Epimorfismo

Na teoría das categorías, un epimorfismo é un morfismo f : X → Y que é cancelativo pola dereita no sentido de que, para todos os obxectos Z e todos os morfismos g₁, g₂: Y → Z,

$g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.$

Os epimorfismos son análogos categóricos das funcións sobrexectivas (e na categoría de conxuntos o concepto ten unha correspondencia exacta ás funcións sobrexectivas), mais poden non coincidir exactamente en todos os contextos; por exemplo, a inclusión $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ é un epimorfismo de anel. O dual dun epimorfismo é un monomorfismo (é dicir, un epimorfismo dunha categoría C é un monomorfismo da categorías dual C^op).

Exemplos

Todo morfismo nunha categoría concreta cuxa función subxacente é sobrexectiva é un epimorfismo. Por exemplo, nas seguintes categorías, os epimorfismos son exactamente aqueles morfismos que son sobrexectivos sobre os conxuntos subxacentes:

• Conxunto: conxuntos e funcións. Para probar que cada epimorfismo f: X → Y en Conxunto é sobrexectivo, compomos con ambos os función indicadora g₁: Y → {0,1} da imaxe f(X) e o mapa g₂: Y → {0,1} que é a constante 1.
• Rel: conxuntos con relacións binarias e funcións con preservación de relacións. Aquí podemos usar a mesma proba que para Conxunto, equipando {0,1} coa relación completa {0,1}×{0,1}.
• Pos: conxuntos parcialmente ordenados e funcións monótonas. Se f : (X, ≤) → (Y, ≤ ) non é sobrexectivo, elixe y₀ en Y \ f(X) e sendo g₁ : Y → {0,1} a función característica de {y | y₀ ≤ y} e g₂ : Y → {0,1} a función indicadora de {y | y₀ < y}. Estes mapas son monótonos se {0,1} ten a orde estándar 0 < 1.
• Grp: grupos e homomorfismos de grupo. O resultado de que cada epimorfismo en Grp é sobrexectivo é debido a Otto Schreier (de feito, demostrou máis, mostrando que cada subgrupo é un igualador usando o produto libre con un subgrupo amalgamado); unha proba elemental pódese atopar en (Linderholm 1970).
• Ab: grupos abelianos e homomorfismos de grupo.
• K-Vectores: espazos vectoriais sobre un corpo K e K-transformacións lineais.
• Mod-R: módulos pola dereita sobre un anel R e os homomorfismos de módulo. Isto xeneraliza os dous exemplos anteriores; para probar que cada epimorfismo f: X → Y en Mod-R é sobrexectivo, compóñemos con ambos os mapas de módulos cociente g₁: Y → Y/f(X) e o mapa cero g₂: Y → Y/f(X).
• Top: espazos topolóxicos e funcións continuas. Para probar que cada epimorfismo en Top é sobrexectivo, procedemos exactamente como en Conxunto, dando a {0,1} a topoloxía trivial, que asegura que todos os mapas considerados sexan continuos.

Porén, tamén hai moitas categorías concretas de interese onde os epimorfismos fallan como sobrexectivos. Algúns exemplos son:

• Na categoría de monoides, Mon, o mapa de inclusión N → Z é un epimorfismo non sobrexectivo. Para ver isto, supoña que g₁ e g₂ son dous mapas distintos de Z a algún monoide M. Entón, para algúns n en Z, g₁(n) ≠ g₂ (n), polo que g₁(−n) ≠ g₂(−n). Ou n ou −n está en N, polo que as restricións de g₁ e g₂ a N son desiguais.
• Na categoría de álxebras sobre un anel conmutativo R, tomamos R[N] → R [Z], onde R[G] é o anel do grupo G e o morfismo indúcese pola inclusión N → Z como no exemplo anterior. Isto segue da observación de que 1 xera a álxebra R[Z] (nótese que a unidade en R[Z] vén dada por 0 de Z), e a inversa do elemento representado por n en Z é só o elemento representado por −n. Así, calquera homomorfismo de R[Z] está determinado unicamente polo seu valor no elemento representado por 1 de Z.
• Na categoría de aneis, Anel, o mapa de inclusión Z → Q é un epimorfismo non sobrxectivo; para ver isto, teña en conta que calquera homomorfismo de anel en Q está determinado enteiramente pola súa acción sobre Z, semellante ao exemplo anterior. Un argumento similar mostra que o homomorfismo de anel natural de calquera anel conmutativo R a calquera das súas localizacións é un epimorfismo.
• Na categoría de aneis conmutativos, un homomorfismo finitamente xerado de aneis f: R → S é un epimorfismo se e só se para todos os ideais primos P de R, o ideal Q xerado por f (P) é S ou é primo, e se Q non é S, o mapa inducido (do corpo das fraccións) Frac(R/P) → Frac(S/Q) é un isomorfismo (EGA IV 17.2.6).
• Na categoría de espazos de Hausdorff, Haus, os epimorfismos son precisamente as funcións continuas con imaxes densas. Por exemplo, o mapa de inclusión Q → R, é un epimorfismo non sobrexectivo.

Propiedades

Todo isomorfismo é un epimorfismo; de feito só se necesita un inverso pola dereita: se existe un morfismo j : Y → X tal que fj = id_Y, entón f : X → Y é un epimorfismo. Un mapa con tal inverso á dereita chámase epimorfismo dividido. Nun topos, un mapa que é á vez un monomorfismo (ou morfismo mónico) e un epimorfismo é un isomorfismo.

A composición de dous epimorfismos é de novo un epimorfismo. Se a composición fg de dous morfismos é un epimorfismo, entón f debe ser un epimorfismo.

A definición de epimorfismo pódese reformular para afirmar que f : X → Y é un epimorfismo se e só se os mapas inducidos

${\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}$

son inxectivos para cada escolla de Z. Isto á súa vez é equivalente á transformación natural inducida

${\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}$

sendo un monomorfismo na categoría de functores Set^C.

Todo coigualador é un epimorfismo. Dedúcese en particular que todo cokernel é un epimorfismo. O contrario, é dicir, que todo epimorfismo sexa un coigualador, non é certo en todas as categorías.

Terminoloxía

Os termos complementarios de epimorfismo e monomorfismo foron introducidos por primeira vez por Bourbaki. Bourbaki usa o epimorfismo como abreviatura dunha función sobrexectiva. Os primeiros teóricos de categorías crían que os epimorfismos eran o análogo correcto das sobrexeccións nunha categoría arbitraria, de xeito similar a como os monomorfismos son case un análogo exacto das inxeccións. Desafortunadamente, isto é incorrecto; os epimorfismos fortes ou regulares compórtanse moito máis preto das sobrexeccións que os epimorfismos ordinarios.

Véxase tamén

Bibliografía

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. 
• Bergman, George (2015). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. Springer. ISBN 978-3-319-11478-1. 
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193. 
• Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Dover Publications, Inc Mineola, New York. ISBN 9780486809038. 
• Tsalenko, M.S.; Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4. 
• "Epimorphism". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2015). Sets for Mathematics. Cambridge university press. ISBN 978-0-521-80444-8. 
• Linderholm, Carl (1970). "A Group Epimorphism is Surjective". American Mathematical Monthly 77 (2): 176–177. doi:10.1080/00029890.1970.11992448. 

Outros artigos

• monomorfismo.

Ligazóns externas

• epimorphism at the nLab
• Strong epimorphism at the nLab