Matriz (matemáticas)

En matemáticas, unha matriz é un conxunto de números ordenados en filas e columnas de forma rectangular, na que se pode definir un conxunto de operacións. As matrices teñen múltiples aplicacións, como na resolución de sistemas de ecuacións lineais, e son fundamentais na álxebra lineal.

Definición

Liñas	Matriz
Filas
Columnas

Unha matriz en R é unha colección dobremente indexada de elementos dun anel R, é dicir, que os elementos disporanse en filas e columnas e que os elementos teñen definidos operacións semellantes a suma e ao produto. A meirande parte deste artigo referirase as matrices de elementos nun corpo K, en particular, ás matrices reais ou complexas, é dicir, matrices cuxos elementos son números reais ou complexos, respectivamente. Un exemplo dunha matriz sería:

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$

Os obxectos matemáticos que conforman a matriz son os seus elementos. As liñas horizontais chámanse filas, e as verticais, columnas.

Orde

Unha matriz de orde m×n ou, xeralmente, unha matriz m×n é unha matriz con m filas e n columnas, e m e n son as dimensións da matriz. Por exemplo, a matriz A anterior é unha matriz 2×3. A matriz 1×n será unha matriz fila, e a matriz n×1 será unha matriz columna.

Para referirmos ao conxunto de matrices de orde m×n, usaremos ${\mathcal {M}}_{m\times n}({\mathcal {R}})$, onde ${\mathcal {R}}$ é o anel ao que pertencen os elementos. No caso do conxunto de matrices cadradas e m=n, usaremos a notación de ${\mathcal {M}}_{n}({\mathcal {R}})$

Notación

As matrices adoitan denotarse con letras maiúsculas, en tanto que os seus elementos son denotados por letras minúsculas con dous índices. Aquí, usaremos a notación de dobre subindexado para falar dos elementos dunha matriz A: o elemento de A na fila i e na columna j denótase por a_ij. Normalmente, unha matriz escribirase da seguinte forma:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}=\left(a_{ij}\right)$

Deste xeito, se:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}4&7&1\\-1&0&3\end{pmatrix}}$

entón a₂₃ = 1 e a₁₁ = 4. Ás veces, utilizarase A_ij para representar a_ij e a notación de (a_ij) para referirse á matriz A cando a súa orde estea clara polo contexto. Hai que ter en conta que existen outras notación, nas que se escribirá $a_{j}^{i}$para indicar o mesmo elemento. Ás veces, para traballar comodamente coas columnas dunha matriz, escribiremos $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{1},\ldots ,a_{n}\end{pmatrix}}$onde $a_{i}$é a columna i-ésima.

Diremos que dúas matrices $\mathbf {A}$ e $\mathbf {B}$ son iguais cando teñen a mesma orde m×n e todos os elementos correspondentes son iguais, é dicir, $a_{ij}=b_{ij},\,1\leq m,\,1\leq n$.

No estudo das matrices, adoitase chamar escalar aos elementos do anel, é dicir, os escalares serán os números reais se o noso anel son os reais.

Operacións de matrices

Multiplicación por un escalar

A multiplicación é unha das operacións máis sinxelas que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número calquera por unha matriz m×n $\mathbf {A}$, basta multiplicar cada elemento de $\mathbf {A}$ por $k$. Así, a matriz resultante $\mathbf {B}$ será tamén m×n e $b_{ij}=k\cdot a_{ij}$. Con iso, pódese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo inverso dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: en canto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "conmutativa", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.

Por exemplo:

$2{\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{pmatrix}}$

Adición de matrices

Se $\mathbf {A}$e $\mathbf {B}$son dúas matrices da mesma orde m×n, entón a suma $\mathbf {A+B}$ é a matriz de orde m×n que se obtén ao sumar os elementos de $\mathbf {A}$ cos elementos de $\mathbf {B}$ que lle corresponden, é dicir, dadas as matrices $\mathbf {A}$e de mesma orde, $\mathbf {A} =(a_{ij})$ e $\mathbf {B} =(b_{ij})$, entón a suma $\mathbf {A+B} =(a_{ij}+b_{ij})$.

Por exemplo:

${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{pmatrix}}$.

A matriz $(-1)\mathbf {A}$ escríbese $-\mathbf {A}$, e entón podemos definir a diferenza de dúas matrices: dadas as matrices $A$e $B$de mesma orde, $\mathbf {A} =(a_{ij})$ e $\mathbf {B} =(b_{ij})$, entón a diferenza $\mathbf {A-B} =\mathbf {A+(-B)} =(a_{ij}-b_{ij})$.

Transposición

Se $\mathbf {A}$é unha matriz de orde m×n, entón a matriz trasposta de $\mathbf {A}$ é a matriz n×m $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$que se forma intercambiando as filas e as columnas de $\mathbf {A}$, isto é, $(\mathbf {A} _{ij})^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} _{ji}$.

Por exemplo:

${\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}1&4\\8&-2\\-3&5\end{pmatrix}}$

Produto de matrices

O produto de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se $\mathbf {A}$é unha matriz m×n e $\mathbf {B}$ é unha matriz n×p, entón o produto $\mathbf {C} =\mathbf {AB}$ é unha matriz m×p é $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots +a_{in}b_{nj}$.

Por exemplo:

${\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&1\\4&2\\\end{pmatrix}}$

Álxebra de matrices

Propiedades da adición de matrices e da multiplicación por escalares

Dadas as matrices $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$, $\mathbf {C}$da mesma orde e $c$, $d$escalares, entón cúmprense as seguintes propiedades:

1. Conmutabilidade: $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$
2. Asociatibidade: $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C} =\mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )$
3. Elemento neutro da suma de matrices: Para todas as matrices da mesma orde, existe unha matriz $\mathbf {O}$tal que $\mathbf {A} +\mathbf {O} =\mathbf {A}$para calquera matriz $\mathbf {A}$
4. Elemento oposto da suma de matrices: Para toda matriz $A$existe unha matriz $-\mathbf {A}$tal que$\mathbf {A} +(-\mathbf {A} )=\mathbf {O}$
5. Distributibidade respecto a suma de matrices: $c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B}$
6. Distributibidaderespecto a suma de escalares:$(c+d)\mathbf {A} =c\mathbf {A} +d\mathbf {A}$
7. $c(d\mathbf {A} )=(cd)\mathbf {A}$
8. $1\mathbf {A} =\mathbf {A}$onde $1$é o elemento neutro do produto do anel R ao que pertence o escalar.

Propiedades do produto de matrices

Dadas as matrices $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$, $\mathbf {C}$das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e $k$un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

1. Conmutabilidade: $\mathbf {A} (\mathbf {BC} )=(\mathbf {AB} )\mathbf {C}$
2. Asociatibidade pola esquerda: $\mathbf {A} (\mathbf {B+C} )=\mathbf {AB+AC}$
3. Asociatibidade pola dereita: $(\mathbf {A+B} )\mathbf {C} =\mathbf {AC+BC}$
4. $k(\mathbf {AB} )=(k\mathbf {A} )\mathbf {B} =\mathbf {A} (k\mathbf {B} )$
5. Se $\mathbf {A}$ té orde m×n, $\mathbf {I} _{m}\mathbf {A} =\mathbf {A} =\mathbf {AI} _{n}$

En xeral, observamos que o produto de matrices dúas matrices $\mathbf {A}$ e $\mathbf {B}$ é non conmutativo:

• Se as matrices non son cadradas, polo menos un dos dous produtos non estará definido.
• De seren dúas matrices cadradas, os produtos $\mathbf {AB}$ e $\mathbf {BA}$estarán definidos, pero non teñen porque coincidir, como no seguinte exemplo:

Exemplo: ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2\\0&4\end{pmatrix}}$  e ${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\3&4\end{pmatrix}}$ as matrices non conmutan.

De coincidiren, $\mathbf {AB} =\mathbf {BA}$ e diremos que as matrices $\mathbf {A}$ e $\mathbf {B}$ conmutan.

Propiedades da transposición

Dadas as matrices $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$ das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e $k$un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

1. $(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=\mathbf {A}$
2. $(k\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=k\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$
3. $(\mathbf {A+B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }$
4. $(\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$

Matriz cadrada

Unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas que de columnas, é dicir, son as matrices de orde nxn ou, simplemente, de orde n. Chamaremos ao conxunto de elementos da forma $a_{ii}$ como diagonal principal.

Principais tipos

Matrices diagonais e triangulares

Nome	Exemplo con n=3	Definición
Matriz diagonal	${\begin{pmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\\\end{pmatrix}}$	$i\neq j\implies a_{ij}=0$
Matriz triangular inferior	${\begin{pmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}$	$i>j\implies a_{ij}=0$
matriz triangular superior	${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\\\end{pmatrix}}$	$i<j\implies a_{ij}=0$

Se todos os elementos da matriz $\mathbf {A}$ por debaixo da diagonal principal son nulos , $\mathbf {A}$ é unha matriz triangular superior. Analogamente, se os elementos que están por riba da diagonal principal son cero, entón $\mathbf {A}$ é unha matriz diagonal inferior. Se todas os elementos que no estean na diagonal principal son nulos, diremos que $\mathbf {A}$ é unha matriz diagonal.

Se os elementos da diagonal son $\lambda _{1}\ldots \lambda _{n}$, defínese $\operatorname {diag} (\lambda _{1}\ldots \lambda _{n})$ como a matriz diagonal na que $a_{ii}=\lambda _{i}$.

Matriz identidade

A matriz identidade $\mathbf {I} _{n}$de orde n é a matriz de orde nxn tal que todos os elementos da diagonal principal son iguais a 1, e o resto de elementos son iguais a 0, como:

$\mathbf {I} _{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ \cdots ,\ \mathbf {I} _{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}$

Son un tipo especial de matrices cadradas, que toman o seu nome porque manteñen as matrices despois do produto: $\mathbf {A} \mathbf {I} _{n}=\mathbf {I} _{n}\mathbf {A}$ para toda matriz $\mathbf {A}$de orde mxn.

Matriz simétrica e antisimétrica

Unha matriz cadrada $\mathbf {A}$ é unha matriz simétrica se $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$, mais se $\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$, entón $\mathbf {A}$ é unha matriz antisimétrica.

Pódense construír matrices destes tipos a partir doutras que non pertence, por exemplo, se $\mathbf {A}$é unha matriz cadrada, $\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$é unha matriz simétrica e $\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$é unha matriz antisimétrica, e para calquera matriz $\mathbf {A}$, $\mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }$é unha matriz simétrica.

Matriz invertible e matriz inversa

Unha matriz cadrada $\mathbf {A}$ de orde n, é invertible o non singular se existe unha matriz $B$ tal que $\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}$, onde $\mathbf {I} _{n}$ é a matriz identidade nxn. Se $\mathbf {B}$ existe, entón denotarémola como a matriz inversa de $\mathbf {A}$ ou $\mathbf {A} ^{-1}$. A matriz inversa ten as seguintes propiedades:

• Se $\mathbf {C} =\mathbf {AB}$e todas son matrices cadradas e invertibles, entón $\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$.
• $(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }=(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}$
• Se $\mathbf {A}$é simétrica, entón $\mathbf {A} ^{-1}$tamén.
• Se existe a matriz inversa, entón esta ha de ser única.

Matriz ortogonal

Unha matriz cadrada $\mathbf {A}$ é unha matriz ortogonal con elementos reais e que a súa matriz trasposta é igual a súa matriz inversa: $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1}$. Deste xeito, temos que $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{n}$.

Operacións principais

Traza

A traza, $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )$, dunha matriz cadrada $\mathbf {A}$ é a suma dos elementos da súa diagonal, é dicir, $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}$. Un exemplo sería

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}},\ \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}3&-4&3&6\\1&8&-7&5\\-2&0&1&-2\\4&1&5&-9\end{pmatrix}}$

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=a_{11}+a_{22}+a_{33},\ \operatorname {tr} (\mathbf {B} )=3+8+1-9=3$

Pódese deducir pola definición de produto de matrices que:

$\operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} )$

Disto conclúese que a traza dun produto de máis de dúas matrices é independente dunha permutación cíclica de matrices, mais isto non se aplica en xeral a permutacións arbitrarias, por exemplo $\operatorname {tr} (\mathbf {ABC} )=\operatorname {tr} (\mathbf {CAB} )=\operatorname {tr} (\mathbf {BCA} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {BAC} )$. Tamén temos que a traza dunha matriz é ten a mesma traza que a súa trasposta, isto é, $\operatorname {tr} (\mathbf {A^{\mathrm {T} }} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )$.

Determinante

O determinante $\operatorname {det} (\mathbf {A} )$ou $|\mathbf {A} |$dunha matriz cadrada é a única función matricial que leva ao conxunto ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )$á $\mathbb {K}$que cumpre:

1. $\operatorname {det} (\ldots ,b_{i}+c_{i},\ldots )=\operatorname {det} (\ldots ,b_{i},\ldots )+\operatorname {det} (\ldots ,c_{i},\ldots )$
2. $\operatorname {det} (\ldots ,\lambda a_{i},\ldots )=\lambda \operatorname {det} (\ldots ,a_{i},\ldots )$
3. $\operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{j},\ldots ,a_{n})=-\operatorname {det} (\ldots ,a_{j},\ldots ,a_{i},\ldots )$
4. $\operatorname {det} (\mathbf {I} _{n})=1$

Ás propiedades 1 e 2 din que é unha función n-lineal para as columnas e a propiedade 3 di que é alternada para as columnas.

O determinante ten diferentes propiedades, entre as que salientan:

• Unha matriz é invertible se e só se o seu determinante non é cero.
• $\operatorname {det} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\operatorname {det} (\mathbf {A} )$ , polo que temos as mesmas propiedades para as filas que para as columnas.
• $\operatorname {det} (\mathbf {AB} )=\operatorname {det} (\mathbf {A} )\operatorname {det} (\mathbf {B} )$
• O seu valor absoluto equivale á área (en $\mathbb {R} ^{2}$), ao volume (en $\mathbb {R} ^{3}$) ou ao volume xeneralizado (en $\mathbb {R} ^{n}$) do cubo que ten por costados aos vectores que corresponden coas columnas da matriz.
• Mediante a regra de Cramer, pódese usar para resolver sistemas de ecuacións lineais.

Ecuacións lineais

A álxebra de matrices é interesante para a representación de sistemas de ecuacións lineais. Por exemplo, supoñamos que queremos resolver o seguinte sistema:

${\begin{aligned}5x_{1}+10x_{2}+20x_{3}&=40\\3x_{1}-9x_{2}+27x_{3}&=-54\\-2x_{1}+15x_{2}+10x_{3}&=4\\\end{aligned}}$

Entón poderemos representalo pola ecuación de matrices $\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b}$, onde

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}5&10&20\\3&-9&27\\-2&15&10\end{pmatrix}},\ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}40\\-54\\4\end{pmatrix}}$

Como neste caso temos que $\mathbf {A}$é invertible, entón:

${\begin{aligned}\mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {A} \mathbf {x} &=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} \\\mathbf {x} &=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} \\\end{aligned}}$

En xeral, se $\mathbf {A}$é unha matriz mxn, $\mathbf {x}$é unha matriz columna n×1 e $\mathbf {b}$é outra matriz columna m×1, entón a ecuación $\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b}$é equivalente ao sistema de ecuacións

${\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}$

Como no caso anterior, se n = m e $\mathbf {A}$é invertible (as ecuacións son independentes), podemos escribir $\mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b}$para resolver o sistema. En calquera outro caso, ou ben o sistema non té solucións ou ben té infinitas.

Descomposición

Artigo principal: Descomposición de matrices.

Hai diferentes métodos para traballar coas matrices dun xeito máis sinxelo, para o cal unha posibilidade é o uso de técnicas coñecidas como "descomposición matricial" ou "factorización matricial". Debido a que estas transformacións manteñen certas propiedades da matriz orixinal, como o determinante, o rango ou os autovalores, estas propiedades poden ser calculadas a partir da descomposición no canto da matricial orixinal. Deste xeito son utilizadas na análise numérica para realizar certas operacións matriciais de maneira máis eficiente.

Aplicacións

Teoría de grafos

En teoría de grafos, usando as matrices pódense representar grafos, atopar caracterizacións e demostrar resultados con técnicas de álxebra lineal. Entre as matrices que se utilizan salientan:

• A matriz de adxacencia, que garda a información de que vértices están conectados por unha aresta.
• A matriz de incidencia, que almacena en aij un -1 se a aresta j sae do vértice i, 1 se entra e 0 no outros casos.
• A matriz laplaciana, que se define como a matriz diferenza entre a matriz de grados e a matriz de adxacencia.
• A matriz de distancias, que é a matriz que garda a distancia entre os vértices dun grafo.

Véxase tamén

Bibliografía

• Anton, Howard (2003). Introducción al Álgebra Lineal. México: Editorial Limusa, S.A. ISBN 9789681863173. 
• Blyth, Thomas S.; Robertson, Edmund F. (2002). Basic Linear Algebra. Springer. ISBN 9781852336622. 
• Blyth, Thomas S.; Robertson, Edmund F. (1986). Essential Student Algebra: Volume Two: Matrices and Vector Spaces. Springer. ISBN 978-0-412-27870-9. 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Nova York: Springer-Verlag New York. ISBN 0-38-795385-X. 
• Poole, David (2011). Linear Algebra: A Modern Introduction. Brooks Cole. ISBN 0-538-73544-9. 
• Rojo, Jesús (2007). Algebra lineal. Madrid: McGraw-Hill. ISBN 978-84-481-5635-0. 
• Strang, Gilbert (2016). Introduction to Linear Algebra (Quinta ed.). Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-09802327-7-6. 
• Bapat, R.B. (2010). Graphs and Matrices. Springer. ISBN 978-1-84882-980-0. 
• Godsil, Chris; Royle, Gordon F. (2001). Algebraic graph theory. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 9780387952208. 

Ligazóns externas

• MIT Linear Algebra Video Lectures de Gilbert Strang (en inglés)

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---