Bixección, inxección e sobrexección

	sobrexectiva	non sobrexectiva
inxectiva	bixectiva	só inxectiva
non- inxectiva	só sobrexectiva	xeral

En matemáticas, as inxeccións, as sobrexeccións e as bixeccións son clases de funcións que se distinguen pola forma en que os argumentos (expresións de entrada do dominio) e as imaxes (expresións de saída do codominio) están relacionados ou mapeadas entre si.

Unha función mapea elementos do seu dominio a elementos do seu codominio. Dada unha función $f\colon X\to Y$:

• A función é inxectiva, ou un a un, se cada elemento do codominio está asignado como moito a un elemento do dominio, ou de forma equivalente, se distintos elementos do dominio se asignan a distintos elementos do codominio. Unha función inxectiva tamén se denomina inxección.Notacionalmente:

$\forall x,x'\in X,f(x)=f(x')\implies x=x',$

• A función é sobrexectiva, ou onto, se cada elemento do codominio está asignado a polo menos un elemento do dominio. É dicir, a imaxe e o codominio da función son iguais. Unha función surxectiva é unha sobrexección.. Notacionalmente:

$\forall y\in Y,\exists x\in X{\text{ such that }}y=f(x).$

• A función é bixectiva (un-a-un e onto ou invertible ) se cada elemento do codominio está mapeado por exactamente un elemento do dominio. É dicir, a función é tanto inxectiva como sobrexectiva. Unha función bixectiva tamén se denomina bixección. . É dicir, combinando as definicións de inxectiva e sobrexectiva temos

$\forall y\in Y,\exists !x\in X{\text{ such that }}y=f(x),$

onde $\exists !x$ significa " existe exactamente unha x".

• En calquera caso (para calquera función), vale o seguinte:

$\forall x\in X,\exists !y\in Y{\text{ such that }}y=f(x).$

As catro combinacións posibles de características inxectivas e sobrexectivas están ilustradas nos diagramas superiores.

Inxección

Artigo principal: Función inxectiva.

Composición inxectiva: a segunda función non ten por que ser inxectiva.

Os seguintes son algúns feitos relacionados coas inxeccións:

• Unha función $f\colon X\to Y$ é inxectiva se e só se $X$ está baleiro ou $f$ é invertible pola esquerda; é dicir, hai unha función $g\colon f(X)\to X$ tal que $g\circ f=$ función de identidade en X. Aquí, $f(X)$ é a imaxe de $f$.
• Dado que toda función é sobrexectiva cando o seu codominio está restrinxido á súa imaxe, cada inxección induce unha bixección na súa imaxe. Máis precisamente, cada inxección $f\colon X\to Y$ pódese factorizar como unha bixección seguida dunha inclusión do seguinte modo: sexa $f_{R}\colon X\rightarrow f(X)$ unha $f$ con codominio restrinxido á súa imaxe, e sexa $i\colon f(X)\to Y$ o mapa de inclusión de $f(X)$ en $Y$. Daquela $f=i\circ f_{R}$. Dáse a continuación unha factorización dual para as sobrexeccións.
• A composición de dúas inxeccións é de novo unha inxección, mais se $g\circ f$ é inxectiva, entón só se pode concluír que $f$ é inxectiva (ver figura).
• Toda inserción é inxectiva.

Sobrexección

Artigo principal: Función sobrexectiva.

Composición sobrexectiva: a primeira función non ten por que ser sobrexectiva.

Os seguintes son algúns feitos relacionados coas sobrexeccións:

• Unha función $f\colon X\to Y$ é sobrexectiva se e só se é inversible pola dereita, é dicir, se e só se existe unha función $g\colon Y\to X$ tal que $f\circ g=$ función de identidade en $Y$.
• Ao contraer todos os argumentos que se mapean cunha imaxe dada, cada sobrexección induce unha bixección dun conxunto cociente do seu dominio ao seu codominio. Máis precisamente, as preimaxes baixo f dos elementos da imaxe de $f$ son as clases de equivalencia dunha relación de equivalencia no dominio de $f$, tal que x e y son equivalentes se e só teñen a mesma imaxe baixo $f$. Como todos os elementos de calquera destas clases de equivalencia están mapeados por $f$ sobre o mesmo elemento do codominio, isto induce unha bixección entre o conxunto cociente por esta relación de equivalencia (o conxunto das clases de equivalencia) e a imaxe de $f$ (que é o seu codominio cando $f$ é sobrexectiva). A maiores, f é a composición da proxección canónica de f ao conxunto cociente, e a bixección entre o conxunto cociente e o codominio de $f$.
• A composición de dúas sobrexeccións volve ser unha sobrexección, mais se $g\circ f$ é sobrexectiva, entón só se pode concluír que $g$ é sobrexectiva (ver figura).

Bixección

Artigo principal: Función bixectiva.

Composición bixectiva: a primeira función non ten por que ser sobrexectiva e a segunda función non ten por que ser inxectiva.

Os seguintes son algúns feitos relacionados coas bixeccións:

• Unha función $f\colon X\to Y$ é bixectiva se e só se é invertible, é dicir, hai unha función $g\colon Y\to X$ tal que $g\circ f=$ función de identidade en X e $f\circ g=$ función de identidade en $Y$. Esta función asigna cada imaxe á súa preimaxe única.
• A composición de dúas bixeccións volve ser unha bixección, mais se $g\circ f$ é unha bixección, entón só se pode concluír que $f$ é inxectiva e $g$ é sobrexectiva (ver a figura anterior e as observacións anteriores sobre inxeccións e sobrexeccións).
• As bixeccións dun conxunto en si mesmo forman un grupo baixo composición, chamado grupo simétrico.

Cardinalidade

Pódese definir que dous conxuntos "teñen o mesmo número de elementos" se hai unha bixección entre eles. Neste caso, dise que os dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade.

Exemplos

É importante especificar o dominio e o codominio de cada función, xa que ao mudar estes, as funcións que parecen ser iguais poden ter propiedades diferentes.

Inxectiva e sobrexectiva (bixectiva)

• A función de identidade id_X para cada conxunto non baleiro X, e polo tanto especificamente$\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x.$

Para dominios positivos $\mathbf {R} ^{+}$:

• $\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto x^{2}$, e así tamén a súa inversa $\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto {\sqrt {x}}.$
• A función exponencial $\exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}$ (é dicir, a función exponencial co seu codominio restrinxido á súa imaxe), e así tamén o seu inverso o logaritmo natural $\ln \colon \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}.$

Inxectiva e non sobrexectiva

• A función exponencial $\exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \mathrm {e} ^{x}.$

Non inxectiva e si sobrexectiva

• $\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x.$
• $\mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x).$

Non inxectiva e non sobrexectiva

• $\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \sin(x).$
• $\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{2}$

Propiedades

• Para cada función f, sexa X un subconxunto do dominio e Y un subconxunto do codominio. Tense sempre X ⊆ f⁻¹(f(X)) e f(f⁻¹(Y)) ⊆ Y, onde f(X) é a imaxe de X e f⁻¹(Y) é a preimaxe de Y baixo f . Se f é inxectiva, entón X = f⁻¹(f(X)), e se f é surxectiva, entón f(f⁻¹(Y)) = Y .
• Para cada función h : X → Y, pódese definir unha sobrexección H: X → h(X): x → h(x) e unha inxección I: h(X) → Y: y → y . Segue que $h=I\circ H$. Esta descomposición como a composición dunha sobrexección e dunha inxección é única ata un isomorfismo, no sentido de que, dada tal descomposición, hai unha bixección única $\varphi :h(X)\to H(X)$ tal que $H(x)=\varphi (h(x))$ e $I(\varphi (h(x)))=h(x)$ para cada $x\in X.$

Teoría de categorías

Na categoría de conxuntos, inxeccións, sobrexeccións e bixeccións corresponden precisamente a monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos, respectivamente.

Historia

Cando o grupo francés Bourbaki acuñou a terminoloxía inxectiva, sobrexectiva e bixectiva (como substantivos e como adxectivos) foi o momento no que acadou unha ampla adopción.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.