Método exhaustivo

O método de exhaustivo ou método de exhaustión (latín: methodus exhaustionibus; francés: méthode des anciens) é un método para atopar a área dunha forma por inscribir dentro del unha secuencia de polígonos cuxas áreas converxen á área da figura que as contén. Se a secuencia é contruída correctamente, a diferenza da área entre o n-ésimo o polígono e a figura que a contén irá sendo arbitrariamente pequena cando n se fai grande. Cando esta diferenza se fai arbitrariamente pequena, os posibles valores para a área da figura é "esgotada" sistematicamente polas áreas sucesivamente máis próximas dos membros de secuencia.

O método de exhaustión require unha forma de proba por contradición, tamén coñecida como reductio ad absurdum. Isto equivale a atopar a área dunha rexión comparándoa primeiro coa dunha segunda rexión (que "esgotará" a área a achar cando vaia aproximándose a ela arbitrariamente) . A proba implica supor que a área buscada é máis grande que a segunda área, daquela próbase que esta afirmación é falsa, e entón supoñendo que a área buscada é menor que a segunda área, volve a probarse que esta afirmación tamén é falsa.

HistoriaEditar

 
Gregory de Sant Vincent.

A idea orixinal dátase a finais do V a.C. con Antifonte, a pesar de non establecerse ben se a entendía ben.[1] A teoría estableceuse rigorosamente unhas cantas décadas máis tarde por Eudoxo de Cnido, quen a empregou para calcular áreas e volumes. Máis tarde foi redescuberta na China por Liu Hui no III a.C., quen a usou para achar a área dun círculo. O primeiro uso do termo é do 1647 por Gregory de Sant Vincent na Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum.

O método de exhaustión é considerado o precursor dos métodos do calculuo. O desenvolvemento da xeometría analítica e especificamente o cálculo integral nos séculos XVII-XIX subsumiron o método de esxhaustivo de modo que é xa non foi usado explicitamente. Unha importante aproximación alternativa foi o principio de Cavalieri, tamén denominado o método dos indivisibles, o cal finalmente derivou no cálculo infinitesimal de Roberval, Torricelli, Wallis, Leibniz, e outros.

EuclidesEditar

Euclides utilizou o método de exhaustión para probar as seguinte seis propositions no libro XII dos seus Elementos.

Proposición 2: Os círculos son entre si como os cadrados dos seus diámetros.[2]

Proposición 5: As pirámides que están baixo a mesma altura e que teñen triángulos como bases son entre si como as súas bases.[3]

Proposición 10: Todo cono é a terceira parte dun cilindro, do que ten a mesma base que el e igual altura.[4]

Proposición 11: Os conos e cilindros que están baixo a mesma altura son entre si como as súas bases.[5]

Proposición 12: Os conos e cilindros semellantes están entre si en razón triplicada da dos diámetros das súas bases.[6]

Proposición 18: As esferas están entre si en razón triplicada da dos seus respectivos diámetros.[7]

ArquímedesEditar

 
Archimedes Utilizou o método de exhaustión para calcular a área dentro dun círculo

Arqumedes empregou o método de exhaustión para calcular a área dun círculo enchéndoo cun polígono dunha área cada vez maior un número máis grande de lados. O cociente formado pola área deste polígono dividido polo cadrado do raio do círculo aproxímase arbitrariamente a π cando o número de lados do polígono vai incrementando; próbase así que a área do círculo de raio r é πr2, onde π se define como a proporción da lonxitude da circunferencia e o diámetro (C/d) ou da área do círculo e o cadrado do seu raio (A/r²).

Tamén estableceu os límites 3 + 10/71 < π < 3 + 10/70, (dando un rango de 1/497) ao comparar o perímetro do círculo cos perímetros dos polígonos regulares inscrito e circunscrito de 96 lados.

Outros resultados obtidos co método exhaustivo son[8]

  • A área limitada pola intersección dunha liña e unha parábola é 4/3 que do triángulo que ten a mesma base e altura;
  • A área dun elipse é proporcional ao rectángulo que ten lados iguais aos eixos menor e maior;
  • O volume dunha esfera é 4 veces o dun cono de base unha base co mesmo raio e a altura igual a este raio;
  • O volume dun cilindro de altura igual ao seu diámetro é 3/2 do volume dunha esfera do mesmo diámetro;
  • A área limitada por un espiral arquimediana e un segmento é 1/3 da área do círculo de raio igual á lonxitude do segmento;
  • O método exhaustivo tamén permitiu a primeira aproximación dunha serie xeométrica infinita

NotasEditar

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar