Análise numérica

Tableta de arxila babilónica BC 7289 (c. 1800–1600 a.C.) con anotacións. A aproximación da raíz cadrada de 2 son catro figuras sesaxesimais, que son arredor de seis figuras decimais. 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296...[1]

A análise numérica ou cálculo numérico é a rama das matemáticas que concirne coa derivación, descrición e análise de ferramentas e métodos para para obter solucións numéricas de problemas matemáticos[2][3]. A análise numérica está interesada en métodos matemáticos construtivos, isto é, aqueles métodos que mostran como construír solucións de problemas matemáticos. Por exemplo, unha proba construtiva da existencia dunha solución dun problema non só mostra que a solución existe, senón que tamén describe como debe ser determinada esa solución. Unha demostración da existencia dunha solución por redución ao absurdo non é construtiva[2].

Durante moito tempo a palabra algoritmo usouse como sinónimo de "método" no contexto de construír a solución dun problema matemático. Recentemente deseñouse unha definición matemática máis axeitada de algoritmo, en gran parte debida ao traballo de Alan Mathison Turing (1912-54), que deu unha definición baseada nun concepto abstracto dun computador[4]. Para os propósitos deste artigo, consideraremos un algoritmo como a descrición completa e sen ambigüidades dun método de construción da solución dun problema matemático[4]; deste xeito, podemos definir a análise numérica como o estudo de algoritmos que empregan a aproximación numérica (no canto da computación simbólica) para os problemas da análise matemática (a diferenza das matemáticas discretas)[5].

Desde a metade do século XX, o crecemento en potencia e dispoñibilidade dos ordenadores dixitais levou a un incremento no uso de modelos matemáticos realistas en ciencia e enxeñaría; e é necesaria unha análise matemática cada vez máis sofisticada para resolver aqueles modelos máis detallados do mundo[6].

Definido o erro, xunto co erro admisible, pasamos ao concepto de estabilidade dos algoritmos. Moitas das operacións matemáticas poden levarse adiante a través da xeración dunha serie de números que á súa vez alimentan novamente o algoritmo (feedback). Isto proporciona un poder de cálculo e refinamento importantísimo para a máquina, que segundo vai completando o ciclo vai chegando á solución. O problema consiste en determinar ata cando debe continuar co ciclo, ou se nos estamos afastando da solución do problema.

Outro concepto paralelo á análise numérica é o de representación, tanto dos números como doutros conceptos matemáticos como os vectores, polinomios etc. Por exemplo, para a representación en ordenadores de números reais, emprégase o concepto de punto flotante que dista moito do empregado pola matemática convencional. En xeral, estes métodos aplícanse cando se precisa un valor numérico como solución a un problema matemático, e os procedementos "exactos" ou "analíticos" son incapaces de dar unha resposta. Debido a isto, son procedementos de uso frecuente por físicos e enxeñeiros, e o seu desenvolvemento viuse favorecido pola necesidade destes de obter solucións, aínda que a precisión non sexa total. A física experimental, por exemplo, non ofrece nunca valores exactos senón intervalos que abranguen a maioría dos resultados experimentais obtidos, xa que non é habitual que dúas medidas do mesmo fenómeno dean valores exactamente iguais.

CaracterísticasEditar

Un dos primeiros escritos matemáticos é a taboíña BC 7289, que dá unha aproximación numérica sesaxesimal de  , a lonxitude da diagonal da unidade cadrada. O poder calcular os lados dun triángulo por medio do cálculo de raíces cadradas ten a súa aplicación práctica , por exemplo, en carpintería e construción[7].

A análise numérica continúa esta longa tradición de cálculos matemáticos prácticos. Ao xeito da aproximación babilónica de  , a análise numérica moderna non busca respostas exactas, xa que adoito estas son imposibles de obter na práctica. No canto disto, a análise numérica preocúpase de obter solucións aproximadas mantendo unhas marxes razoables de erro.

A análise numérica atopa aplicacións en tódolos campos da enxeñaría e as ciencias naturais, mais no século XXI, as ciencias sociais e incluso as artes adoptaron elementos do cálculo científico. As ecuacións diferenciais ordinarias aparecen nos movementos dos corpos celestes (planetas, estrelas e galaxias); a optimización ten lugar na xestión de catálogos; a álxebra lineal numérica é importante para a análise de datos; as ecuacións diferenciais estocásticas e as cadeas de Markov son esenciais na simulación de células vivas na medicina e a bioloxía.

Antes da chegada das computadoras modernas, os métodos numéricos adoitaban depender de interpolacións manuais en longas táboas impresas. Desde mediados do século XX as computadoras calculan as funcións requiridas. Porén, os algoritmos de interpolación pódense usar coma parte do software para resolver ecuacións diferenciais.

HistoriaEditar

O campo da análise numérica adiantouse á invención dos ordenadores modernos en moitos séculos. A interpolación linear xa se empregaba hai máis de dous mil anos e moitos grandes matemáticos do pasado ocupáronse destas investigacións, como Newton, Lagrange, Gauss ou Euler, cuxos nomes aparecen en diversos métodos.

Inicialmente as calculadoras creáronse como ferramenta para o cálculo manual e a partir da década de 1940 evolucionaron cara aos ordenadores electrónicos.

ProblemasEditar

Os problemas desta disciplina pódense dividir en dous grupos fundamentais:

  • Problemas de dimensión finita: aqueles que teñen unha resposta dentro dun conxunto finito de números, como as ecuacións alxébricas, os determinantes, os problemas de valores propios etc.
  • Problemas de dimensión infinita: problemas nos que na súa solución ou formulación interveñen elementos descritos por unha cantidade infinita de números, como a integración e a derivación numéricas, o cálculo de ecuacións diferenciais, a interpolación etc.

Áreas de estudoEditar

A análise numérica divídese en diferentes disciplinas segundo o problema que hai que resolver.

Cálculo dos valores dunha funciónEditar

Un dos problemas máis sinxelos é a avaliación dunha función nun punto dado. Para os polinomios, un dos métodos máis empregados é o algoritmo de Horner, xa que reduce o número de operacións que hai que levar a cabo.

Resolución de ecuacións e sistemas de ecuaciónsEditar

Outro problema fundamental é calcular a solución dunha ecuación ou sistema de ecuacións dado. Distínguense dous casos dependendo de se a ecuación ou o sistema é ou non linear. Por exemplo, a ecuación   é linear, mentres que a ecuación de segundo grao   non o é.

Na resolución numérica de ecuacións non lineares algúns dos métodos máis coñecidos son os método de bisección, da secante e da regula falsi. Se a función é ademais derivable e a derivada é coñecida, emprégase moito o método de Newton, que é un método de iteración de punto fixo.

Descomposición espectral e en valores singularesEditar

Algúns problemas importantes poden expresarse en termos de descomposición espectral (o cálculo dos vectores e valores propios dunha matriz) ou de descomposición en valores singulares.

OptimizaciónEditar

Os problemas de optimización buscan o punto para o que unha función dada acada o seu máximo ou mínimo. Exemplos destes problemas é a programación linear na que tanto a función obxectivo como as restricións son lineares. Un método célebre de programación linear é o método simplex.

Avaliación de integraisEditar

A integración numérica busca calcular o valor dunha integral definida. Os métodos máis populares empregan algunha das fórmulas de Newton–Cotes, que se basean nunha estratexia de "divide e vencerás", dividindo o intervalo de integración en subintervalos e calculando a integral como unha suma.

Ecuacións diferenciaisEditar

A análise numérica tamén pode calcular solucións aproximadas de ecuacións diferenciais, tanto ordinarias como en derivadas parciais. Os métodos empregados adoitan basearse en discretizar a ecuación correspondente.

NotasEditar

  1. Fotografía, ilustración e descrición da tableta "raíz(2)" da Colección Babilónica de Yale
  2. 2,0 2,1 Phillips & Taylor 1996, p. 1
  3. Gautschi 2012, p. xix
  4. 4,0 4,1 Phillips & Taylor 1996, p. 2
  5. UK Research and Innovation (ed.). "Numerical Analysis" (en inglés). 
  6. Atkinson, Kendall E. "Numerical Analysis". Encyclopædia Britannica (en inglés). 
  7. A autoridade de cualificación de Nova Zelandia menciona esta habilidade especificamente no documento 13004 versión 2, datado o 17 de outubro de 2003 titulado CARPENTRY THEORY: Demonstrate knowledge of setting out a building

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar

Ligazóns externasEditar