Seno
En trigonometría o seno dun ángulo (abreviado sen[1] ou sin do latín sĭnus) é a función dun ángulo que relaciona o valor do cateto oposto ó ángulo co da hipotenusa. Expresado a través dun triángulo rectángulo, o seno é a razón entre o cateto oposto e a hipotenusa dese triángulo:


Ou tamén como a ordenada correspondente a un punto que pertence a unha circunferencia unitaria centrada na orixe (c = 1):
En matemáticas o seno é a función obtida ó facer variar a razón mencionada, sendo unha das funcións transcendentes.
Para entender o concepto visualmente: O seno é a proxección do cateto oposto sobre a hipotenusa. O número de catetos opostos que caben na hipotenusa do triángulo. Por iso, o seno do ángulo de 0 grados é 0: Hai 0 catetos opostos sobre a hipotenusa. O seno de 30 é 0.5: Na hipotenusa caben 2 catetos opostos. O seno de 90 é 1: A hipotenusa e o cateto oposto ó ángulo son iguais. Comprobándoo con lapis e papel, ou con algún programa de deseño asistido por computadora, é fácil de ver e de comprender.
Así, cando se representan os valores do seno nunha gráfica, hai unha función en forma de onda, que pasa de 0 a 1 e de 1 a 0 e de 0 a -1 e de -1 a 0 outra vez, segundo os valores que toma neses catro ángulos rectángulos, de vértice común, que forman a circunferencia.
O seno é unha función impar, é dicir:
- .
O seno é unha función periódica de periodo ,
Representación gráfica
editarNas dúas primeiras gráficas apréciase a periocidade. Na terceira a relación co ángulo na circunferencia.
Valores para ángulos significativos
editarÁngulo, x | sin(x) | ||
---|---|---|---|
Graos | Radiáns | Exacto | Decimal |
0° | 0 | 0 | 0 |
30° | 0.5 | ||
45° | 0.707 | ||
60° | 0.866 | ||
90° | 1 | 1 |
Fórmulas con utilidade
editarLei dos senos
editar- Artigo principal: Lei dos senos.
A lei dos senos é útil para calcular as lonxitudes dos lados descoñecidos nun triángulo se se coñecen dous ángulos e un lado.[2]
Dado un triángulo con lados , e , e os ángulos opostos a eses lados , e , a lei estabelece que:
Isto é equivalente á igualdade das tres primeiras expresións seguintes:
onde é o circunraio do triángulo.
Produto vectorial
editarO produto vectorial é unha operación sobre dous vectores no espazo euclidiano. A función seno pódese definir en termos do produto vectorial. Se e son vectores e é o ángulo entre e , entón o seno pódese definir como:
- .
Función inversa
editarA función inversa do seno é arcoseno ou seno inverso, denotada como "arcsin", "asin" ou .[3], onde o superíndice de −1 en denota a inversa dunha función, en lugar da exponenciación.
Como a función seno non é inxectiva, a súa inversa non é unha función inversa exacta, senón unha función inversa parcial. Por exemplo, , pero tamén , , etc. Daquí dedúcese que a función arcoseno ten varios valores: , pero tamén , , etc.
Cando só se desexa un valor, a función pode restrinxirse á súa rama principal. Con esta restrición, para cada do dominio, a expresión avaliarase só a un único valor, chamado o seu valor principal.
O intervalo estándar de valores principais para arcsin é de ata .[4]
Identidades importantes relacionadas co coseno
editar- Artigo principal: Lista de identidades trigonométricas.
- Segundo o teorema de Pitágoras, a hipotenusa ao cadrado é a suma de dous catetos cadrados dun triángulo rectángulo.
- Dividindo a fórmula en ambos os lados coa hipotenusa ao cadrado resulta na identidade trigonométrica pitagórica, a suma dun seno ao cadrado e un coseno cadrado é igual a 1:[5][a]
- Ambas as funcións seno e coseno son similares, sendo a súa diferenza desprazada por . Isto exprésase do seguinte xeito,[6]
- O seno e o coseno satisfán as seguintes fórmulas de ángulo duplo[7]
- Tanto o seno como o coseno pódense estender aínda máis mediante os números complexos. Para o número real , a definición das funcións seno e coseno pódese ampliar nun plano complexo en termos dunha función exponencial do seguinte xeito:[8]
- .
- Alternativamente, ambas as funcións pódense definir en termos da fórmula de Euler:[8]
- Isto tamén se coñece como a función cis.
- A función tanxente está dada por
- .
- O seno e o coseno úsanse para conectar as partes real e imaxinaria dun número complexo coas súas coordenadas polares :
- .
- As funcións seno e coseno son infinitamente diferenciábeis.[9] A derivada do seno é o coseno, e a derivada do coseno é menos o seno:[10]
- A súa área baixo unha curva pódese obter usando a integral cun determinado intervalo limitado. A súa antiderivada é
- .
Series
editarPódese empregar a teoría da serie de Taylor para mostrar que as seguintes identidades cúmprense para todos os números reais , onde é o ángulo en radiáns. [11]:[12]
- .
As funcións seno e coseno con múltiples ángulos poden aparecer como unha combinación linear, dando como resultado un polinomio. Este polinomio coñécese como polinomio trigonométrico. As amplas aplicacións do polinomio trigonométrico pódense ver por exemplo na serie de Fourier. Sexan e calquera coeficiente, entón o polinomio trigonométrico de grao , denotado como , é definido como:[13][14]
Gráficas no plano complexo
editarParte real | Parte imaxinaria | Magnitude |
Notas
editar- ↑ Definicións no Dicionario da Real Academia Galega e no Portal das Palabras para sen.
- ↑ Axler (2012), p. 634.
- ↑ Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 366.
- ↑ Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 365.
- ↑ Young (2017), p. 99.
- ↑ Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 42, 47.
- ↑ Dennis G. Zill (2013). Precalculus with Calculus Previews. Jones & Bartlett Publishers. p. 238. ISBN 978-1-4496-4515-1. Extracto da páxina 238
- ↑ 8,0 8,1 Howie (2003), p. 24.
- ↑ Bourchtein & Bourchtein (2022), p. 294.
- ↑ Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 115.
- ↑ Varberg, Purcell & Rigdon (2007), p. 491–492.
- ↑ Abramowitz & Stegun (1970), p. 74.
- ↑ Powell (1981), p. 150.
- ↑ Rudin (1987), p. 88.
- ↑ Aquí, significa a función seno ao cadrado .
Véxase tamén
editarWikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Seno |
Bibliografía
editar- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. Ninth printing.
- Adlaj, Semjon (2012). An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse (PDF). American Mathematical Society 59. p. 1097.
- Axler, Sheldon (2012). Algebra and Trigonometry. John Wiley & Sons. ISBN 978-0470-58579-5.
- Bourchtein, Ludmila; Bourchtein, Andrei (2022). Theory of Infinite Sequences and Series. Springer. ISBN 978-3-030-79431-6. doi:10.1007/978-3-030-79431-6.
- Gunter, Edmund (1620). Canon triangulorum.
- Howie, John M. (2003). Complex Analysis. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. ISBN 978-1-4471-0027-0. doi:10.1007/978-1-4471-0027-0.
- Traupman, Ph.D., John C. (1966). The New College Latin & English Dictionary. Toronto: Bantam. ISBN 0-553-27619-0.
- Katz, Victor J. (2008). A History of Mathematics (PDF) (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley.
- Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. ISBN 1-4008-4282-4.
- Merlet, Jean-Pierre (2004). "A Note on the History of the Trigonometric Functions". En Ceccarelli, Marco. International Symposium on History of Machines and Mechanisms. Springer. ISBN 978-1-4020-2203-6. doi:10.1007/1-4020-2204-2.
- Merzbach, Uta C.; Boyer, Carl B. (2011). A History of Mathematics (3rd ed.). John Wiley & Sons.
- Plofker (2009). Mathematics in India. Princeton University Press.
- Powell, Michael J. D. (1981). Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29514-7.
- Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 924157.
- Smith, D. E. (1958) [1925]. History of Mathematics I. Dover Publications. ISBN 0-486-20429-4.
- Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2007). Calculus (9th ed.). Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0131469686.
- Vince, John (2023). Calculus for Computer Graphics. Springer. ISBN 978-3-031-28117-4. doi:10.1007/978-3-031-28117-4.
- Young, Cynthia (2012). Trigonometry (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-32113-2.
- ——— (2017). Trigonometry (4th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-32113-2.
- Zimmermann, Paul (2006). "Can we trust floating-point numbers?". Grand Challenges of Informatics (PDF). p. 14/31.
- Zygmund, Antoni (1968). Trigonometric Series (2nd, reprinted ed.). Cambridge University Press. MR 0236587.