Función hiperbólica

función matemática

As funcións hiperbólicas son unhas funcións con definicións baseadas na función exponencial, ligada mediante operacións racionais e son análogas ás funcións trigonométricas.[1] Estas son:

Curvas das funcións hiperbólicas sinh, cosh e tanh
Curvas das funcións hiperbólicas csch, sech e coth

O seno hiperbólico

O coseno hiperbólico

A tanxente hiperbólica

e outras derivadas:

(cotanxente hiperbólica)
(secante hiperbólica)
(cosecante hiperbólica)

Relación entre funcións hiperbólicas e funcións circularesEditar

As funcións trigonométricas   e   poden ser as coordenadas cartesianas   dun punto P sobre a circunferencia unitaria centrada na orixe, onde t é o ángulo, medido en radiáns, comprendido entre o semieixe positivo X, e o segmento OP, segundo as seguintes igualdades:

 

Tamén pode interpretarse o parámetro t como a lonxitude do arco de circunferencia unitaria comprendido entre o punto   e o punto P, ou como o dobre da área do sector circular determinado polo semieixe positivo X, o segmento OP e a circunferencia unitaria.

 
Animación da representación do seno hiperbólico.

De modo análogo, pódense definir as funcións hiperbólicas, como as coordenadas cartesianas   dun punto P da hipérbole equilátera, centrada na orixe, cuxa ecuación é

 

onde t é o dobre da área da rexión comprendida entre o semieixe positivo X, e o segmento OP e a hipérbole, segundo as seguintes igualdades:

 

Con todo, tamén pode demostrarse que é válida a seguinte descrición da hipérbole:

 
 

dado que

 

De modo que o coseno hiperbólico e o seno hiperbólico admiten unha representación en termos de funcións exponenciais de variable real:

 
 

RelaciónsEditar

Ecuación fundamentalEditar

 

Duplicación do argumentoEditar

Téñense as seguintes fórmulas moi semellantes ás súas correspondentes trigonométricas[2]

 

o que leva á seguinte relación:

 

e por outra banda

 

que leva a:

 

tense estoutra relación

 

que permite ter

 

Derivación e integraciónEditar

 
 
 
 
 
 

Ademais a integración ao ser a operación inversa da derivación é trivial neste caso.

A derivada de   está dada por   e a derivada de   é  . O gráfico da función   denomínase catenaria.

Inversas das funcións hiperbólicas e derivadasEditar

As funcións recíprocas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas son:[3]

 

Series de TaylorEditar

As series de Taylor das funcións inversas das funcións hiperbólicas veñen dadas por:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Relación coa función exponencialEditar

Da relación do coseno e o seno hiperbólico pódense derivar as seguintes relacións:

 

e

 

Estas expresións son análogas ás que están en termos de senos e cosenos, baseadas na fórmula de Euler, como suma de exponenciais complexas.

NotasEditar

  1. Cálculo de Granville
  2. Manual de Matemáticas para Ingenieros y estudiantes. Mir. 
  3. Cálculo con Geometría Analítica. Prenttice-Hall Hispanoamericana S.A. ISBN 0-13-111807-2. 

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar