Curva

Unha curva é unha liña continua, que cambia paulatinamente de dirección. Exemplos de curvas pechadas son a elipse ou a circunferencia, e de curvas abertas a parábola, a hipérbole ou a catenaria. A recta sería o caso límite dun círculo de raio de curvatura infinito. Todas as curvas teñen dimensión igual a 1.

Definicións

Curva elemental

Un conxunto $\gamma$ de puntos do espazo chámase curva elemental se é a imaxe obtida no espazo por unha aplicación continua dun segmento aberto de recta.

Sendo $\gamma$ unha curva elemental e sendo $a<t<b$ o segmento aberto no que está definida a aplicación $f=(f_{1},f_{2},f_{3})$ que determina a curva, ao sistema de igualdades

$x=f_{1}(t),y=f_{2}(t),z=f_{3}(t)$

chámanselle ecuacións paramétricas da curva $\gamma$.

Curva plana

Nun sistema de coordeadas cartesianas represéntanse as curvas dalgunhas raíces, así coma das súas potencias, no intervalo [0,1]. A diagonal, de ecuación y = x, é un eixo de simetría entre cada curva e a curva da súa inversa.

Unha curva plana é aquela que reside nun só plano e pode ser aberta ou pechada. A representación gráfica dunha función real dunha variable real é unha curva plana.

Curva diferenciable

Unha curva é diferenzable cando a función $\mathbf {x} \colon [a,b]\subset \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}$ é diferenciable. Se ademais a función anterior é inxectiva no intervalo $(a,b)\,$ entón a curva admite un vector tanxente único en cada punto i é rectificable, o que significa que a súa lonxitude de arco está ben definida i é posible calcular a súa lonxitude. A curva $\mathbf {x} \colon [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}$ :

$\mathbf {x} (t)={\begin{cases}(t,t\sin \left({\frac {1}{t}}\right))&t>0\\(0,0)&t=0\end{cases}}$

é continua pero non diferenciable, polo que a súa lonxitude entre o punto (0,0) e calquera outro punto da mesma non pode calcularse.

Curva pechada

Unha curva diferenciable es pechada cando $\mathbf {x} \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ cando $\mathbf {x} (a)=\mathbf {x} (b)$. Se ademais, a función $\mathbf {x}$ é inxectiva no intervalo $(a,b)\,$ entón dise que a curva é unha curva pechada simple. Unha curva pechada simple é homeomorfa ao círculo $S^{1}$, é dicir, ten a mesma topoloxía dun anel. A curva $\mathbf {x} \colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ dada por:

$\mathbf {x} (t)=(a\cos(2\pi t),b\sin(2\pi t))$

é unha curva diferenciable pechada, que resulta ser unha elipse de semieixos a e b.

Curva suave

Chámase curva suave á curva que non posúe puntos angulosos, coma por exemplo o círculo, a elipse ou a parábola.

Formalmente, dada unha curva C representada pola ecuación paramétrica:

${\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}$

nun intervalo I calquera, é suave se as súas derivadas son continuas no intervalo I e non son simultaneamente nulas, excepto posiblemente nos puntos terminais do intervalo.

Véxase tamén

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---