Vector

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Vector (homónimos).

Un vector en física e mais no cálculo vectorial é un concepto caracterizado por un valor, é dicir, un escalar (magnitude numérica), e por un sentido (que pode ser definido nun espazo 3-dimensional, ou en xeral p-dimensional). Os vectores utilízanse para describir magnitudes vectoriais tales como velocidades, aceleracións ou forzas, nas cales é importante considerar non só o valor senón tamén a dirección e máis o sentido.

Aínda que frecuentemente se describa a un vector por un número de "compoñentes", cada un deles dependente do sistema de coordenadas particular que se use, as propiedades dun vector non dependen do sistema de coordenadas usado para o describir.

Un exemplo común dun vector é a forza. Ten un valor e unha orientación en tres dimensións (a diferenza de moitas dimensións espaciais, que teñen dúas), e a suma múltipla das forzas de acordo coa lei do paralelogramo.

En matemáticas, un vector é un elemento dunha estrutura alxébrica chamada espazo vectorial, que esencialmente é un conxunto de elementos cun conxunto de axiomas que debe satisfacer cada un deles.

Matematicamente un vector pode ser tamén un conxunto de elementos ordenados entre si mais, a diferenza dun conxunto normal como o dos números naturais, neste caso o conxunto está ordenado.

Represéntase por un segmento orientado para denotar o seu sentido (o da frecha), a súa magnitude (a lonxitude da frecha) e mais o punto de onde parte. Para este tipo de vectores (xeralmente bi ou tridimensionais) defínense módulo, dirección e sentido.

Notación

Compoñentes dun vector nun sistema tridimensional.

Os eixos do sistema de coordenadas descríbense xeralmente empregando as letras x, y e z, xeramente o eixo z representa o perpendicular ao plano. Os vectores pódense representar con letras, cunha frecha enriba ( ${\vec {a}}$ ), ou simplemente en letra grosa ( $\mathbf {a}$ ). As coordenadas ou compoñentes dun vector nun sistema de referencia poden escribirse entre parénteses e separadas con comas:

${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$ .

No espazo vectorial de tres dimensións empréganse tres compoñentes:

${\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$ .

Outro xeito típico de anotar un vector nas tres dimensións é definilo como a combinación dos vectores unitarios cartesianos i, j e k:

${\vec {a}}=a_{x}\,{\vec {i}}+a_{y}\,{\vec {j}}+a_{z}\,{\vec {k}}$

Propiedades

Un vector ten as seguintes propiedades:

- Punto de aplicación, é a orixe do vector.

- Módulo, expresa o valor numérico da magnitude vectorial. Represéntase pola lonxitude do segmento, sempre en valor absoluto. Por exemplo, se se quere expresar que o módulo de ${\vec {a}}$ vale 5 unidades, faise así: $|{\vec {a}}|=5u$ . Expresado con fórmulas, dado un vector ${\vec {a}}$ de coordenadas $(a_{x},a_{y},a_{z})$ o seu módulo é $|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$ .

- Dirección, que é a da recta soporte, que se expresa matematicamente cunha ecuación de recta, que se lle chama liña de acción.

- Sentido, distinguíndose dous sentidos sobre a recta de aplicación do vector, graficamente, a punta da frechiña.

Clasificación dos vectores

Segundo o seu punto de aplicación:

- Vector fixo, que ten un punto de aplicación definitorio, do que non se despraza.

- Vectores deslizantes, o seu punto de aplicación pode estar en calquera punto dunha recta soporte definida.

- Vector libre, non ten relevancia o seu punto de aplicación.

Outros vectores significantes:

- Vector unitario, un vector cuxo módulo é unha unidade, que se calcula: ${\vec {u_{a}}}={\frac {(a_{x},a_{y},a_{z})}{|{\vec {a}}|}}$ . Os vectores unitarios correspondentes a (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) denomínanse ${\hat {\imath }}$ , ${\hat {\jmath }}$ e ${\hat {k}}$ , sendo ${\hat {\imath }}$ o vector unitario do eixe do x, ${\hat {\jmath }}$ o vector unitario do eixo y, e ${\hat {k}}$ o do z.

- Vector oposto a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección mais sentido contrario. Así o vector oposto a ${\vec {a}}$ é $-{\vec {a}}$ .

- Vectores equipolentes, vectores con igual módulo e sentido, e rectas soporte paralelas e, entón, tamén distintos puntos de aplicación.

- Vectores paralelos, que teñen coordenadas proporcionais entre si (equipolentes con distinto módulo, por exemplo).

- Vectores concorrentes, cando teñen o mesmo punto de aplicación, no caso de vectores fixos, ou cando simplemente teñen un punto en común (punto de concorrencia).

- Vectores coplanares, todos os vectores están contidos no mesmo plano.

- Vectores colineares, que comparten unha mesma recta de acción

Suma e resta de vectores

Suma de vectores

Resta de vectores

Método gráfico

A suma e resta de vectores ten en conta, ademais da magnitude escalar ou módulo, o sentido das magnitudes intervenientes. Nas figuras achegadas nesta páxina esquematízase o método gráfico para buscar o resultado.

Método do paralelogramo

Consiste en pór graficamente os dous vectores de xeito que as respectivas orixes coincidan nun punto, completando o resto do paralelogramo por paralelas. O resultado da suma é a diagonal de dito paralelogramo.

Método do triángulo

Consiste en poñer graficamente un vector a continuación doutro, facendo coincidir o extremo inicial dun vector co extremo final do outro vector. O vector suma resultante forma un triángulo canda estes dous vectores, que corresponde ao lado oposto ao vértice dos vectores colocados correctamente, ou dito doutro xeito, vai dende a orixe dun vector até a fin do outro (a e b respectivamente no debuxo adxacente)

Método analítico

A suma

Con dous vectores de coordenadas,

{\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})

{\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})

o resultado da suma é:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=[(a_{x}+b_{x}),(a_{y}+b_{y}),(a_{z}+b_{z})]

A resta

Para restar dous vectores libres ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$ súmase ${\vec {a}}$ co oposto de ${\vec {b}}$ :

{\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})

O resultado da resta é:

{\vec {a}}-{\vec {b}}=[(a_{x}-b_{x}),(a_{y}-b_{y}),(a_{z}-b_{z})]

Módulo resultante

Dados dous vectores ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$ , de módulos coñecidos e que forman o ángulo $\theta$ entre si, pódese obter o módulo $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ coa seguinte fórmula:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}\right|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}|\left|{\vec {b}}\right|\cos \theta }}$

Dedución da expresión

Sexan dous vectores ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$ que forman un ángulo $\theta$ entre si:

Imaxe de vectores colocados

A fórmula para calcular $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ dedúcese observando os triángulos rectángulos que se forman, OCB e ACB, e aplicando o Teorema de Pitágoras. No triángulo OCB:

$OB^{2}=OC^{2}+CB^{2}$

$OB=|{\vec {a}}+{\vec {b}}|$

$OC=\left|{\vec {a}}\left|+AC\right.\right.$

Resultando:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+AC\right)^{2}+CB^{2}$

No triángulo ACB :

${\frac {AC}{|{\vec {b}}|}}=\cos \theta$

$AC=|{\vec {b}}|\cos \theta$

${\frac {CB}{|{\vec {b}}|}}=sen\theta$

$CB=|{\vec {b}}|sen\theta$

Substituíndo isto na igualdade de antes resulta:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|\cos \theta \right)^{2}+\left(\left|{\vec {b}}|sen\theta \right)^{2}\right.$

$\left.\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\cos ^{2}\theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}sen^{2}\theta$

$\left.\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\left(\cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta \right)$

$\left.\cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta =1\rightarrow \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}$

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}}}$

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta }}$

Obtención da Dirección

Para obter os ángulos $\alpha ,\beta$ directores no anterior exemplo temos que coñecer o ángulo $\theta$ e ter calculado $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ .

Podemos usar esta fórmula:

${\frac {|{\vec {b}}|}{sen\alpha }}={\frac {|{\vec {a}}|}{sen\beta }}={\frac {\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|}{sen\theta }}$

Coa fórmula obteremos os seos, despois para achar o ángulo a partir do seo temos que ter en conta que:

$\alpha +\beta =\theta$

Produto dun vector por un escalar

Produto por un escalar

O produto dun vector cun escalar é outro vector que conserva a dirección orixinal, o seu módulo é o produto do escalar polo módulo do vector e o sentido é o mesmo ou oposto segundo o escalar sexa positivo ou negativo respectivamente.

Graficamente sería poñer, sobre a mesma recta da dirección, o módulo tantas veces como marque o escalar, e de ser negativo, viralo sentido do vector (mire o debuxo).

Analiticamente, un número $n\,$ e un vector ${\vec {a}}$ , o produto $n\,{\vec {a}}$ realízase multiplicando cada unha das compoñentes do vector polo escalar. Dado o vector de tres compoñente