Función inversa

En matemáticas, a función inversa dunha función $f$ (ou simplemente inversa de $f$ ) é unha función que desfai a operación de $f$ . A inversa de $f$ existe se e só se $f$ é bixectiva, e se existe, denotase por $f^{-1}.$

Para unha función $f\colon X\to Y$ , a súa inversa $f^{-1}\colon Y\to X$ admite unha descrición explícita: envía cada elemento $y\in Y$ ao elemento único $x\in X$ tal que $f (x) = y$ .

Como exemplo, considere a función con valores reais dunha variable real dada por $f (x) = 5 x - 7$ . Para desfacer isto, temos a inversa de $f$ , que sería a función $f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida por $f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.$

Definicións

Se

f

mapea

X

en

Y

, entón

f -1

mapea

Y

de novo en

X

.

Sexa $f$ unha función cuxo dominio é o conxunto $X$ e cuxo codominio é o conxunto $Y$ Entón $f$ é invertible se existe unha función $g$ de $Y$ a $X$ tal que $g(f(x))=x$ para todos os $x\in X$ e $f(g(y))=y$ para todos os $y\in Y$ .^[1]

Se $f$ é invertible, entón hai exactamente unha función $g$ que satisfai esta propiedade.

A función $f$ é invertible se e só se é bixectiva. Isto é porque a condición $g(f(x))=x$ para todos os $x\in X$ implica que $f$ é Inxectiva e a condición $f(g(y))=y$ para todos os $y\in Y$ implica que $f$ é sobrexectiva.

Inversas e composición

Lembre que se $f$ é unha función invertible con dominio $X$ e codominio $Y$ , entón

f^{-1}\left(f(x)\right)=x

, para cada

x\in X

e

f\left(f^{-1}(y)\right)=y

para cada

y\in Y

.

Usando a composición de funcións, esta afirmación pódese reescribir coas seguintes ecuacións entre funcións:

f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}

e

f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},

onde $id X$ é a función de identidade no conxunto $X$ ; é dicir, a función que deixa o seu argumento sen mudar. Na teoría de categorías, esta afirmación úsase como definición dun morfismo inverso.

Notación

Hai que ter coidado coa confusión na notación entre a función inversa e o inverso multiplicativo. Moitas veces o recíproco ou inverso multiplicativo usa a mesma nomenclatura e temos que prestar atención á notación.

Un exemplo típico é $sin -1 (x)$ que denota a función inversa do seno que sería o arco cuxo seno é $x$ que denotamos tamén como $arcsin(x)$ . Isto sería diferente ao recíproco do seno $(\sin {x})^{-1}={\dfrac {1}{\sin(x)}}.$

Para outras funcións debemos ter o mesmo coidado, como no exemplo da introdución temos

${\begin{aligned}f(x)=5x+7,{\text{ por exemplo }}f(3)=5\cdot 3+7=22.\\f^{-1}(x)={\dfrac {x-7}{5}},{\text{ aquí }}f(22)=(22-7)/5=3.\\(f(x))^{-1}={\dfrac {1}{5x+7}},{\text{ o recíproco ou multiplicativo inverso }}(f(3))^{-1}={\dfrac {1}{22}}\end{aligned}}$ .

Exemplos

Funcións do cadrado e da raíz cadrada

A función $f : R \to [0,\infty)$ dada por $f (x) = x 2$ non é inxectiva porque $(-x)^{2}=x^{2}$ para tódolos $x\in \mathbb {R}$ . Polo tanto, $f$ non é invertible se consideramos o dominio completo.

Se o dominio da función restrinxímolo aos reais non negativos, é dicir, tomamos a función $f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}$ coa mesma regra que antes, entón a función é bixectiva e, polo tanto, invertible. ^[2] A función inversa aquí denomínase función raíz cadrada (positiva) e denotase por $x\mapsto {\sqrt {x}}$ .

Funcións inversas estándar

A seguinte táboa mostra varias funcións estándar e as súas inversas:

Funcións aritméticas inversas
Función $f (x)$	Inversa $f -1 (y)$	Notas
$x + a$	$y - a$
$a - x$	$a - y$
$mx$	$y$ / $m$	$m \neq 0$
1/ $x$ (isto é, $x -1$ )	1/ $y$ (isto é, $y -1$ )	$x, y \neq 0$
$x p$	${\sqrt[{p}]{y}}$ (isto é, $y 1/ p$ )	$x, y \geq 0$ se $p$ é par; enteiro $p > 0$
$a x$	$log a y$	$y > 0$ e $a > 0$
$x e x$	$W (y)$	$x \geq -1$ e $y \geq -1/ e$
funcións trigonométricas	funcións trigonométricas inversas	varias restricións (ver táboa embaixo de inversas parciais)
función hiperbólica	funcións hiperbólicas inversas	varias restricións

Propiedades

Unicidade

Se existe unha función inversa para unha función $f$ dada, entón é única.^[3]

Simetría

Hai unha simetría entre unha función e a súa inversa. En concreto, se $f$ é unha función invertible con dominio $X$ e codominio $Y$ , entón a súa inversa $f -1$ ten dominio $Y$ e imaxe $X$ , e a inversa de $f -1$ é a función orixinal $f$ .

Esta afirmación é consecuencia da implicación de que para que $f$ sexa invertible debe ser bixectiva.

\left(f^{-1}\right)^{-1}=f.

O inverso de

g \circ f

é

f -1 \circ g -1

.

A inversa dunha composición de funcións vén dada por ^[4]

(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.

Observe que a orde de $g$ e $f$ foron invertidas; para desfacer $f$ seguido de $g$ , primeiro debemos desfacer $g$ , e despois desfacer $f$ .

Por exemplo, sexa $f (x) = 3 x$ e sexa $g (x) = x + 5$ . Entón a composición $g \circ f$ é a función que primeiro multiplica por tres e despois suma cinco,

(g\circ f)(x)=3x+5.

Para inverter este proceso, primeiro debemos restar cinco e despois dividir entre tres,

(g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).

Esta é a composición $(f -1 \circ g -1)(x)$ .

Autoinversas

Se $X$ é un conxunto, entón a función de identidade en $X$ é a súa propia inversa:

{\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.

Máis xeralmente, unha función $f : X \to X$ é igual á súa propia inversa, se e só se a composición $f \circ f$ é igual a $id X$ . Tal función chámase involución.

Gráfica da inversa

As gráficas de

y = f (x)

e

y = f -1 (x)

. A liña de puntos é

y = x

.

Se $f$ é invertible, entón a gráfica da función

y=f^{-1}(x)

é a mesma que a gráfica da ecuación

x=f(y).

Inversas e derivadas

O teorema da función inversa afirma que unha función continua $f$ é invertible no seu rango (imaxe) se e só se é estritamente crecente ou decrecente (sen máximos ou mínimos locais). Por exemplo, a función

f(x)=x^{3}+x

é invertible, xa que a derivada $f' (x) = 3 x 2 + 1$ é sempre positiva.

Se a función $f$ é derivable nun intervalo $I$ e $f' (x) \neq 0$ para cada $x \in I$ , entón a inversa $f -1$ é derivable en $f (I)$ .^[5] Se $y = f (x)$ , a derivada da inversa vén dada polo teorema da función inversa,

\left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.

Usando a notación de Leibniz a fórmula anterior pódese escribir como

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.

Este resultado despréndese da regra da cadea da diferenciación.

O teorema da función inversa pódese xeneralizar a funcións de varias variables. En concreto, unha función multivariable diferenciable $f : R n \to R n$ é invertible nunha veciñanza dun punto $p$ sempre que a matriz xacobiana de $f$ en $p$ sexa invertible. Neste caso, o xacobiano de $f -1$ en $f (p)$ é a matriz inversa do xacobiano de $f$ en $p$ .

Xeneralizacións

Inversas parciais

A raíz cadrada de

x

é unha inversa parcial de

f (x) = ' 'x 2

.

Aínda que unha función $f$ non sexa un a un (inxectiva), pode ser posíbel definir unha inversa parcial de $f$ mediante unha restricción do dominio. Por exemplo, a función

f(x)=x^{2}

non é un a un, xa que $x 2 = (- x) 2$ . No entanto, a función pasa a ser un a un se restrinximos ao dominio $x \geq 0$ , nese caso

f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.

(Se en troques restrinximos ao dominio $x \leq 0$ , entón o inverso é o negativo da raíz cadrada de $y$ ). Alternativamente, non hai que restrinxir o dominio se nos conformamos con que a inversa sexa unha función multivalor:

f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.

A inversa desta función cúbica ten tres ramas.

Ás veces, este inverso multivalor chámase inverso completo de $f$ , e as porcións (como √ $x$ e −√ $x$ ) chámanse ramas. A rama máis importante dunha función multivalor (por exemplo, a raíz cadrada positiva) chámase rama principal, e o seu valor en $y$ chámase valor principal de $f -1 (y)$ .

Para unha función continua na liña real, é necesaria unha rama entre cada par de extremos locais. Por exemplo, a inversa dunha función cúbica cun máximo local e un mínimo local ten tres ramas (ver a imaxe adxacente).

O arcoseno é un inverso parcial da función seno.

Estas consideracións son particularmente importantes para definir as inversas das funcións trigonométricas. Por exemplo, a función seno non é un a un, xa que

\sin(x+2\pi )=\sin(x)

para cada $x$ real (e máis xeralmente $sin(x + 2 π n) = sin(x)$ para cada número enteiro $n$ ). Non obstante, o seno é un a un no intervalo [ $π$ /2, $π$ /2], e a inversa parcial correspondente chámase arcoseno. Esta é considerada a rama principal do seno inverso, polo que o valor principal do seno inverso está sempre entre − $π$ /2 e $π$ /2. A seguinte táboa describe a rama principal de cada función trigonométrica inversa:^[6]

función	Intervalo do valor principal habitual
arcsin	$- π / 2 \leq sen -1 (x) \leq π / 2$
arccos	$0 \leq cos -1 (x) \leq π$
arctan	$- π / 2 < tan -1 (x) < π / 2$
arcot	$0 < cot -1 (x) < π$
arcsec	$0 \leq sec -1 (x) \leq π$
arccsc	$- π / 2 \leq csc -1 (x) \leq π / 2$

Inversos pola esquerda e pola dereita

A composición de funcións pola esquerda e pola dereita poden non coincidir. En xeral, as condicións

"Existe $g$ tal que $g (f (x))= x$ " e
"Existe $g$ tal que $f (g (x))= x$ "

implica propiedades diferentes de $f$ . Por exemplo, denotamos $f : R \to [0, \infty)$ o mapa de cadrados, de tal xeito que $f(x)=x^{2}$ para todos os $x$ en $R$ , e denotamos $g : [0, \infty)$ → R como o mapa da raíz cadrada, tal que $g(x)={\sqrt {x}}$ para todos os $x \geq 0$ . Entón $f (g (x)) = x$ para todos os $x$ en [ 0, ∞); é dicir, $g$ é unha inversa pola dereita de $f$ . No entanto, $g$ non é unha inversa pola esquerda de $f$ , xa que, por exemplo, $g (f (-1)) = 1 \neq -1$ .

Inversos pola esquerda

Se $f : X \to Y$ , temos que unha inversa pola esquerda para $f$ (ou retracción de $f$ ) é unha función $g : Y \to X$ de tal xeito que compoñer $f$ con $g$ desde a esquerda dá a función identidade^[7] : $g\circ f=\operatorname {id} _{X}.$ Isto é, a función $g$ cumpre a regra

Se

f (x)= y

, entón

g (y)= x

.

A función $g$ debe ser igual á inversa de $f$ na imaxe de $f$ , mais pode tomar calquera valor para elementos de $Y$ que non sexan a imaxe.

Unha función $f$ con dominio non baleiro é inxectiva se e só se ten unha inversa pola esquerda.^[8]

En matemáticas clásicas, toda función inxectiva $f$ cun dominio non baleiro ten necesariamente unha inversa pola esquerda; porén, isto pode fallar nas matemáticas construtivas.

Inversas pola dereita

Exemplo de inversa pola dereita con función sobrexectiva non inxectiva

Unha inversa pola dereita para $f$ (ou sección de $f$ ) é unha función $h : Y \to X$ tal que

f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.

É dicir, a función $h$ cumpre a regra

Se

\displaystyle h(y)=x

, entón

\displaystyle f(x)=y.

Así, $h (y)$ pode ser calquera dos elementos de $X$ que se asigna a $y$ baixo $f$ .

Unha función $f$ ten unha inversa pola dereita se e só se é sobrexectiva (aínda que construír tal inversa en xeral require o axioma da escolla).

Se

h

é a inversa pola dereita de

f

, entón

f

é sobrexectiva. Para todo

y\in Y

, hai

x=h(y)

tal que

f(x)=f(h(y))=y

.

Se

f

é sobrexectiva,

f

ten unha inversa pola dereita

h

, que se pode construír do seguinte xeito: para todo

y\in Y

, hai polo menos un

x\in X

tal que

f(x)=y

(porque

f

é sobrexectiva), polo que escollemos un deles para ser o valor de

h (y)

.

Inversas bilaterais

Unha inversa que sexa á vez pola esquerda e pola dereita (unha inversa bilateral), se existe, debe ser única. De feito, se unha función ten unha inversa pola esquerda e outra pola dereita, ambas son a mesma inversa a dúas caras, polo que se pod chamar simplemente inversa.

Se

g

é unha inversa pola esquerda e

h

unha inversa pola dereita de

f

, para todo

y\in Y

,

g(y)=g(f(h(y))=h(y)

.

Unha función ten unha inversabilateral se e só se é bixectiva.

Preimaxes

Se $f : X \to Y$ é calquera función (non necesariamente invertíbel), a preimaxe (ou a imaxe inversa) dun elemento $y \in Y$ defínese como o conxunto de todos os elementos de $X$ que se asignan a $y$ :

f^{-1}(\{y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.

A preimaxe de $y$ pódese pensar como a imaxe de $y$ baixo o inverso completo (multivalor) da función $f$ .

Do mesmo xeito, se $S$ é calquera subconxunto de $Y$ , a preimaxe de $S$ , denotada como $f^{-1}(S)$ , é o conxunto de todos os elementos de $X$ que se asignan a $S$ :

f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.

Por exemplo, tome a función $f : R \to R; x \mapsto x 2$ . Esta función non é invertíbel xa que non é bixectiva, mais pódense definir preimaxes para subconxuntos do codominio, por exemplo.

f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}

.

A preimaxe dun só elemento $y \in Y$ (un conxunto unitario ${y}$ ), ás veces chámase fibra de $y$ . Cando $Y$ é o conxunto de números reais, é común referirse a $f -1 ({y})$ como un conxunto de nivel.

Notas

↑ "Inverse function". mathworld.wolfram.com (en inglés).
↑ Lay 2006
↑ Wolf 1998
↑ Lay 2006
↑ Lay 2006
↑ Briggs & Cochran 2011, pp. 39–42
↑ Dummit; Pé de páxina. Álxebra abstracta.
↑ Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician.

Véxase tamén

Bibliografía

Briggs, William; Cochran, Lyle (2011). Calculus / Early Transcendentals Single Variable. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-66414-3.
Devlin, Keith J. (2004). Sets, Functions, and Logic / An Introduction to Abstract Mathematics (3 ed.). Chapman & Hall / CRC Mathematics. ISBN 978-1-58488-449-1.
Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988). Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
Lay, Steven R. (2006). Analysis / With an Introduction to Proof (4 ed.). Pearson / Prentice Hall. ISBN 978-0-13-148101-5.
Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006). A Transition to Advanced Mathematics (6 ed.). Thompson Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-39900-9.
Thomas Jr., George Brinton (1972). Calculus and Analytic Geometry Part 1: Functions of One Variable and Analytic Geometry (Alternate ed.). Addison-Wesley.
Wolf, Robert S. (1998). Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox. W. H. Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.

Outros artigos

Ligazóns externas

"Inverse function". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].

[:2-1] "Inverse function". mathworld.wolfram.com (en inglés).

[2] Lay 2006

[Wolf72-3] Wolf 1998

[4] Lay 2006

[5] Lay 2006

[6] Briggs & Cochran 2011, pp. 39–42

[7] Dummit; Pé de páxina. Álxebra abstracta.

[8] Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]