Bixección, inxección e sobrexección

(Redirección desde «Inxectiva»)
sobrexectiva non sobrexectiva
inxectiva

bixectiva

só inxectiva

non-

inxectiva

só sobrexectiva

xeral

En matemáticas, as inxeccións, as sobrexeccións e as bixeccións son clases de funcións que se distinguen pola forma en que os argumentos (expresións de entrada do dominio) e as imaxes (expresións de saída do codominio) están relacionados ou mapeadas entre si.

Unha función mapea elementos do seu dominio a elementos do seu codominio. Dada unha función :

  • A función é inxectiva, ou un a un, se cada elemento do codominio está asignado como moito a un elemento do dominio, ou de forma equivalente, se distintos elementos do dominio se asignan a distintos elementos do codominio. Unha función inxectiva tamén se denomina inxección[1].Notacionalmente:
  • A función é sobrexectiva, ou onto, se cada elemento do codominio está asignado a polo menos un elemento do dominio. É dicir, a imaxe e o codominio da función son iguais. Unha función surxectiva é unha sobrexección.[1]. Notacionalmente:
[2] [3] [4]
  • A función é bixectiva (un-a-un e onto ou invertible ) se cada elemento do codominio está mapeado por exactamente un elemento do dominio. É dicir, a función é tanto inxectiva como sobrexectiva. Unha función bixectiva tamén se denomina bixección.[1][2] [3][4]. É dicir, combinando as definicións de inxectiva e sobrexectiva temos
onde significa " existe exactamente unha x".
  • En calquera caso (para calquera función), vale o seguinte:

As catro combinacións posibles de características inxectivas e sobrexectivas están ilustradas nos diagramas superiores.

Inxección

editar
Artigo principal: Función inxectiva.
 
Composición inxectiva: a segunda función non ten por que ser inxectiva.

Os seguintes son algúns feitos relacionados coas inxeccións:

  • Unha función   é inxectiva se e só se   está baleiro ou   é invertible pola esquerda; é dicir, hai unha función   tal que   función de identidade en X. Aquí,   é a imaxe de  .
  • Dado que toda función é sobrexectiva cando o seu codominio está restrinxido á súa imaxe, cada inxección induce unha bixección na súa imaxe. Máis precisamente, cada inxección   pódese factorizar como unha bixección seguida dunha inclusión do seguinte modo: sexa   unha   con codominio restrinxido á súa imaxe, e sexa   o mapa de inclusión de   en  . Daquela  . Dáse a continuación unha factorización dual para as sobrexeccións.
  • A composición de dúas inxeccións é de novo unha inxección, mais se   é inxectiva, entón só se pode concluír que   é inxectiva (ver figura).
  • Toda inserción é inxectiva.

Sobrexección

editar
Artigo principal: Función sobrexectiva.
 
Composición sobrexectiva: a primeira función non ten por que ser sobrexectiva.

Os seguintes son algúns feitos relacionados coas sobrexeccións:

  • Unha función   é sobrexectiva se e só se é inversible pola dereita, é dicir, se e só se existe unha función   tal que   función de identidade en  .
  • Ao contraer todos os argumentos que se mapean cunha imaxe dada, cada sobrexección induce unha bixección dun conxunto cociente do seu dominio ao seu codominio. Máis precisamente, as preimaxes baixo f dos elementos da imaxe de   son as clases de equivalencia dunha relación de equivalencia no dominio de  , tal que x e y son equivalentes se e só teñen a mesma imaxe baixo  . Como todos os elementos de calquera destas clases de equivalencia están mapeados por   sobre o mesmo elemento do codominio, isto induce unha bixección entre o conxunto cociente por esta relación de equivalencia (o conxunto das clases de equivalencia) e a imaxe de   (que é o seu codominio cando   é sobrexectiva). A maiores, f é a composición da proxección canónica de f ao conxunto cociente, e a bixección entre o conxunto cociente e o codominio de  .
  • A composición de dúas sobrexeccións volve ser unha sobrexección, mais se   é sobrexectiva, entón só se pode concluír que   é sobrexectiva (ver figura).

Bixección

editar
Artigo principal: Función bixectiva.
 
Composición bixectiva: a primeira función non ten por que ser sobrexectiva e a segunda función non ten por que ser inxectiva.

Os seguintes son algúns feitos relacionados coas bixeccións:

  • Unha función   é bixectiva se e só se é invertible, é dicir, hai unha función   tal que   función de identidade en X e   función de identidade en  . Esta función asigna cada imaxe á súa preimaxe única.
  • A composición de dúas bixeccións volve ser unha bixección, mais se   é unha bixección, entón só se pode concluír que   é inxectiva e   é sobrexectiva (ver a figura anterior e as observacións anteriores sobre inxeccións e sobrexeccións).
  • As bixeccións dun conxunto en si mesmo forman un grupo baixo composición, chamado grupo simétrico.

Cardinalidade

editar

Pódese definir que dous conxuntos "teñen o mesmo número de elementos" se hai unha bixección entre eles. Neste caso, dise que os dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade.

Exemplos

editar

É importante especificar o dominio e o codominio de cada función, xa que ao mudar estes, as funcións que parecen ser iguais poden ter propiedades diferentes.

Inxectiva e sobrexectiva (bixectiva)
  • A función de identidade idX para cada conxunto non baleiro X, e polo tanto especificamente 

Para dominios positivos  :

  •  , e así tamén a súa inversa  
  • A función exponencial   (é dicir, a función exponencial co seu codominio restrinxido á súa imaxe), e así tamén o seu inverso o logaritmo natural ou neperiano  
Inxectiva e non sobrexectiva
  • A función exponencial  
Non inxectiva e si sobrexectiva
  •  
  •  
Non inxectiva e non sobrexectiva
  •  
  •  

Propiedades

editar
  • Para cada función f, sexa X un subconxunto do dominio e Y un subconxunto do codominio. Tense sempre Xf−1(f(X)) e f(f−1(Y)) ⊆ Y, onde f(X) é a imaxe de X e f−1(Y) é a preimaxe de Y baixo f . Se f é inxectiva, entón X = f−1(f(X)), e se f é surxectiva, entón f(f−1(Y)) = Y .
  • Para cada función h : XY, pódese definir unha sobrexección H: Xh(X): xh(x) e unha inxección I: h(X) → Y: yy . Segue que  . Esta descomposición como a composición dunha sobrexección e dunha inxección é única ata un isomorfismo, no sentido de que, dada tal descomposición, hai unha bixección única   tal que   e   para cada  

Teoría de categorías

editar

Na categoría de conxuntos, inxeccións, sobrexeccións e bixeccións corresponden precisamente a monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos, respectivamente.[5]

Historia

editar

Cando o grupo francés Bourbaki acuñou a terminoloxía inxectiva, sobrexectiva e bixectiva (como substantivos e como adxectivos) foi o momento no que acadou unha ampla adopción.[6]

Véxase tamén

editar

Ligazóns externas

editar