Grupo (matemáticas)

En álxebra abstracta, un grupo é unha estrutura alxébrica que consta dun conxunto cunha operación que combina calquera par dos seus elementos para formar un terceiro elemento. Para que se poida cualificar como un grupo o conxunto e a operación deben satisfacer os axiomas de grupo: ter a propiedade asociativa, elemento neutro e elemento inverso.

As posibles manipulacións do cubo de Rubik forman un grupo.

A teoría de grupos estuda os grupos en si.

Historia

O concepto de grupo xurdiu do estudo das ecuacións polinómicas comezado por Évariste Galois durante a década de 1830. Despois de contribucións desde outros campos como a teoría dos números e a xeometría, a noción xeneralizouse e estableceuse fortemente en torno a 1870.

A definición formal de grupo (G, *) foi formulada por Ferdinand Georg Frobenius en 1887, advertindo que os teoremas que demostraba dependían unicamente dos axiomas propostos e non tiña que acudir ao grupo das permutacións que empregaban os seus antecesores Cauchy, Jordan e Sylow.

Unha teoría especialmente rica foi desenvolvida para grupos finitos, culminada co teorema de clasificación de grupos simples, completado en 1983. Así mesmo, desde mediados da década de 1980 a teoría de grupos xeométricos, que estuda os grupos de xeración finita como obxectos xeométricos, converteuse nunha área particularmente activa na teoría dos grupos.

Definición

Un grupo é un conxunto, G, cunha operación binaria «•» que compón dous elementos calquera a e b de G para formar outro elemento denotado como a • b o ab. Para poder cualificar como un grupo a (G, •), deben satisfacer catro propiedades:

Operación interna

Para todo a, b de G, o resultado da operación a • b tamén pertence a G.

$\forall a,b\in G\quad :\quad a\cdot b\in G$

Asociatividade

Para todos os a, b e c de G, cúmprese que (a • b) • c = a • (b • c).

Elemento neutro

Existe un elemento e de G, tal que para todos os elementos a de G se cumpre que e • a = a • e = a. O elemento neutro dun grupo G escríbese en ocasións como 1 ou 1_G, notación herdada da identidade multiplicativa.

$\exists e\,\,\forall a\in G\quad :\quad a\cdot e=e\cdot a=a$

Elemento inverso

Para todo a de G, existe un elemento b de G tal que a • b = b • a = e.

$\forall a\in G\,\,\exists a^{-1}\,:\,{a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a}=e$

A orde na que se realiza a operación do grupo pode ser significativa, é dicir, o resultado de operar o elemento a co elemento b non é necesariamente igual que o resultado de b con a; a expresión

a • b = b • a

pode non ser certa. Os grupos nos que si se cumpre chámanse grupos abelianos, en honor a Niels Henrik Abel.

Exemplos

• O conxunto dos números enteiros Z coa suma teñen estrutura de grupo abeliano, xa que:

1. Para calquera par de enteiros a e b, a suma a + b tamén é enteiro.
2. Para todos os enteiros a, b e c, (a + b) + c = a + (b + c).
3. Para calquera enteiro a, 0 + a = a + 0 = a.
4. Para cada enteiro a, existe un enteiro b tal que a + b = b + a = 0. O enteiro b denomínase elemento inverso de a e denótase como -a.

• As simetrías (rotacións e reflexións) dun cadrado forma un grupo chamado diédrico, que se expresa como D₄.
• O produto define unha estrutura de grupo conmutativo nos números racionais non nulos Q*.
• As matrices cadradas de n columnas con elementos reais e determinante distinto de cero forman un grupo co produto de matrices.
• O grupo de movementos no espazo ou grupo de isometría do espazo euclidiano.
• O grupo de Galileo está formado polas transformacións do espazo e o tempo que conservan os sistemas de referencia inercais.

Véxase tamén

Bibliografía

• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 978-0-89871-510-1. , Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
• Devlin, Keith (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. Owl Books. ISBN 978-0-8050-7254-9. , Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
• Hall, G. G. (1967). Applied group theory. American Elsevier Publishing Co., Inc., New York. MR 0219593. , an elementary introduction.
• Herstein, Israel Nathan (1996). Abstract algebra (3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-374562-7. MR 1375019. .
• Herstein, Israel Nathan (1975). Topics in algebra (2nd ed.). Lexington, Mass.: Xerox College Publishing. MR 0356988. .
• Lang, Serge (2005). Undergraduate Algebra (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22025-3. .
• Ledermann, Walter (1953). Introduction to the theory of finite groups. Oliver and Boyd, Edinburgh and London. MR 0054593. .
• Ledermann, Walter (1973). Introduction to group theory. New York: Barnes and Noble. OCLC 795613. .
• Robinson, Derek John Scott (1996). A course in the theory of groups. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94461-6. .

Outros artigos

• Clasificación dos grupos simples finitos