Función hiperbólica

As funcións hiperbólicas son unhas funcións con definicións baseadas na función exponencial, ligada mediante operacións racionais e son análogas ás funcións trigonométricas. Estas son:

Curvas das funcións hiperbólicas sinh, cosh e tanh

Curvas das funcións hiperbólicas csch, sech e coth

O seno hiperbólico

$\sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

O coseno hiperbólico

$\cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

A tanxente hiperbólica

$\tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}$

e outras derivadas:

$\coth(x)={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}$

(cotanxente hiperbólica)

${\mbox{sech}}(x)={\frac {1}{\cosh(x)}}$

(secante hiperbólica)

${\mbox{csch}}(x)={\frac {1}{\sinh(x)}}$

(cosecante hiperbólica)

Relación entre funcións hiperbólicas e funcións circulares

As funcións trigonométricas $sen(t)$ e $cos(t)$ poden ser as coordenadas cartesianas $(x,e)$ dun punto P sobre a circunferencia unitaria centrada na orixe, onde t é o ángulo, medido en radiáns, comprendido entre o semieixe positivo X, e o segmento OP, segundo as seguintes igualdades:

$\left\{{\begin{matrix}x(t)=\cos t\\y(t)=\sin t\end{matrix}}\right.$

Tamén pode interpretarse o parámetro t como a lonxitude do arco de circunferencia unitaria comprendido entre o punto $(1,0)$ e o punto P, ou como o dobre da área do sector circular determinado polo semieixe positivo X, o segmento OP e a circunferencia unitaria.

Animación da representación do seno hiperbólico.

De modo análogo, pódense definir as funcións hiperbólicas, como as coordenadas cartesianas $(x,e)$ dun punto P da hipérbole equilátera, centrada na orixe, cuxa ecuación é

$\ x^{2}-y^{2}=1$

onde t é o dobre da área da rexión comprendida entre o semieixe positivo X, e o segmento OP e a hipérbole, segundo as seguintes igualdades:

$\left\{{\begin{matrix}x(t)=\cosh t\\y(t)=\sinh t\end{matrix}}\right.$

Con todo, tamén pode demostrarse que é válida a seguinte descrición da hipérbole:

$\ x(t)={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$

$\ y(t)={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}$

dado que

$\ \left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}=1$

De modo que o coseno hiperbólico e o seno hiperbólico admiten unha representación en termos de funcións exponenciais de variable real:

$\ \cosh(t)={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$

$\ \sinh(t)={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}$

Relacións trigonométricas con argumentos complexos

As funcións hiperbólicas tamén se poden deducir das función trigonométricas con argumentos complexos:

• Seno Hiperbólico: $$\sinh x=-i\sin(ix).$$
• Coseno Hiperbólico: $$\cosh x=\cos(ix).$$
• Tanxente Hiperbólica: $$\tanh x=-i\tan(ix).$$
• Cotanxente Hiperbólica: $$\coth x=i\cot(ix).$$
• Secante Hiperbólica: $$\operatorname {sech} x=\sec(ix).$$
• Cosecante Hiperbólica:$$\operatorname {csch} x=i\csc(ix).$$

onde i é a unidade imaxinaria con i² = −1.

As definicións anteriores están relacionadas coas definicións exponenciais vía Fórmula de Euler

Relacións

Ecuación fundamental

$\cosh ^{2}(x)-\,\mathrm {sinh} ^{2}(x)=1\,$

Duplicación do argumento

Téñense as seguintes fórmulas moi semellantes ás súas correspondentes trigonométricas

$\cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)$

o que leva á seguinte relación:

$\cosh(2x)=\cosh ^{2}(x)+\,\mathrm {sinh} ^{2}(x)$

e por outra banda

$\mathrm {sinh} (x+y)=\mathrm {sinh} (x)\cosh(y)+\mathrm {sinh} (y)\cosh(x)$

que leva a:

$\mathrm {sinh} (2x)=2\,\mathrm {sinh} (x)\cosh(x)$

tense estoutra relación

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}}$

que permite ter

$\tanh(2x)={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}$

Derivación e integración

${\frac {d\ }{dx}}(\cosh(x))=\,\mathrm {sinh} \,(x)$

${\frac {d\ }{dx}}(\,\mathrm {sinh} \,(x))=\cosh(x)$

${\frac {d\ }{dx}}(\,\tanh(x))=\mathrm {sech} ^{2}(x)$

${\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {coth} (x))=-\mathrm {csch} ^{2}(x)$

${\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {sech} (x))=-\mathrm {sech} (x)\tanh(x)$

${\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {csch} (x))=-\mathrm {csch} (x)\mathrm {coth} (x)$

Ademais a integración ao ser a operación inversa da derivación é trivial neste caso.

A derivada de $sinh(x)$ está dada por $cosh(x)$ e a derivada de $cosh(x)$ é $sinh(x)$. O gráfico da función $cosh(x)$ denomínase catenaria.

Inversas das funcións hiperbólicas e derivadas

As funcións recíprocas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas son:

${\begin{aligned}{\mbox{arg sinh}}(x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg sinh}}(x))&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\mbox{arg cosh}}(x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg cosh(x)}})&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}};x>1\\{\mbox{arg tanh}}(x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg tanh(x)}})&={\frac {1}{1-x^{2}}};\left|x\right|<1\\{\mbox{arg coth}}(x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg coth(x)}})&={\frac {1}{1-x^{2}}};\left|x\right|>1\\{\mbox{arg sech}}(x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg sech(x)}})&={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}};0<x<1\\{\mbox{arg csch}}(x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg csch(x)}})&={\frac {-1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}};x\neq 0\end{aligned}}$

Series de Taylor

As series de Taylor das funcións inversas das funcións hiperbólicas veñen dadas por:

${\mbox{arg sinh}}(x)=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =$

${\mbox{arg sinh}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1$

${\mbox{arg cosh}}(x)=\ln 2x-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots )=$

${\mbox{arg cosh}}(x)=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},x>1$

${\mbox{arg tanh}}(x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =$

${\mbox{arg tanh}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1$

${\mbox{arg csch}}(x)={\mbox{arg sinh}}(x^{-1})=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =$

${\mbox{arg csch}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1$

${\mbox{arg sech}}(x)={\mbox{arg cosh}}(x^{-1})=\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots )=$

${\mbox{arg sech}}(x)=\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{(2n)}},0<x\leq 1$

${\mbox{arg coth}}(x)={\mbox{arg tanh}}(x^{-1})=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =$

${\mbox{arg coth}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1$

Relación coa función exponencial

Da relación do coseno e o seno hiperbólico pódense derivar as seguintes relacións:

$e^{x}=\cosh x+\sinh x\!$

e

$e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!$

Estas expresións son análogas ás que están en termos de senos e cosenos, baseadas na fórmula de Euler, como suma de exponenciais complexas.

Véxase tamén

Outros artigos

• Trigonometría
• Funcións trigonométricas
• Logaritmo neperiano
• Número e
• Hipérbole