Aplicación linear
En matemáticas unha aplicación linear é unha aplicación entre dous espazos vectoriais, que preserva as operacións de adición de vectores e multiplicación por un escalar.
En álxebra abstracta e en álxebra linear unha aplicación linear é un homomorfismo entre espazos vectoriais ou na linguaxe da teoría de categorías un morfismo sobre a categoría dos espazos vectoriais sobre un corpo dado.
Definición
editarDenomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear á aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición:
- Sexan e espazos vectoriais sobre o mesmo corpo . Unha aplicación de en é unha transformación linear se para todo par de vectores e para todo escalar , se satisfai que:
- .
Exemplos
editar- A aplicación que envía en (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera como un -espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como -espazo vectorial, xa que .
- Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade , que resulta unha transformación linear.
- As homotecias: con . Se k > 1 denomínanse dilatacións e se k < 1 denomínanse contraccións.
- Dada unha matriz , a función definida como é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
- Sexa o conxunto de funcións continuas en e defínase mediante , ocorre que:
- e
- para
- Polo tanto, cúmprese que e para todo e en e todo , así que é unha aplicación linear de en .[1]
Propiedades das transformacións lineares
editarSexan e espazos vectoriais sobre (onde representa o corpo), satisfaise que: Se é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de como:
É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.
O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio:
- dado que (para probar isto, obsérvese que ).
- Dados
- Dados
Denomínase nulidade á dimensión do núcleo.
A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio.
- A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
- O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe.
Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadas
editarSe f1: → e f2: → son lineares, entón tamén o é a súa suma f1+f2 (definida como (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x)).
Se f : → é linear e a é un elemento do corpo K, entón a función af, definida como (af)(x) = a(f(x)), tamén é linear.
Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares f: → forma un subespazo das funcións de en W. A este subespazo denótase L( , ) ou Hom( , ). A dimensión de L( , ) é igual ao produto das dimensións de e .
Se f: → e g: → son lineares entón a súa composición g∘f: → tamén o é.
Dado un espazo vectorial , o espazo vectorial L( , ), que adoita denotarse End( ), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.
Se f: → é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear.
Teoremas básicos das transformacións
editar- Sexa B = {vi: i ∈ J} base de e C = {wi: i ∈ J} unha colección de vectores de non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear T: V → W que satisfai:
- Sexa unha transformación linear.
- entón
Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo.
Clasificación das transformacións lineares
editar- Funcional linear: So as transformación lineares (onde é o corpo base de V).
- Monomorfismo: Se é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo.
- Epimorfismo: Se é sobrexectiva.
- Isomorfismo: Se é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
- Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
- Automorfismo: Endomorfismo bixectivo.
Matriz asociada a unha transformación linear
editarSe e teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de en pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.
Sexan : → unha transformación linear, B={v1, ..., vn} unha base de , C={w1, ..., wm} base de . Para calcular a matriz asociada a bas bases B e C cómpre calcular (vi) para cada i=1,...,n e escribilo como combinación linear da base C: (v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ..., (vn)=a1nw1+ ...+amn wm.
A matriz asociada denótase C[T]B e é:
- .
Como un vector de se escribe de forma única como combinación linear de elementos de C, a matriz é única.
Como dada calquera escolla de u1, ..., un existe e é única a transformación linear que envía vi en ui, entón, dada A calquera matriz m×n, existe e é única a transformación linear : → tal que C [T] B=A.
Ademais, as matrices asociadas cumpren que C [aT+bS] B = a C [T] B + b C [S] B para calquera a,b∈ℝ, T,S∈ L(V,W). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre L( , ) e Mn×mC (K).
De restrinxirse ao caso = , C=B, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.
Notas
editar- ↑ "Álgebra lineal y matrices" (1989) Herstein y Winter ISBN 968-7270-52-7; pág. 331
Véxase tamén
editarBibliografía
editar- Halmos, Paul R. (1974). Finite-Dimensional Vector Spaces. Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90093-4.
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.
- Lang, Serge (1987). Linear Algebra (Third ed.). Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96412-6.
- Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (Third ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-085613-3.
- Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (Second ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054236-8.