Trigonometría

A trigonometría estuda as relacións entre os lados e os ángulos dun triángulo e, por extensión, as propiedades dos puntos (baricentro, circuncentro, incentro e ortocentro) e rectas (mediana, altura, mediatriz e bisectriz) notábeis dun triángulo.

Expresión gráfica das funcións trigonométricas.

A palabra deriva do grego trigonon (tri', tres e gonia ángulos), triángulo, e metron, medida; é dicir, etimoloxicamente trigonometría é a medida de tres ángulos ou medida de triángulos.

Funcións directas principais

Artigo principal: funcións trigonométricas.

En concreto, a trigonometría establece varias funcións trigonométricas para un ángulo, definibles graficamente segundo unha circunferencia de raio unidade de tal xeito que o devandito ángulo ten o seu vértice no centro do círculo (na figura, o ángulo abrangue a zona gris):

Funcións trigonométricas directas

• a función chamada seno dun ángulo (abreviada sen ou sin en LaTeX) relaciona o valor do cateto oposto ó ángulo co da hipotenusa. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de raio unidade da figura, se a hipotenusa ten valor 1 (o do raio), o seno será o segmento vermello, é dicir, o seno terá o valor do cateto oposto cando a hipotenusa vale a unidade;

$\sin \alpha ={\frac {cateto\,\,oposto}{hipotenusa}}$

• a función chamada coseno dun ángulo (abreviada cos, inda que en portugués se escriba con dobre s) relaciona o valor do cateto contiguo (ou adxacente) co da hipotenusa. Na figura, para unha hipotenusa unitaria (o raio), o coseno será o segmento verde, é dicir, o coseno terá o valor do cateto contiguo cando a hipotenusa vale a unidade;

$\cos \alpha ={\frac {cateto\,\,adxacente}{hipotenusa}}$

• a función chamada tanxente (abreviada tan, inda que exista unha tendencia a notala como tg, seguindo e segundo a súa grafía en latín, castelán e inglés) relaciona as dúas anteriores: é dicir, é a relación entre o seno e o coseno. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co raio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a tanxente terá o valor do cateto oposto cando o cateto contiguo vale a unidade:

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {cateto\,\,oposto}{cateto\,\,adxacente}}={\frac {\frac {cateto\,\,oposto}{hipotenusa}}{\frac {cateto\,\,adxacente}{hipotenusa}}}$

O nome destas funcións procede de que estes segmentos marcados están no interior (no seo, para seno e coseno) ou na tanxente á circunferencia de raio unidade.

Funcións directas secundarias (recíprocas ou inversas multiplicativas)

Artigo principal: función trigonométrica.

Existen outras tres funcións trigonométricas que teñen o valor inversamente proporcional ás tres anteriores. Os seus nomes son secante, cosecante e cotanxente. Os seus nomes tamén proceden da posición do segmento en relación á circunferencia unidade. Estas inversas son (na figura, o ángulo abrangue tamén a mesma zona gris):

Funcións trigonométricas recíprocas ou inversas multiplicativas

• a función chamada secante dun ángulo (abreviada sec) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto continuo ó angulo. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de raio unidade da figura, se o cateto contiguo ten valor 1 (o do raio), a secante será o segmento en trazos verdes, é dicir, a secante terá o valor da hipotenusa cando o cateto contiguo vale a unidade;

$\sec {\alpha }={\frac {hipotenusa}{cateto\,\,adxacente}}={1 \over \cos {\alpha }}$

• a función chamada cosecante dun ángulo (abreviada cosec ou csc nas fórmulas LaTeX) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto oposto. Na figura, para un cateto unitario de valor igual ó raio, a cosecante será o segmento en trazos vermellos, é dicir, a cosecante terá o valor da hipotenusa cando o cateto oposto vale a unidade;

$\csc {\alpha }={\frac {hipotenusa}{cateto\,\,oposto}}={1 \over \sin {\alpha }}$

• a función chamada cotanxente (abreviada cotan, inda que tamén se pode ver como cotg en outros idiomas, e cot nas fórmulas LaTeX) relaciona as dúas anteriores e é inversa da tanxente: é dicir, é a relación entre o coseno e o seno ou entre a secante e a cosecante. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co raio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a cotanxente terá o valor do cateto contiguo cando o cateto oposto vale a unidade:

$\cot {\alpha }={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\frac {cateto\,\,adxacente}{hipotenusa}}{\frac {cateto\,\,oposto}{hipotenusa}}}={\frac {\sec {\alpha }}{\csc {\alpha }}}={\frac {cateto\,\,adxacente}{cateto\,\,oposto}}$

Funcións inversas para a composición de funcións (funcións arco)

Artigo principal: Funcións trigonométricas inversas.

Para unha circunferencia de raio 1, arcsin e arccos son as lonxitudes dos arcos reais determinadas polas cantidades en cuestión.

O concepto de inversión nestas funcións opostas non consiste no valor matematicamente inversamente proporcional segundo a matemática (inverso multiplicativo), senón no concepto contrario ou función inversa.

O seu argumento son números reais e o seu resultado son os ángulos ou arcos (en radiáns). Debido a isto as funcións teñen por nome a denominación da función directa antecedido do prefixo arco-. Así, existen seis funcións inversas: arcoseno ($\arcsin$), arcocoseno ($\arccos$), arcotanxente ($\arctan$), arcosecante ($\operatorname {arcsec}$), arcocosecante ($\operatorname {arccsc}$) e arcocotanxente ($\operatorname {arccot}$).

Así, cando nunha fómula matemática lemos $\sin ^{-1}{x}$, débese interpretar como $\arcsin {x}$. Para o inverso multiplicativo $\scriptstyle {\dfrac {1}{\sin {x}}}$ usaríase $(\sin {x})^{-1}$.

Teorema fundamental dos triángulos

Enúnciase como: a suma dos ángulos dun triángulo suma 180º, medida que equivale a π radiáns. Para outros polígonos regulares se pode calcular (e tamén o ángulo interior de cada un dos seus vértices) mediante o seguinte construto baseado neste teorema (as cores son referidas ás da figura):

Cálculo do ángulo dun polígono regular

• Se un polígono ten n lados e se busca o centro de simetría radial, se pode unir os n vértices mediante n segmentos (en azul);
• Isto produce n triángulos interiores que terán $n\,180^{\circ }$
• Tendo en conta que a suma dos ángulos que rodean ó centro de simetría é 360º (en vermello), o resto dos ángulos miden en conxunto:

$n\,180^{\circ }-360^{\circ }=(n-2)\,180^{\circ }$

• Como o polígono ten n vértices, a cada un corresponderalle:

${\frac {(n-2)\,180^{\circ }}{n}}={\frac {n-2}{n}}180^{\circ }=\left(1-{\frac {2}{n}}\right)180^{\circ }$ (en verde)

• Este valor a medida que se vai aumentando (o seu límite cando n tende a infinito) equivale a 180º, que é o valor da tanxente da circunferencia (o polígono de infinitos lados).

Teorema fundamental da trigonometría

Este teorema baséase no teorema de Pitágoras e relaciona o seno dun ángulo co seu coseno. A súa demostración é moi doada partindo do dito por Pitágoras e dividíndoo entre o cadrado da hipotenusa ($cateto_{O}\,$ é o cateto oposto e $cateto_{C}\,$ é o cateto contiguo):

${\begin{matrix}{\mbox{cateto}}_{O}^{2}+{\mbox{cateto}}_{C}^{2}&=&{\mbox{hipotenusa}}^{2}&\Rightarrow \\{\frac {{\mbox{cateto}}_{O}^{2}}{{\mbox{hipotenusa}}^{2}}}+{\frac {{\mbox{cateto}}_{C}^{2}}{{\mbox{hipotenusa}}^{2}}}&=&{\frac {{\mbox{hipotenusa}}^{2}}{{\mbox{hipotenusa}}^{2}}}&\Rightarrow \\\left({\frac {{\mbox{cateto}}_{O}}{\mbox{hipotenusa}}}\right)^{2}+\left({\frac {{\mbox{cateto}}_{C}}{\mbox{hipotenusa}}}\right)^{2}&=&1&\Rightarrow \\\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha &=&1\end{matrix}}$

Relacións trigonométricas

Artigo principal: lista de identidades trigonométricas.

Existe unha relación entre as funcións trigonométricas de varios ángulos (restados ou sumados) e as funcións de cada un dos sumandos ou restandos individualmente. Disto dedúcese a relación entre as funcións dun ángulo e o do seu dobre (facendo a suma de si mesmo). Tamén hai unha equivalencia entre a función dun ángulo e o da súa metade.

Funcións trigonométricas dunha diferenza	$\sin {(\alpha -\beta )}=\sin \alpha \,\cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta$	$\cos {(\alpha -\beta )}=\cos \alpha \,\cos \beta +\sin \alpha \,\sin \beta$	$\tan {(\alpha -\beta )}={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \,\tan \beta }}$
Funcións trigonométricas dunha suma	$\sin {(\alpha +\beta )}=\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta$	$\cos {(\alpha +\beta )}=\cos \alpha \,\cos \beta -\sin \alpha \,\sin \beta$	$\tan {(\alpha +\beta )}={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \,\tan \beta }}$
Funcións trigonométricas do ángulo dobre (deducibles das anteriores)	$\sin {(2\alpha )}=2\,\sin \alpha \,\cos \alpha$	$\cos {(2\alpha )}=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \,$	$\tan {(2\alpha )}={\frac {2\tan \beta }{1-\tan ^{2}\alpha }}$
Funcións trigonométricas do ángulo metade	$\sin {{\Big (}{\frac {1}{2}}\alpha {\Big )}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}$	$\cos {{\Big (}{\frac {1}{2}}\alpha {\Big )}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}$	$\tan {{\Big (}{\frac {1}{2}}\alpha {\Big )}}={\frac {\sin {\Big (}{\frac {1}{2}}\alpha {\Big )}}{\cos {\Big (}{\frac {1}{2}}\alpha {\Big )}}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$
Suma de funcións trigonométricas	$\sin {\alpha }+\sin {\beta }=2\sin {\Big (}{\frac {\alpha +\beta }{2}}{\Big )}\,\cos {\Big (}{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\Big )}$	$\cos {\alpha }+\cos {\beta }=2\sin {\Big (}{\frac {\alpha +\beta }{2}}{\Big )}\,\cos {\Big (}{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\Big )}$
Resta de funcións trigonométricas	$\sin {\alpha }-\sin {\beta }=2\sin {\Big (}{\frac {\alpha +\beta }{2}}{\Big )}\,\cos {\Big (}{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\Big )}$	$\cos {\alpha }-\cos {\beta }=2\sin {\Big (}{\frac {\alpha +\beta }{2}}{\Big )}\,\cos {\Big (}{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\Big )}$

Para coñecer o valor da derivada das funcións trigonométricas (directas, inversas e opostas) v. derivada.