números. Así pois, poderíase dicir que a álxebra é a rama da matemática que estuda as propiedades das estruturas.

Etimoloxía editar

O termo álxebra deriva da obra Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala ou Al-jabr wa 'l-muqābala, isto é, Compendio do cálculo mediante restitución e redución (ou "Ensaio da Computación de Transferencia e da Ecuación"), que foi traducido ao latín coma Liber algebrae et almucabala. O texto foi escrito no século IX polo matemático persa Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi. Os cristiáns introduciron este libro en Europa traducido ao latín no século XII. O termo álxebra é a tradución literal de restitución (transferencia da solución numérica no lugar das letras da ecuación) feita polos tradutores ao latín da obra.[3]

Clasificación editar

Podemos dividir a álxebra en:

Álxebra elemental editar

Na álxebra elemental, a adición, a subtracción, a multiplicación, e a división son utilizadas para encontrar números (valores dunha variable) nun problema de matemáticas (ecuación) cando non se coñecen.

Un exemplo sería encontrar o valor de   (a variable) na ecuación:  .
Coa axuda da álxebra, pódese sumar cinco a ámbolos dous membros da ecuación ( ), polo que a resposta é:  .

Noutras palabras:

No primeiro membro:  . O número -5 e o número 5 suman 0, deixando polo tanto só un " ".
No segundo membro:  . O 2 e o 5 suman 7.
Reescribindo a ecuación:
 ,
e polo tanto a solución é  
 .

A álxebra pode ser utilizada para resolver problemas da vida real porque as regras da álxebra funcionan no mundo real e os números poden ser utilizados para representar fielmente os valores das cousas reais.

Por exemplo, se dou 5 moedas a un amigo e quédanme 10, cantas tiña antes? Como intentamos descubrir cantas moedas tiven antes, a esa cantidade chamámoslle x. As moedas que eu tiven antes menos as que eu lle dei ao meu amigo fan o total das que eu teño agora, logo  . Podemos sumar cinco en cada membro da ecuación para obter  ; logo  . O x, o número de moedas que eu tiven é 15.

Notación na álxebra elemental editar

Na álxebra, a adición de z e y (ou z mais y) escríbese  . Na álxebra, a subtracción de z a y (ou y menos z) escríbese  .

Na álxebra, a multiplicación de y por z (ou y veces z) pódese escribir de 4 maneiras diferentes: y × z, y*z, y(z), ou yz, sendo esta última a forma máis común.

Cando multiplicamos un número por unha letra, o número escríbese diante da letra.

Cando o número é o 1, entón non se escribe porque 1 multiplicado por unha cousa calquera é esa mesma cousa.

En álxebra, a división: y dividido por z escríbese y */* z ou y/z. Esta última forma é a máis empregada.

Representacións gráficas na álxebra elemental editar

Na álxebra elemental tamén é útil o uso de gráficas, como a da fórmula básica da recta y=mx+b onde b é o valor no que a recta corta o eixo de ordenadas da gráfica e m é a pendente da recta. Esta fórmula verifícase para ás coordenadas do grafo ou pares ordenados (x,y).

Historia editar

A finais do século XVI, nas matemáticas, o significado de álxebra evolucionou tras a introdución por François Viète de símbolos (variables) para denotar números descoñecidos ou incompletamente especificados, e o uso resultante da notación matemática para ecuacións e fórmulas. Así, a álxebra converteuse esencialmente no estudo da acción de operacións sobre expresións que implican variables. Isto inclúe a teoría de ecuacións, pero non se limita a ela, xa en 1637, René Descartes publicou La Géométrie, creando a álxebra analítica e introducindo a notación moderna. A busca das solucións de ecuacións de grao superior a tres desenvolveu a idea de determinante, introducida de xeito independente por matemáticos xaponeses e por Gottfried Leibniz no século XVII. A resolución de ecuacións tamén foi a base para o desenvolvemento da teoría de permutacións por parte de Joseph Louis Lagrange e Paolo Ruffini.

A álxebra abstracta foi desenvolvida no século XIX, grazas ao estudo da teoría de Galois.[6] Josiah Willard Gibbs desenvolveu a álxebra de vectores no espazo tridimensional e Arthur Cayley a álxebra de matrices, que non é conmutativa.[7]

A principios do século XX, a álxebra evolucionou aínda máis ao considerar operacións que actuaban non só sobre números, senón tamén sobre elementos das chamadas estruturas matemáticas como grupos, campos e espazos vectoriais. Esta nova álxebra denominouse álxebra das operacións. Esta nova álxebra foi chamada Moderne Algebra (álxebra moderna) por van der Waerden no seu tratado homónimo, cuxo nome foi cambiado a Álxebra en edicións posteriores.

Historia antiga editar

 
Páxina da obra de Al-Khwarizmi Compendio do cálculo mediante restitución e redución (al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala)

As raíces da álxebra remóntanse os antigos babilonios,[8] que desenvolveron un sistema de numeración posicional co que lograron realizar cálculos avanzados mediante algoritmos. Os babilonios desenvolveron fórmulas para calcular solucións a problemas que hoxe en día se resolven mediante ecuacións lineais, ecuacións cuadráticas e ecuacións lineais indeterminadas. Pola contra, a maioría dos exipcios desta época, así como os gregos e chinos do primeiro milenio a.C., adoitaban resolver tales ecuacións mediante métodos xeométricos, como os descritos no papiro matemático de Rhind, nos elementos de Euclides, e os nove capítulos sobre a arte matemática. Na época de Platón, as matemáticas gregas sufriron un cambio drástico. Os gregos crearon un álxebra xeométrica na que os termos se representaban mediante lados de obxectos xeométricos, normalmente liñas, que tiñan letras asociadas. [9] Diofanto (século III d.C.) foi un matemático grego de Alexandría e autor dunha serie de libros chamados Arithmetica.[10] Estes textos tratan da resolución de ecuacións alxébricas,[11] e conduciron, en teoría de números, á noción moderna da ecuación diofantiana.

O traballo xeométrico dos gregos, tipificado nos Elementos, proporcionou o marco para a xeneralización de fórmulas máis aló da solución de problemas particulares en sistemas máis xerais de formulación e resolución de ecuacións, aínda que isto non se levaría a cabo ata as desenvolvidas no islam medieval.[12]

A palabra deriva da palabra árabe al-jabr que aparece no título do tratado Compendio de cálculo por reintegración e comparación (do árabe: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala), escrito cara ao ano 820 polo persa Al-Khwarizmi, quen converteu a álxebra nunha disciplina independente da xeometría e da aritmética.[13]

Al-jabr referíase a un método para transformar ecuacións restando termos semellantes de ambos os lados, ou pasando un termo dun lado ao outro, despois de cambiar o seu signo. Por tanto, álxebra referíase orixinalmente á manipulación de ecuacións e, por extensión, á teoría de ecuacións. Isto é aínda o que os historiadores das matemáticas xeralmente entenden polo termo álxebra.[Cómpre referencia]

Os matemáticos helenístico Herón de Alexandría e Diofanto[14] e os matemáticos indios como Brahmagupta, continuaron as tradicións de Exipto e Babilonia, aínda que a Arithmetica de Diofanto e a Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta atópanse nun nivel superior.[15] Por exemplo, a primeira solución aritmética completa escrita con palabras no canto de símbolos,[16] Brahmagupta describiu no seu libro Brahmasphutasiddhanta, publicado no ano 628 d.C., as solucións cero e negativas das ecuacións cuadráticas.[17] Posteriormente, os matemáticos persas e árabes desenvolveron métodos alxebraicos ata un grao de sofisticación moito maior. Aínda que Diofanto e os babilonios utilizaron sobre todo métodos especiais ad hoc para resolver ecuacións, a contribución da Al-Khwarizmi foi fundamental. Resolveu ecuacións lineais e cuadráticas sen simboloxía alxebrica, números negativos ou cero, polo que tivo que distinguir varios tipos de ecuacións.[18]

No contexto no que a álxebra se identifica coa teoría de ecuacións, o matemático grego Diofanto foi coñecido tradicionalmente como o "pai da álxebra" e no contexto no que se identifica con regras para manipular e resolver ecuacións, o matemático persa Al-Khwarizmi é considerado como "o pai da álxebra".[19][20][21][22][23][24][25] Pódese debater se Diofanto ou ao-Khwarizmi teñen máis dereito a ser coñecidos, en sentido xeral, como "o pai da álxebra". Os partidarios de Diofanto sinalan que o álxebra de Al-Jabr é algo máis elemental que a de Arithmetica e que Arithmetica é sincopada, mentres que Al-Jabr é totalmente retórica.[26] Quen apoia á o-Khwarizmi sinalan que introduciu os métodos de "redución" e "equilibrado" (a transposición de termos restados alén dunha ecuación, é dicir, a cancelación de termos semellantes en lados opostos da ecuación) aos que orixinalmente se refería o termo al-jabr,[27] e que deu unha explicación exhaustiva da resolución de ecuacións cuadráticas,[28] apoiándose en probas xeométricas e tratando ao mesmo tempo o álxebra como unha disciplina independente por dereito propio..[23] Ademais, a súa álxebra xa non se ocupaba "dunha serie de problemas por resolver, senón dunha exposición que parte de termos primitivos cuxas combinacións deben dar todos os prototipos posibles de ecuacións, que en diante constitúen explicitamente o verdadeiro obxecto de estudo". Tamén estudou unha ecuación por si mesma e "de maneira xenérica, na medida en que non xorde simplemente no curso da resolución dun problema, senón que está chamada especificamente a definir unha clase infinita de problemas".[29]

Segundo Jeffrey Oaks e Jean Christianidis, nin Diofanto nin Ao-Khwarizmi deberían chamarse "pai da álxebra".[30][31] O álxebra premoderna foi desenvolvida e utilizada por comerciantes e agrimensores como parte do que Jens Høyrup denominou tradición "subcientífica". Diofanto utilizou este método de álxebra no seu libro, en particular para problemas indeterminados, mentres que Ao-Khwarizmi escribiu un dos primeiros libros en árabe sobre este método.[32]

A outro matemático persa Omar Khayyam atribúeselle a identificación dos fundamentos da xeometría alxebrica e o achado da solución xeométrica xeral da ecuación cúbica. O seu libro Tratado sobre as demostracións dos problemas de álxebra (1070), que establece os principios do álxebra, forma parte do corpus das matemáticas persas que acabaron transmitíndose a Europa.[33] Outro matemático persa, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, atopou solucións alxebraicas e numéricas a varios casos de ecuacións cúbicas.[34] Tamén desenvolveu o concepto de función.[35] Os matemáticos indios Mahavira e Bhaskara II, o matemático persa Al-Karaji,[36] e o matemático chinés Zhu Shijie, resolveron varios casos de ecuacións cúbicas, cuártica, quintica e polinómicas de orde superior utilizando métodos numéricos. No século XIII, a solución dunha ecuación cúbica por Fibonacci é representativa do comezo dun renacemento do álxebra europea. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412-1486) deu "os primeiros pasos cara á introdución do simbolismo alxebraico". Tamén calculou Σn2, Σn3 e utilizou o método de aproximación sucesiva para determinar as raíces cadradas.[37]

O uso da palabra "álxebra" para designar unha parte das matemáticas data probablemente do século XVI. [Cómpre referencia]

Historia moderna editar

 
O matemático italiano Gerolamo Cardano publicou as solucións as ecuacións cúbica e á cuártica no seu libro de 1545 Ars magna.

Os traballos de François Viète sobre o álxebra nova a finais do século XVI constituíron un paso importante cara a álxebra moderna. En 1637, René Descartes publicou La Géométrie, inventando a xeometría analítica e introducindo a notación alxebrica moderna. Outro acontecemento clave no desenvolvemento posterior da álxebra foi a solución alxebrica xeral das ecuacións cúbicas e cuárticas, desenvolta a mediados do século XVI. A idea dun determinante foi desenvolta polo matemático xaponés Seki Kōwa no século XVII, seguida independentemente por Gottfried Leibniz dez anos máis tarde, co propósito de resolver sistemas de ecuacións lineais simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer tamén realizou algúns traballos sobre matrices e determinantes no século XVIII. As permutacións foron estudadas por Joseph Louis Lagrange no seu traballo de 1770 "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" dedicado ás solucións de ecuacións alxebricas, no que introduciu os resolventes de Lagrange. Paolo Ruffini foi o primeiro en desenvolver a teoría de grupo de permutacións, e como os seus predecesores, tamén no contexto da resolución de ecuacións alxebricas.

A álxebra abstracta desenvolveuse no século XIX, derivado do interese por resolver ecuacións, centrándose inicialmente no que hoxe se denomina teoría de Galois, e en cuestións de constructibilidade.[38] George Peacock foi o fundador do pensamento axiomático en aritmética e álxebra. Augustus De Morgan descubriu a álxebra relacional no seu Syllabus of a Proposed System of Logic. Josiah Willard Gibbs desenvolveu unha álxebra de vectores no espazo tridimensional, e Arthur Cayley desenvolveu unha álxebra de matrices (trátase dunha álxebra non conmutativa).[39]

Áreas das matemáticas coa palabra álxebra no seu nome editar

 
Álxebra lineal conferencia na Universidade de Aalto

Algunhas subáreas da álxebra levan a palabra álxebra no seu nome; álxebra lineal é un exemplo. Outras non: teoría de grupos, teoría de aneis e teoría de corpos son exemplos. Nesta sección, enumeramos algunhas áreas das matemáticas coa palabra "álxebra" no nome.

Moitas estruturas matemáticas chámanse álxebras:

Notación alxébrica editar

 
Notación matemática de raíz cadrada de x

Consiste en que os números empréganse para representar cantidades coñecidas e determinadas. As letras empréganse para representar toda clase de cantidades, xa sexan coñecidas ou descoñecidas. As cantidades coñecidas exprésanse polas primeiras letras do alfabeto: a, b, c, d, … As cantidades descoñecidas represéntanse polas últimas letras do alfabeto: u, v, w, x, y, z.[40]

Os signos empregados en álxebra son de tres clases: Signos de operación, signos de relación e signos de agrupación.[40]

Notas editar

  1. Federico Corriente (1991): Diccionario Árabe-Español, Ed. Herder, ISBN 84-254-1763-5
  2. Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017-11-22). Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment (en inglés). CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. Arquivado dende o orixinal o 2021-02-21. Consultado o 19 de decembro do 2023. 
  3. 3,0 3,1 "algebra". Oxford English Dictionary. Oxford University Press. Arquivado dende o orixinal o 2013-12-31. Consultado o 19 de decembro do 2023. 
  4. The 1911 Classic Encyclopedia, Algebra, (en inglés).
  5. Diccionario de la Real Academia Española, álgebra.
  6. "The Origins of Abstract Algebra". University of Hawaii Mathematics Department.
  7. "The Collected Mathematical Papers".Cambridge University Press.
  8. Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60255-4. 
  9. See Boyer 1991, Europe in the Middle Ages, p. 258: "Nos teoremas aritméticos dos Elementos VII-IX de Euclides, os números representáronse mediante segmentos de liña aos que se uniron letras, e as demostracións xeométricas da Álxebra de Al-Khwarizmi facían uso de diagramas con letras; pero todos os coeficientes das ecuacións utilizadas na Álxebra son números específicos, xa estean representados por números ou escritos con palabras. A idea de xeneralidade está implícita na exposición da Al-Khwarizmi, pero el non tiña ningún esquema para expresar alxebraicamente as proposicións xerais que están tan facilmente dispoñibles en xeometría."
  10. Cajori, Florian (2010). A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching. p. 34. ISBN 1-4460-2221-8. 
  11. Cajori, Florian (2010). A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching. Read Books Design. p. 34. ISBN 978-1-4460-2221-4. Arquivado dende o orixinal o 2021-02-21. Consultado o 22 de decembro do 2023. 
  12. See Boyer 1991.
  13. Roshdi, Rashed (novembro de 2009). "Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra". Saqi Books. ISBN 0-86356-430-5. 
  14. "Diophantus, Father of Algebra". Arquivado dende o orixinal o 2013-07-27. Consultado o 22 de decembro do 2023. 
  15. "History of Algebra". Arquivado dende o orixinal o 2014-11-11. Consultado o 22 de decembro do 2023. 
  16. Mackenzie, Dana (2012). The universe in zero words : the story of mathematics as told through equations. Princeton, N.J.: Princeton University Press. p. 61. ISBN 978-0-691-15282-0. OCLC 761851013. 
  17. Bradley, Michael J. (2006). The birth of mathematics : ancient times to 1300. New York: Chelsea House. p. 86. ISBN 978-0-7910-9723-6. OCLC 465077937. 
  18. Meri, Josef W. (2004). Medieval Islamic Civilization. Psychology Press. p. 31. ISBN 978-0-415-96690-0. Arquivado dende o orixinal o 2013-06-02. Consultado o 22 de decembro do 2023. 
  19. Corona, Brezina (2006). Al-Khwarizmi: The Inventor Of Algebra. New York, United States: Rosen Pub Group. ISBN 978-1404205130. 
  20. See Boyer 1991, páxina 181: "Se pensamos principalmente na cuestión das notacións, Diofanto ten boas razóns para ser coñecido como o "pai da álxebra", pero en termos de motivación e concepto, a afirmación é menos apropiada. A Arithmetica non é unha exposición sistemática das operacións algebraicas, das funcións alxebraicas ou da solución de ecuacións alxebraicas.".
  21. See Boyer 1991, páxina 230: "Os seis casos de ecuacións dados anteriormente esgotan todas as posibilidades de ecuacións lineais e cuadráticas... Neste sentido, pois, Al-Khwarizmi ten dereito a ser coñecido como 'o pai da álxebra '".
  22. See Boyer 1991, páxina 228: "Ás veces chámase a Diofanto o pai da álxebra, pero este título pertence máis ben á Al-Khwarizmi".
  23. 23,0 23,1 See Gandz 1936, pp. 263–277: "En certo sentido, Al-Khwarizmi ten máis dereito a ser chamado "o pai da álxebra" que Diofanto, porque ao-Khwarizmi é o primeiro en ensinar o álxebra de forma elemental e pola súa propio ben, Diofanto ocúpase principalmente da teoría dos números"..
  24. Christianidis, Jean (agosto de 2007). "The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus' method of solution". Historia Mathematica 34 (3). p. 289–305. doi:10.1016/j.hm.2006.10.003. É certo que se se parte dunha concepción do álxebra que pon o acento na solución de ecuacións, como foi xeralmente o caso dos matemáticos árabes desde Al-Khwarizmi en diante, así como dos alxebristas italianos do Renacemento, entón a obra de Diofanto parece efectivamente moi diferente das obras deses algebristas 
  25. Cifoletti, G. C. (1995). "La question de l'algèbre: Mathématiques et rhétorique des homes de droit dans la France du 16e siècle". Annales de l'École des Hautes Études en Sciences Sociales, 50 (6). pp. 1385–1416. Os traballos dos árabes e os seus sucesores centráronse na resolución de problemas. A Arithmetica de Diofantino centrouse na teoría de ecuacións. 
  26. Véxase Boyer 1991, páxina 228.
  27. Véxase Boyer 1991, The Arabic Hegemony, p. 229: "Non se sabe con certeza que significan os termos al-jabr e muqabalah, pero a interpretación habitual é similar á implícita na tradución anterior. A palabra al-jabr significaba presumiblemente algo así como "restauración" ou "terminación" e parece referirse á transposición de termos subtraídos alén dunha ecuación; a palabra muqabalah refírese a "redución" ou "equilibrio", é dicir, á cancelación de termos similares en lados opostos da ecuación".
  28. See Boyer 1991, The Arabic Hegemony, p. 230: "Os seis casos de ecuacións expostos esgotan todas as posibilidades de ecuacións lineais e cuadráticas con raíz positiva. A exposición da Al-Khwarizmi foi tan sistemática e exhaustiva que os seus lectores non deberon de ter moitas dificultades para dominar as solucións".
  29. Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994). The Development of Arabic Mathematics. Springer. pp. 11–12. ISBN 978-0-7923-2565-9. OCLC 29181926. 
  30. Oaks, Jeffrey (2014). The Oxford Encyclopedia of Islam and Philosophy, Science, and Technology. p. 458. 
  31. Christianidis, Jean (2007). "The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus' method of solution". Historia Mathematica 34 (3). p. 303. doi:10.1016/j.hm.2006.10.003. 
  32. Oaks, Jeffrey; Christianidis, Jean (2013). "Practicing algebra in late antiquity: The problem-solving of Diophantus of Alexandria". Historia Mathematica 40 (2). pp. 158–160. doi:10.1016/j.hm.2012.09.001. 
  33. Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers. p. 92. 
  34. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Álxebra". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. .
  35. Victor J. Katz, Bill Barton; Barton, Bill (outubro de 2007). "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching". Educational Studies in Mathematics 66 (2). pp. 185–201 [192]. doi:10.1007/s10649-006-9023-7. 
  36. See Boyer 1991, The Arabic Hegemony, p. 239: "Abu'l Wefa era un alxebrista capaz así como un trigonometro. ... O seu sucesor al-Karkhi evidentemente utilizou esta tradución para converterse en discípulo árabe de Diofanto - pero sen análise diofantino! . En particular, atribúese á al-Karkhi a primeira solución numérica de ecuacións da forma ax2n + bxn = c (só se consideraron as ecuacións con raíces positivas),"
  37. "Al-Qalasadi biography". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Arquivado dende o orixinal o 2019-10-26. Consultado o 22 de decembro do 2023. 
  38. "The Origins of Abstract Algebra Arquivado 2010-06-11 en Wayback Machine.". University of Hawaii Mathematics Department.
  39. "The Collected Mathematical Papers". Cambridge University Press.
  40. 40,0 40,1 Álgebra Aurelio Baldor (2003)

Véxase tamén editar

Bibliografía editar

Ligazóns externas editar