Integral

No cálculo, a integral dunha función foi creada orixinalmente para determinar a área baixo unha curva no plano cartesiano, mais tamén xorde naturalmente en ducias de problemas de Física, como por exemplo na determinación da posición en todos os instantes dun obxecto, sendo coñecida a súa velocidade en todos os instantes.

O proceso de calcular a integral dunha función chámase integración.

Diferentemente da noción asociada de derivación, existen varias definicións para a integración. Todas elas tratando de resolver algúns problemas conceptuais relacionadas con límites, continuidade e existencia de certos procesos utilizados na definición. Porén todas estas definicións dan a mesma resposta para o resultado final dunha integración.

Cando a integral é sobre un intervalo definido trátase dunha integral definida $\int _{a}^{b}f(x)dx=S$ , con resultado un valor numérico. Cando a integral non ten un intervalo definido chámase antiderivada $\int _{}^{}f(x)dx=F(x)$ , ou integral indefinida, ou primitiva, ou inversa da derivada con resultado unha función.

Definición conceptual

Integrando a área dunha función abaixo dunha curva.

Para describir a integral dunha función f(x) dun intervalo x entre [a, b] utilízase a notación:

S=\int _{a}^{b}f(x)dx

A idea desta notación utilizando un S dado é xeneralizar a noción de sumatorio. Isto porque intuitivamente a integral de $f(x)$ pode ser entendida como a suma de pequenos rectángulos de base $dx$ e altura $f(x)$ , onde o produto $f(x)dx$ é a área deste rectángulo. A suma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Máis precisamente pode dicirse que a integral de riba é o valor límite da suma:

\sum _{i=0}^{N}f(x_{i})\Delta x.

onde:

\Delta x={\frac {b-a}{N}}

é a lonxitude dos pequenos intervalos nos cales se divide o intervalo $[a,b]$ , $f(x_{i})$ é o valor da función nalgún punto deste intervalo. O que se espera é que cando $N$ for moito grande o valor da suma se aproxime do valor da área debaixo da curva e, polo tanto, da integral de $f(x)$ no intervalo. Ou sexa que o límite

\lim _{N\to \infty }\sum _{i=0}^{N}f(x_{i})\Delta x=\int _{a}^{b}f(x)dx=S

estea definido. O problema é que este raciocinio intuitivo é difícil de expresar en linguaxe matemática precisa. Por isto existen varias formas de definir a integración dun xeito formal. O resultado, no entanto, é coherente entre elas.

Teorema fundamental do Cálculo

Ao resolver a integral de riba entre os límites a e b, o resultado final pódese escribir como:

S=\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

Onde a función F(x) é a función resultante da integración da función f(x). O problema da integración, isto é, atopar a solución para unha integral, resúmese polo tanto a atopar a función F(x).

O resultado de enriba é extremamente importante pois ofrécenos unha dica de como obter a integral. Para ver isto, supoña que o límite superior da integral, isto é, b é moito próximo de a, tal que se poida escribir:

b=a+\Delta x

Como os puntos límites da integral están moito próximos pode escribirse:

\int _{a}^{a+\Delta x}f(x)dx=F(a+\Delta x)-F(a)

E ollando na definición da integración como un límite, dada arriba, pode dicirse que a integral, neste caso resúmese a só un dos termos na suma, e polo tanto pode dicirse, sen causar un erro moi grande, que:

\int _{a}^{a+\Delta x}f(x)dx=f(a)\Delta x=F(a+\Delta x)-F(a)

Comparando coa definición da derivada dunha función:

f(x)={\frac {F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}}\rightarrow f(x)={\frac {d}{dx}}F(x)

a función procurada F(x) é unha función tal que, ao tomar a súa derivada obtense a función f(x). Noutras palabras, se se sabe como calcular a derivada dunha función pódese tamén calcular a integral da función resultante. Esta propiedade móstranos que a integración na verdade é a operación inversa da derivación, pois ao derivar unha función e deseguido a integrarmos, obterase a función orixinal. Esta propiedade chámase Teorema fundamental do Cálculo.

Exemplo de cálculo paso a paso para un polinomio

Calculando primeiro as primitivas (integral indefinida) e despois aplicando os valores do intervalo (integral definida).

Fórmula da primitiva para as potencias de x

\int cx^{n}dx={\frac {cx^{n+1}}{n+1}}

sendo $c$ unha constante.

Exemplo cun polinomio:

\int _{0}^{3}(x^{2}+2x+4)dx

Trátase cada membro da función como unha función separada, e deseguido efectúase a suma entre eles e xérase outra función, a función na cal se substituirá o valor de X polos valores do intervalo; deste xeito, úsase o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.

Intervalo (0,3).

f(x)=x^{2}+2x+4.

\int (x^{2})dx+\int (2x)dx+\int (4)dx.

Aquí úsase a Fórmula da Primitiva para cada integral.

{\frac {x^{2+1}}{2+1}}+{\frac {2.x^{1+1}}{1+1}}+{\frac {4.x^{0+1}}{0+1}}

Isto xera a función que se usará para substituír os valores do intervalo.

{\frac {x^{3}}{3}}+x^{2}+4\cdot x

Para $x=0=a.$

f(a)=0

Para $x=3=b.$

{\frac {3^{3}}{3}}+3^{2}+4\cdot 3

f(b)=30

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO.

\int _{a}^{b}f(x)dx=f(b)-f(a)

\int _{0}^{3}(x^{2}+2x+4)dx={\frac {3^{3}}{3}}+3^{2}+12-0

\int _{0}^{3}(x^{2}+2x+4)dx=30

Exemplos de integrais

Artigo principal: Lista de integrais.

Unha breve lista das integrais indefinidas máis frecuentes son

Se ${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)=g(x)$ , daquela $\int g(x)\mathrm {d} x=f(x)+C$ .
$\int 1\ \mathrm {d} x=x+C$
$\int a\ \mathrm {d} x=ax+C$
$\int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1$
$\int \sin {x}\ \mathrm {d} x=-\cos {x}+C$
$\int \cos {x}\ \mathrm {d} x=\sin {x}+C$
$\int \sec ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=\tan {x}+C$
$\int \csc ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=-\cot {x}+C$
$\int \sec {x}\tan {x}\ \mathrm {d} x=\sec {x}+C$
$\int \csc {x}\cot {x}\ \mathrm {d} x=-\csc {x}+C$
$\int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln |x|+C$
$\int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C$
$\int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1$
$\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C$
$\int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ \mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C$