Tanxente

En matemáticas, a palabra tanxente fai referencia a dous significados diferentes, pero etimoloxicamente relacionados: recta tanxente e tanxente dun ángulo.

• En xeometría, unha recta tanxente é aquela que só ten un punto en común cunha curva, é dicir, que se tocan nun so punto, ese punto chámase punto de tanxencia. A recta tanxente indica a pendente da curva no punto de tanxencia.
• En trigonometría, a tanxente dun ángulo é a relación entre os catetos dun triángulo rectángulo: é o valor numérico resultante de dividir a lonxitude do cateto oposto entre a do cateto adxacente a dito ángulo.

Xeometría

A tanxente é a posición límite da recta ou o límite do cono métrico (M) (chamada corda da curva), cando A é un punto de C que se aproxima indefinidamente ó punto M (A desprázase sucesivamente por M₁, M₂, M₃, M₄ ...)

Se C representa unha función f ou ben h que representa a cotanxente de A. (non é o caso no gráfico precedente), entón a recta (AM) terá como coeficiente director (ou pendente)

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$, onde a é a abscisa de A e x a de M.

Polo tanto, a pendente da tanxente T_A será:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

É, por definición: f '(a), o número derivado de f en a.

A ecuación da tanxente é T_a: y = f '(a)·(x - a) + f(a)

A recta ortogonal á tanxente T_A que pasa polo punto (a, f(a)) denomínase recta normal e a súa pendente, nun sistema de coordenadas cartesianas, ven dada por ${\frac {-1}{f'(a)}}$.

A súa ecuación é : y = - (x - a)/f '(a) + f(a), sempre que f'(a) ≠ 0. Esta recta non intervén no estudo xeral das funcións pero si nos problemas xeométricos relacionados coas seccións cónicas, como por exemplo: para determinar o foco dunha parábola.

Plano tanxente

En xeometría diferencial, espazo tanxente é o conxunto asociado a cada punto dunha variedade diferenciable formado por tódolos vectores tanxentes a ese punto. É un espazo vectorial da mesma dimensión que a dimensión da variedade.

Hai varias formas de entender este concepto. Primeiro explicarémolo usando a gráfica do lado. Empezamos supoñendo que temos unha curva $\scriptstyle \gamma$ na variedade M que pasa por algunha posición elixida calquera: $\scriptstyle x\in M$.É dicir un mapeo $\scriptstyle \gamma \ :\ ]-\varepsilon ,\varepsilon [\to M$ diferenciable que satisfai $\scriptstyle \gamma (0)=x$ y $\scriptstyle \gamma '(0)=v$. Resulta que o conxunto de todos estes vectores forman o espazo tanxente $\scriptstyle T_{x}M$ de x en M.

Trigonometría

En trigonometría a tanxente dun ángulo nun triángulo rectángulo defínese como a razón entre o cateto oposto e o adxacente:

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$

sendo a o cateto oposto, e b o cateto adxacente. Equivale tamén ó valor:

$\tan(\alpha )={\frac {\,\operatorname {sen} (\alpha )}{\,\cos(\alpha )}}$

Gráfico da función tanxente.

Véxase tamén

Outros artigos

• Arcotanxente.
• Seno.
• Coseno.
• Sinusoide.
• Trigonometría.
• Función matemática.