Abrir o menú principal

3D Vector.svg

Un vector en física e mais no cálculo vectorial é un concepto caracterizado por un valor, é dicir, un escalar (magnitude numérica), e por un sentido (que pode ser definido nun espazo 3-dimensional, ou en xeral p-dimensional). Os vectores utilízanse para describir magnitudes vectoriais tales como velocidades, aceleracións ou forzas, nas cales é importante considerar non só o valor senón tamén a dirección e máis o sentido.

Aínda que frecuentemente se describa a un vector por un número de "compoñentes", cada un deles dependente do sistema de coordenadas particular que se use, as propiedades dun vector non dependen do sistema de coordenadas usado para o describir.

Un exemplo común dun vector é a forza. Ten un valor e unha orientación en tres dimensións (a diferenza de moitas dimensións espaciais, que teñen dúas), e a suma múltipla das forzas de acordo coa lei do paralelogramo.

En matemáticas, un vector é un elemento dunha estrutura alxébrica chamada espazo vectorial, que esencialmente é un conxunto de elementos cun conxunto de axiomas que debe satisfacer cada un de eles.

Matematicamente un vector pode ser tamén un conxunto de elementos ordenados entre si mais, a diferenza dun conxunto normal como o dos números naturais, neste caso o conxunto está ordenado.

Represéntase por un segmento orientado para denotar o seu sentido (o da frecha), a súa magnitude (a lonxitude da frecha) e mais o punto de onde parte. Para este tipo de vectores (xeralmente bi ou tridimensionais) defínense módulo, dirección e sentido.

NotaciónEditar

 
Compoñentes dun vector nun sistema tridimensional.

Os eixos do sistema de coordenadas descríbense xeralmente empregando as letras x, y e z, xeramente o eixo z representa o perpendicular ao plano. Os vectores pódense representar con letras, cunha frecha enriba ( ), ou simplemente en letra grosa ( ). As coordenadas ou compoñentes dun vector nun sistema de referencia poden escribirse entre parénteses e separadas con comas:


 .

No espazo vectorial de tres dimensións empréganse tres compoñentes:


 .

Outro xeito típico de anotar un vector nas tres dimensións é definilo como a combinación dos vectores unitarios cartesianos i, j e k:

 

PropiedadesEditar

Un vector ten as seguintes propiedades:

- Punto de aplicación, é a orixe do vector.

- Módulo, expresa o valor numérico da magnitude vectorial. Represéntase pola lonxitude do segmento, sempre en valor absoluto. Por exemplo, se se quere expresar que o módulo de   vale 5 unidades, faise así:  . Expresado con fórmulas, dado un vector   de coordenadas   o seu módulo é  .

- Dirección, que é a da recta soporte, que se expresa matematicamente cunha ecuación de recta, que se lle chama liña de acción.

- Sentido, distinguíndose dous sentidos sobre a recta de aplicación do vector, graficamente, a punta da frechiña.

Clasificación dos vectoresEditar

Segundo o seu punto de aplicación:

- Vector fixo, que ten un punto de aplicación definitorio, do que non se despraza.

- Vectores deslizantes, o seu punto de aplicación pode estar en calquera punto dunha recta soporte definida.

- Vector libre, non ten relevancia o seu punto de aplicación.

Outros vectores significantes:

- Vector unitario, un vector cuxo módulo é unha unidade, que se calcula:  . Os vectores unitarios correspondentes a (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) denomínanse  ,   e  , sendo   o vector unitario do eixe do x,   o vector unitario do eixo y, e   o do z.

- Vector oposto a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección mais sentido contrario. Así o vector oposto a   é  .

- Vectores equipolentes, vectores con igual módulo e sentido, e rectas soporte paralelas e, entón, tamén distintos puntos de aplicación.

- Vectores paralelos, que teñen coordenadas proporcionais entre si (equipolentes con distinto módulo, por exemplo).

- Vectores concorrentes, cando teñen o mesmo punto de aplicación, no caso de vectores fixos, ou cando simplemente teñen un punto en común (punto de concorrencia).

- Vectores coplanares, todos os vectores están contidos no mesmo plano.

- Vectores colineares, que comparten unha mesma recta de acción

Suma e resta de vectoresEditar

 
Suma de vectores
 
Resta de vectores

Método gráficoEditar

A suma e resta de vectores ten en conta, ademais da magnitude escalar ou módulo, o sentido das magnitudes intervenientes. Nas figuras achegadas nesta páxina esquematízase o método gráfico para buscar o resultado.

Método do paralelogramoEditar

Consiste en pór graficamente os dous vectores de xeito que as respectivas orixes coincidan nun punto, completando o resto do paralelogramo por paralelas. O resultado da suma é a diagonal de dito paralelogramo.

Método do triánguloEditar

Consiste en poñer graficamente un vector a continuación doutro, facendo coincidir o extremo inicial dun vector co extremo final do outro vector. O vector suma resultante forma un triángulo canda estes dous vectores, que corresponde ao lado oposto ao vértice dos vectores colocados correctamente, ou dito doutro xeito, vai dende a orixe dun vector até a fin do outro (a e b respectivamente no debuxo adxacente)

Método analíticoEditar

  • A suma

Con dous vectores de coordenadas,

 
 

o resultado da suma é:

 
  • A resta

Para restar dous vectores libres   e   súmase   co oposto de  :

 

O resultado da resta é:

 

Módulo resultanteEditar

Dados dous vectores   e  , de módulos coñecidos e que forman o ángulo   entre si, pódese obter o módulo   coa seguinte fórmula:

 

Dedución da expresiónEditar

Sexan dous vectores   e   que forman un ángulo   entre si:

A fórmula para calcular   dedúcese observando os triángulos rectángulos que se forman, OCB e ACB, e aplicando o Teorema de Pitágoras. No triángulo OCB:

 

 

 

Resultando:

 

No triángulo ACB :

 

 

 

 

Substituíndo isto na igualdade de antes resulta:

 

 

 

 

 

 

Obtención da DirecciónEditar

Para obter os ángulos   directores no anterior exemplo temos que coñecer o ángulo   e ter calculado   .

Podemos usar esta fórmula:

 

Coa fórmula obteremos os seos, despois para achar o ángulo a partir do seo temos que ter en conta que:

 

Produto dun vector por un escalarEditar

 
Produto por un escalar

O produto dun vector cun escalar é outro vector que conserva a dirección orixinal, o seu módulo é o produto do escalar polo módulo do vector e o sentido é o mesmo ou oposto segundo o escalar sexa positivo ou negativo respectivamente.

Graficamente sería poñer, sobre a mesma recta da dirección, o módulo tantas veces como marque o escalar, e de ser negativo, viralo sentido do vector (mire o debuxo).

Analiticamente, un número   e un vector  , o produto   realízase multiplicando cada unha das compoñentes do vector polo escalar. Dado o vector de tres compoñente

 

o seu produto polo escalar é

 

é dicir, multiplícase por   cada unha das compoñentes do vector.

Ángulo entre dous vectoresEditar

Dados os vectores   e  , o ángulo   calcúlase polo seu coseno:

 

Isto deriva do produto escalar.

Produto escalarEditar

Artigo principal: Produto escalar.
 
AB = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) é a proxección escalar de A sobre B.

 

Produto vectorialEditar

Artigo principal: Produto vectorial.

 

Véxase taménEditar