Abrir o menú principal

O concepto de conxunto na Matemática é intuitivo e poderiamos definilo como unha colección de varios obxectos ou elementos, sen importar a súa orde e feita con calquera criterio. Un conxunto está ben definido se é sabido se un determinado elemento pertence ou non ao conxunto.

Os conxuntos represéntanse cunha letra maiúscula.

Dous conxuntos A e B son iguais cando posúen precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é un elemento de B e cada elemento de B é un elemento de A.

Índice

NotaciónEditar

Normalmente, úsanse letras maíusculas para representar os conxuntos e letras minúsculas para representar os elementos dun conxunto dado. Se   é un conxunto e   todos os seus elementos, é frecuente escribir:

  (1)

para definir tal conxunto  . A notación empregada en (1) para definir o conxunto   chámase notación por extensión.

Para representar que un elemento   pertence a un conxunto  , escríbese   (léase ben   no  , ben   pertence ao  ). A negación de   escríbese   (léase   non pertence ao  ).

Se todos os elementos   dun conxunto   satisfan algunha propiedade —que pode representarse como unha proposición   coa indeterminada  —, usamos a notación por comprensión, e pode definirse:

 
A é o conxunto de elementos x, que cumpren p(x), onde o símbolo : lese "cúmprese que", e pode ser substituído por unha barra   "tal que".

Por exemplo, o conxunto   pode definirse por:

 .

O símbolo   representa o conxunto dos números naturais.

Subconxuntos e superconxuntosEditar

Un conxunto   dise subconxunto doutro  , se todos os elementos do   son tamén elementos do  ; matematicamente:

 ,

sexa cal for o elemento  . Así, escríbese  .

Deberá ser sinalado que, por definición, non se exclúe a posibilidade de se  , cumprirse  . Se o   ten ao menos un elemento que non pertenza ao conxunto  , mais se todos os elementos do   son elementos do  , entón dicimos que   é un subconxunto propio do  , o que se representa como  .

Se o   é un subconxunto do  , dicimos tamén que o   é un superconxunto do  , o que se escribe  . Logo

 ,

e tamén:  ,

significando   que o   é superconxunto propio do  .

Polo principio de indentidade, é sempre certo  , para todos os elementos  , polo que todo conxunto é subconxunto (e tamén superconxunto) de si mesmo.

Vemos que   é unha relación de orde sobre un conxunto   de conxuntos, pois

    é reflexiva.
        é antisimétrica
        é transitiva

Conxunto baleiroEditar

O conxunto baleiro ou conxunto vacío é un conxunto que non posúe elementos. Represéntase por   ou  

Todo conxunto posúe como subconxunto o conxunto baleiro. Podemos mostrar isto supondo que se o conxunto baleiro non pertence ao conxunto en cuestión, entón o conxunto baleiro debe posuír un elemento ao menos que non pertenza a este conxunto. Como o conxunto baleiro non posúe elementos, isto non é posíbel. Como todos os conxuntos baleiros son iguais uns aos outros, é permisíbel falar dun único conxunto sen elementos.

Operacións cos conxuntosEditar

Sexan   e   dous conxuntos.

UniónEditar

 
 

Os elementos que pertencen ao   ou ao   ou a ambos os dous   e  , forman outro conxunto, chamado unión de   e  , escrito  . Matematicamente:

 .

IntersecciónEditar

 
 

Os elementos comúns de   e mais de   forman un conxunto denominado intersección de   e  , representado por  :

 .

Se dous conxuntos   e   son tales que  , entón   e   dinse conxuntos disxuntos.

DiferenzaEditar

 
 

Os elementos dun conxunto   que non se atopan noutro conxunto  , forman outro conxunto chamado diferenza de   e  , representado por,  :

 .

Álxebra de conxuntosEditar

Sexan A, B, e C conxuntos calquera, logo:

  • A ∩ A = A
  • A ∪ A = A
  • A - A = Ø
  • A ∩ B = B ∩ A
  • A ∪ B = B ∪ A
  • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
  • C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
  • C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
  • C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
  • (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
  • (B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
  • A ⊆ B A ∩ B = A
  • A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
  • A ⊆ B ↔ A - B = Ø
  • A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
  • A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
  • A ∩ Ø = Ø
  • A ∪ Ø = A
  • Ø - A = Ø
  • A - Ø = A

Sexa U un conxunto tal que A, B, e C son subconxuntos do U (utilízase a notación A' := U - A). Entón:

  • A'' = A
  • B - A = A' ∩ B
  • (B - A)' = A ∪ B'
  • A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
  • A ∩ U = A
  • A ∪ U = U
  • U - A = A'
  • A - U = Ø