Produto escalar

En matemática, na álxebra linear, o produto escalar, chamado tamén produto interno, interior ou punto, é unha función binaria definida entre dous vectores que fornece un número real como resultado. O produto vectorial, que é outra operación posíbel para vectores, fornece un novo vector, non só un número.

Alén de para o espazo euclidiano de dúas e tres dimensión, o produto escalar pode definirse tamén nos espazos euclidianos de dimensión maior a tres, e en xeral nos espazos vectoriais reais e complexos. Os espazos vectoriais dotados de produto escalar reciben o nome de espazos prehilbertianos.

Definición

Produto escalar de dous vectores

Dados dous vectores ${\vec {A}}$ e ${\vec {B}}$. o produto escalar pode ser calculado como:

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|A||B|\ cos\theta$

Onde $\theta$ é o ángulo formado polos vectores ${\vec {A}}$ e ${\vec {B}}$, e $|A|$ e $|B|$ son as súas lonxitudes. Da figura podemos ver que o produto $|A|\ cos\theta$ representa a proxección do vector ${\vec {A}}$ na dirección do vector ${\vec {B}}$ . Se ${\vec {A}}$ fose unha forza, o produto escalar indicaría entón canta da forza ${\vec {A}}$ se estaría a aplicar na dirección de ${\vec {B}}$.

Se o ángulo entre os vectores fose 90º (${\vec {A}}$ e ${\vec {B}}$ perpendiculares entre si), o produto escalar sería cero, pois cos 90º = 0.

Note que non fai falla mencionar ningún Sistema de coordenadas para obter o valor do produto escalar. A fórmula de riba é válida independentemente do sistema de coordenadas.

Nun sistema de coordenadas cartesiano, onde se escriben os vectores en termos de compoñentes como:

${\vec {A}}=(A_{x},A_{y},A_{z})$

${\vec {B}}=(B_{x},B_{y},B_{z})$

O produto escalar pode escribirse como:

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$

Note que a interpretación do produto escalar como a proxección dun vector na dirección doutro, neste caso, está lonxe de ser obvia. Porén a expresión de riba fornécenos unha forma de obter a lonxitude dun vector calquera en termos das súas compoñentes:

$|A|={\sqrt {{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}}}={\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}$

A expresión xeral inicial soamente contén unha definición da lonxitude dun vector como a raíz cadrada do seu produto escalar, mais non fornece medios de calculalo:

${\vec {A}}\cdot {\vec {A}}=|A||A|\ cos0^{o}=|A|^{2}$

Exemplo de cálculo

O produto escalar dos dous vectores

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$  e  ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}$

calcúlase como

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=36$.

Definición xeral

O produto escalar de dous vectores nun espazo vectorial é unha forma bilinear, hermítica e definida positiva, polo que se pode considerar unha forma cadrática definida positiva.

Un produto escalar pódese expresar como unha aplicación $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\longrightarrow \mathbb {K}$ onde V é un espazo vectorial e $\mathbb {K}$ é o corpo sobre o que está definido V. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ debe satisfacer as seguintes condicións:

1. Linearidade pola esquerda: $\langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle$, e linearidade conxugada pola dereita: $\langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle$
2. Hermiticidade: $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$,
3. Definida positiva: $\langle x,x\rangle \geq 0\,$, y $\langle x,x\rangle =0\,$ se e só se x = 0,

onde $x,y,z\in V$ son vectores de V, $a,b\in \mathbb {K}$ representan escalares do corpo $\mathbb {K}$ e ${\overline {c}}$ é o conxugado do complexo c.

Se o corpo ten parte imaxinaria nula (v.g., $\mathbb {R}$), a propiedade de ser sesquilinear convértese en ser bilinear e o ser hermítica convértese en ser simétrica.

Tamén adoita representarse por $(\cdot |\cdot )$ ou por $\bullet$.

Un espazo vectorial sobre o corpo $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ dotado dun produto escalar denomínase espazo prehilbert ou espazo prehilbertiano. Se ademais é completo, dise que é un espazo de Hilbert, e se a dimensión é finita, dirase que é un espazo euclidiano.

Todo produto escalar induce unha norma sobre o espazo no que está definido, da seguinte maneira:

$\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$.

Definición xeométrica do produto escalar nun espazo euclidiano real

A • B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ) é a proxección escalar de A en B.

O produto escalar de dous vectores nun espazo euclidiano defínese como o produto dos seus módulos polo coseno do ángulo $\theta$ que forman.

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta =A\,B\,\cos \theta$

Nos espazos euclídeos, a notación usual de produto escalar é $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}$

Esta definición de carácter xeométrico é independente do sistema de coordenadas elixido e polo tanto da base do espazo vectorial escollida.

Proxección dun vector sobre outro

Posto que |A| cos θ representa o módulo da proxección do vector A sobre a dirección do vector B, isto é |A| cos θ = proy A_B, será

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|B|\left({\text{proy}}A_{B}\right)$

de modo que o produto escalar de dois vectores tamén pode definirse como o produto do módulo dun deles pola proxección do outro sobre el.

Ángulos entre dous vectores

A expresión xeométrica do produto escalar permite calcular o coseno do ángulo existente entre os vectores:

$\cos \theta ={\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \over |A|\,|B|}\,$

Vectores ortogonais

Dous vectores son ortogonais ou perpendiculares cando forman ángulo recto entre si. Se o produto escalar de dous vectores é cero, ambos vectores son ortogonais.

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0\qquad \Rightarrow \qquad \mathbf {A} \bot \mathbf {B}$

xa que o $\cos {\frac {\pi }{2}}=0$.

Vectores paralelos ou nunha mesma dirección

Dous vectores son paralelos ou levan a mesma dirección se o ángulo que forman é de 0 radiáns (0 graos) ou de π radiáns (180 graos).

Cando dous vectores forman un ángulo cero, o valor do coseno é a unidade, polo tanto o produto dos módulos vale o mesmo que o produto escalar.

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A\,B\,\cos \theta \leftrightarrow |\cos \theta |=1\leftrightarrow A||B\Rightarrow |\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} |=|A|\,|B|$

Observación

Unha importante variante do produto escalar estándar utilízase no espazo-tempo de Minkowski, é dicir, $\mathbb {R} ^{4}$ dotado do produto escalar:

$\langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}\,$.

Exemplo de cálculo do ángulo entre dous vectores

Os vectores

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$  e  ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}$

teñen a lonxitude

$|{\vec {a}}|={\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}}}={\sqrt {14}}\approx 3{,}74$ e $|{\vec {b}}|={\sqrt {(-7)^{2}+8^{2}+9^{2}}}={\sqrt {194}}\approx 13{,}93.$

O coseno do ángulo comprendido entre os dous vectores calcúlase como:

$\cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})={\frac {36}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {194}}}}\approx 0{,}691.$

Así temos, $\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=\arccos \left({\frac {36}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {194}}}}\right)\approx 46{,}3^{\circ }.$

Propiedades do produto escalar

1. Conmutativa:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}$

2. Distributiva respecto á suma vectorial:

$\mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C}$

3. Asociativa respecto ao produto por un escalar m:

$m(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(m\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot (m\mathbf {B} )$

4. Obsérvese que en xeral

$(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} \neq \mathbf {A} (\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )\,$

5. Se os vectores son ortogonais, o seu produto escalar é nulo (cos 90º = 0), e viceversa

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0\,$

Nótese que o produto escalar de dous vectores pode ser nulo sen que o sexan os dous correspondentes vectores.

Expresión analítica do produto escalar

Se os vectores A e B se expresan en función das súas compoñentes cartesianas rectangulares, tomando a base canónica en $\mathbb {R} ^{3}$ formada polos vectores unitarios {i , j , k} temos:

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \,$

$\mathbf {B} =B_{x}\mathbf {i} +B_{y}\mathbf {j} +B_{z}\mathbf {k} \,$

O produto escalar realízase como un produto matricial da seguinte forma:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\\\end{bmatrix}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\,$

Exemplo

Un produto escalar é unha operación alxébrica que obedece á seguinte regra:

Sexan os vectores u e mais v,de tres dimensións,con compoñentes: u(a1, a2, a3) e v(b1, b2, b3). O produto escalar de u por v (u escalar v) é o número real:

uv = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Norma ou Módulo dun vector

Defínese como a lonxitude do segmento orientado (vector) no espazo métrico considerado.

Calcúlase a través do produto interno do vector consigo mesmo.

$|A|^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \quad \rightarrow \quad |A|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}$

Efectuado o produto escalar, temos:

$|A|^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =(A_{1},A_{2},...,A_{n})^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+...+A_{n}^{2}=\sum A_{i}^{2}$

de modo que

$|A|={\sqrt {\sum A_{i}^{2}}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+...+A_{n}^{2}}}$

Por compoñentes, tomando a base canónica en $\mathbb {R} ^{3}$ formada polos vectores unitarios {i, j, k}

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} \,$

$|A|^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\\\end{bmatrix}}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}\,$

de modo que

$|A|={\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}\,$

Produtos interiores definidos en espazos vectoriais usuais

• No espazo vectorial $\mathbb {R} ^{n}$ adóitase definir o produto interior (chamado, neste caso en concreto, produto punto) por:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n}=\sum a_{i}\cdot b_{i}$

• No espazo vectorial $\mathbb {C} ^{n}$ adóitase definir o produto interior por:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n})=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+...a_{n}\cdot {\overline {b_{n}}}=\sum a_{i}\cdot {\overline {b_{i}}}$

Sendo ${\overline {b_{n}}}$ o número complexo conxugado de $\mathbf {b_{n}}$

• No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos reais

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{T}\cdot B)$

onde tr(A) é a traza da matriz B e $A^{T}$ é a matriz trasposta de A.

• No espazo vectorial das matrices de m x n , con elementos complexos

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{*}\cdot B)$

onde tr(A) é a traza da matriz B e $A^{*}$ é a matriz trasposta conxugada de A.

• No espazo vectorial das funcións continuas sobre o intervalo C[a, b], acoutado por a e b:

$\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\mathrm {d} x$

• No espazo vectorial dos polinomios de grao menor ou igual a n:

Dado $\textstyle [x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},x_{n+1}]\subseteq \mathbb {R}$ tal que $\textstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{n}<x_{n}+1\,$ :

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =p(x_{1})q(x_{1})+p(x_{2})q(x_{2})+...+p(x_{n})q(x_{n})+p(x_{n}+1)q(x_{n}+1)=\sum p(x_{i})\cdot q(x_{i})$

Xeneralizacións

Formas cuadráticas

Dada unha forma bilinear simétrica $\scriptstyle B(\cdot ,\cdot )$ definida sobre un espazo vectorial $\scriptstyle V=\mathbb {R} ^{n}$ pode definirse un produto escalar diferente do produto escalar euclídeo mediante a fórmula:

$(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )_{B}={\begin{bmatrix}u_{1}&\dots &u_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{11}&\dots &B_{1n}\\\dots &\dots &\dots \\B_{n1}&\dots &B_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\dots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}B_{ij}u_{i}v_{j}$

Onde:

$B_{ij}:=B(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})$

$\{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}$ é unha base do espazo vectorial $\scriptstyle V$

Pode comprobarse que a operación anterior $\scriptstyle (\cdot ,\cdot )_{B}:V\times V\to \mathbb {R}$ satisfai todas as propiedades que debe satisfacer un produto escalar.

Tensores métricos

Pódense definir e manexar espazos non-euclídeos ou máis exactamente variedades de Riemann, é dicir, espazos non-planos cun tensor de curvatura diferente de cero, nos que tamén podemos definir lonxitudes, ángulos e volumes. Nestes espazos máis xerais adóptase o concepto de xeodésica en lugar do de segmento para definir as distancias máis curtas entre puntos e, tamén, se modifica lixeiramente a definición operativa do produto escalar habitual introducindo un tensor métrico $\scriptstyle g:{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\to \mathbb {R}$, tal que a restrición do tensor a un punto da variedade de Riemann é unha forma bilinear $\scriptstyle g_{x}(\cdot ,\cdot )=g(x;\cdot ,\cdot )$.

Así, dados dous vectores campos vectoriais $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ do espazo tanxente á variedade de Riemann defínese o seu produto interno ou escalar como:

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =g_{x}(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i}\sum _{j}g_{ij}(x)u_{i}u_{j}$

A lonxitude dunha curva rectificable C entre dous puntos A e B pódese definir a partir do seu vector tanxente $\scriptstyle \mathbf {T}$ do seguinte xeito:

$L_{C}=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g(\mathbf {x} ,\mathbf {T} ,\mathbf {T} )}}\ ds=\int _{s_{a}}^{s_{b}}{\sqrt {g_{ij}{\frac {dx^{i}}{ds}}{\frac {dx^{i}}{ds}}}}\ ds$

Véxase tamén

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Monytex, ed. Lecciones de Física (4 volúmenes). ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). John Wiley & Sons, ed. Physics. New York. ISBN 0-471-32057-9. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Brooks/Cole, ed. Physics for Scientists and Engineers (6ª ed.). ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul A. (2000). Barcelona: Ed. Reverté, ed. Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). ISBN 84-291-4382-3. 
• Navarro Camacho, Jorge y otros (julio 2007). MAD, ed. Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria ; Matemáticas (Volumen III). ISBN 84-665-7931-1. 
• Marsden, J.E.;Tromba, A.J. (2004). Pearson educación, S.A., ed. Cálculo vectorial (5ª ed.). ISBN 84-7829-069-9. 
• Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich; Traducido por Vázquez Suárez,Juan Luis;Rodríguez Artalejo, Mario (Alianza universidad) (1984). Deutscher Taschenbuch Verlag GmbH&Co. KG.München (Deutschland), ed. Atlas de matemáticas 1.Fundamentos,álgebra y geometría (2 tomos). ISBN 84-206-6203-8, ISBN 84-206-6998-9. 

Ligazóns externas

• Produto escalar de vectores con Excel (en castelán)