Aplicación linear

En matemáticas unha aplicación linear é unha aplicación entre dous espazos vectoriais, que preserva as operacións de adición de vectores e multiplicación por un escalar.

En álxebra abstracta e en álxebra linear unha aplicación linear é un homomorfismo entre espazos vectoriais ou na linguaxe da teoría de categorías un morfismo sobre a categoría dos espazos vectoriais sobre un corpo dado.

Definición

Denomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear a aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición:

Sexan $V$ e $W$ espazos vectoriais sobre o mesmo corpo $K$. Unha aplicación $T$ de $V$ en $W$ é unha transformación linear se para todo par de vectores $u,v\in V$ e para todo escalar $k\in K$, se satisfai que:

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)\,$
2. $T(ku)=kT(u)\,$.

Exemplos

1. A aplicación $B:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ que envía $\alpha$ en ${\bar {\alpha }}$ (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera $\mathbb {C}$ como un $\mathbb {R}$-espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como $\mathbb {C}$-espazo vectorial, xa que $B(i)=-i\neq iB(1)=i$.
2. Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade $T:V\rightarrow V\quad /\quad T(x)=x,$ $\forall x\in V$, que resulta unha transformación linear.
3. As homotecias: $T:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{n}\quad /\quad T(x)=kx$ con $k\in \mathbb {K}$. Se k > 1 denomínanse dilatacións e se k < 1 denomínanse contraccións.
4. Dada unha matriz $A\in M_{n\times m}(K)$, a función $L_{A}:K^{m}\rightarrow K^{n}$ definida como $L_{A}(x)=Ax$ é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
5. Sexa $V$ o conxunto de funcións continuas en $\mathbb {R}$ e defínase $\phi :V\rightarrow V$ mediante $\phi (f)(t)=\int _{0}^{t}f(x)\,dx$, ocorre que:

$\int _{0}^{t}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{0}^{t}f(x)\,dx+\int _{0}^{t}g(x)\,dx$

e

$\int _{0}^{t}cf(x)\,dx=c\int _{0}^{t}f(x)\,dx$ para $c\in \mathbb {R}$

Polo tanto, cúmprese que $\phi (f+g)=\phi (f)+\phi (g)$ e $\phi (cf)=c\,\phi (f)$ para todo $f$ e $g$ en $V$ e todo $c\in \mathbb {R}$, así que $\phi$ é unha aplicación linear de $V$ en $V$.

Propiedades das transformacións lineares

Sexan $V_{}^{}$ e $W_{}^{}$ espazos vectoriais sobre $K_{}^{}$ (onde $K_{}^{}$ representa o corpo), satisfaise que: Se $T:V\rightarrow W$ é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de $T_{}^{}$ como:

$\operatorname {ker} (T)=\{\,v\in V:T(v)=0_{W}\,\}$

$\operatorname {Im} (T)=\{\,w\in W:\exists v\in V:T(v)=w\,\}$

É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.

O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio:

1. $0_{V}\in \operatorname {ker} (T)$ dado que $T(0_{V})=0_{W}$ (para probar isto, obsérvese que $T(0_{V})=T(0_{V}+0_{V})=T(0_{V})+T(0_{V})$).
2. Dados $u,v\in \operatorname {ker} (T):T(u+v)=T(u)+T(v)=0_{W}+0_{W}=0_{W}\Rightarrow u+v\in \operatorname {ker} (T)$
3. Dados $u\in \operatorname {ker} (T)\land k\in \Re :T(ku)=kT(u)\land T(ku)=k0_{W}=0_{W}\Rightarrow ku\in \operatorname {ker} (T)$

Denomínase nulidade á dimensión do núcleo. $\operatorname {null} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))$

A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio.

• A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
• O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe.

$\operatorname {ran} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (T))$

Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadas

Se f₁:$V$→$W$ e f₂:$V$→$W$ son lineares, entón tamén o é a súa suma f₁+f₂ (definida como (f₁+f₂)(x)=f₁(x)+f₂(x)).

Se f :$V$→$W$ é linear e a é un elemento do corpo K, entón a función af, definida como (af)(x) = a(f(x)), tamén é linear.

Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares f:$V$→$W$ forma un subespazo das funcións de $V$ en W. A este subespazo denótase L($W$,$W$) ou Hom($W$,$W$). A dimensión de L($V$,$W$) é igual ao produto das dimensións de $V$ e $W$.

Se f:$V$→$W$ e g:$W$→$Z$ son lineares entón a súa composición g∘f:$V$→$Z$ tamén o é.

Dado un espazo vectorial $V$, o espazo vectorial L($V$,$V$), que adoita denotarse End($V$), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.

Se f:$V$→$W$ é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear.

Teoremas básicos das transformacións

• Sexa B = {v_i: i ∈ J} base de $V$ e C = {w_i: i ∈ J} unha colección de vectores de $W$ non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear T: V → W que satisfai:

$T(v_{i})=w_{i},\ \forall i\in J$

• Sexa $T:V\rightarrow W$ unha transformación linear.

entón $\dim(V)=\dim(N(T))+\dim(\operatorname {Im} (T))$

Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo.

Clasificación das transformacións lineares

• Funcional linear: So as transformación lineares $T:V\rightarrow \mathbb {K}$ (onde $\mathbb {K}$ é o corpo base de V).
• Monomorfismo: Se $T:V\rightarrow W$ é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo. $\operatorname {ker} (T)={0_{V}}$
• Epimorfismo: Se $T:V\rightarrow W$ é sobrexectiva.
• Isomorfismo: Se $T:V\rightarrow W$ é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
• Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
• Automorfismo: Endomorfismo bixectivo.

Matriz asociada a unha transformación linear

Se $V$ e $W$ teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de $V$ en $W$ pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.

Sexan $T$:$V$→$W$ unha transformación linear, B={v₁, ..., v_n} unha base de $V$, C={w₁, ..., w_m} base de $W$. Para calcular a matriz asociada a $T$ bas bases B e C cómpre calcular $T$(v_i) para cada i=1,...,n e escribilo como combinación linear da base C: $T$(v₁)=a₁₁w₁+ ...+a_m1 w_m, ..., $T$(v_n)=a_1nw₁+ ...+a_mn w_m.

A matriz asociada denótase _C[T]_B e é:

$_{C}[T]_{B}={\begin{pmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\...&...&...\\a_{m1}&...&a_{mn}\end{pmatrix}}$ .

Como un vector de $W$ se escribe de forma única como combinación linear de elementos de C, a matriz é única.

Como dada calquera escolla de u₁, ..., u_n existe e é única a transformación linear que envía v_i en u_i, entón, dada A calquera matriz m×n, existe e é única a transformación linear $T$:$V$→$W$ tal que _C [T] _B=A.

Ademais, as matrices asociadas cumpren que _C [aT+bS] _B = a _C [T] _B + b _C [S] _B para calquera a,b∈ℝ, T,S∈ L(V,W). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre L($V$,$W$) e M_n×mC (K).

De restrinxirse ao caso $V$=$W$, C=B, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.

Véxase tamén

Bibliografía

• Halmos, Paul R. (1974). Finite-Dimensional Vector Spaces. Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90093-4. 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2. 
• Lang, Serge (1987). Linear Algebra (Third ed.). Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96412-6. 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (Third ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-085613-3. 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (Second ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054236-8. 

Outros artigos

• Álxebra linear
• Teorema rango-nulidade
• Lista de funcións matemáticas
• Operador linear limitado

Ligazóns externas

• Universidad Politécnica de Madrid: Aplicaciones lineales
• Universidad Politécnica de Catalunya: Aplicaciones Lineales Arquivado 06 de outubro de 2010 en Wayback Machine.
• Matemáticas para todos: Aplicaciones Lineales
• Universidad de Cantabria: Aplicaciones lineales