Dominio de definición

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Dominio.

En Matemáticas, o dominio ou conxunto de definición dunha función $f\colon X\to Y\,$ é o conxunto dos valores nos que está definida, é dicir os valores que pode transformar. Denótase $\operatorname {Dom} _{f}\,$ ou $D_{f}$ .

Función f, de **dominio** X a Y. O óvalo pequeno dentro de Y é o rango ou percorrido de f.

O conxunto de todos os resultados posibles dunha función denomínase imaxe desa función.

Para unha función $f\colon X\to Y$ , o conxunto $Y$ chámase codominio: o conxunto ao que deben pertencer todas as saídas. O conxunto de saídas específicas que a función asigna aos elementos de $X$ chámase rango ou imaxe. A imaxe de f é un subconxunto de $Y$ , que se mostra como un óvalo amarelo no diagrama que se acompaña.

Calquera función pode restrinxirse a un subconxunto do seu dominio. A restrición de $f\colon X\to Y$ a $A$ , onde $A\subseteq X$ , escríbese como $\left.f\right|_{A}\colon A\to Y$ .

Definición

O dominio de definición dunha función f:X→Y defínese como o conxunto X de todos os elementos x para os que a función f asocia algún y pertencente ao conxunto Y. De maneira formal:

$D_{f}=\;\left\{x\in X|\exists y\in Y:f(x)=y\right\}$

Propiedades

Dadas dúas función reais:

$f\colon X_{1}\to \mathbb {R} \,\qquad {\mbox{y}}\quad g\colon X_{2}\to \mathbb {R} \,$

Verifícanse as seguintes propiedades:

$D_{(f+g)}=X_{1}\cap X_{2}$
$D_{(f-g)}=X_{1}\cap X_{2}$
$D_{(f\cdot g)}\ =X_{1}\cap X_{2}$
$D_{(f/g)}=\{x\in (X_{1}\cap X_{2})|g(x)\neq 0\}$

Cálculo do dominio dunha función real

Algunhas funcións reais teñen restricións que axudan a identificar o seu dominio. As máis habituais son:

Raíz n-ésima de f(x)

Se n é par, a función f(x) que representa a raíz n-ésima só estará definida nos valores nos que a expresión do radicando sexa positiva. Por exemplo:

y={\sqrt {7x-21}}

O índice da raíz é par (2), polo que $7x-21\geq 0$ ; dedúcese entón que debe cumprirse que x ≥ 3. O dominio será o conxunto dos números reais no intervalo [3,+∞).

Logaritmo de f(x)

Pola definición do logaritmo, calquera función sobre a que se aplique o logaritmo debe ser estritamente maior ca cero. Por exemplo:

y=\log(x^{2}-9)

Esta función está definida nos valores nos que $x^{2}-9>0$ ; estes valores son os números reais do conxunto (-∞, -3) U (3, +∞).

Fraccións alxébricas

Unha función non estará definida nos valores que anulen o denominador, xa que daría lugar a unha indeterminación.

Véxase tamén

Outros artigos

Codominio