Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é unha relación entre os tres lados dun triángulo rectángulo. Establece que o cadrado da hipotenusa é igual á suma dos cadrados dos catetos; é dicir, se a e b son as lonxitudes dos catetos e c a da hipotenusa do triángulo rectángulo, verifícase a chamada "igualdade pitagórica":

Enunciado xeométrico do teorema de Pitágoras: A suma das áreas dos dous cadrados de lados respectivos os catetos (a e b) é igual á área do cadrado de lado a hipotenusa (c).

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,$

O teorema leva o nome do matemático grego Pitágoras (ca. 570 a.C.—ca. 495 a.C.), a quen a tradición atribúe a súa demostración, se ben arguméntase frecuentemente que o coñecemento de teorema é anterior. Hai evidencias de que os babilonios coñecían e entendían a fórmula, mais chegaron ata nós poucas evidencias de que a usaran como ferramenta matemática.

O teorema ten numerosas demostracións, posibelmente é o teorema matemático con máis demostracións. Hainas de todo tipo, tanto demostracións xeométricas como alxébricas, tendo algunhas delas algúns milenios de existencia. O teorema pode ser xeneralizado de múltiples formas, en espazos de dimensións superiores e en espazos non euclidianos, a obxectos que non son triángulos rectángulos é, de feito, a obxectos que nin sequera son triángulos como os sólidos n-dimensionais. O teorema de Pitágoras ten interese fóra das matemáticas como símbolo da dificultade matemática, da mística, ou do poder intelectual. Hai referencias populares dabondo na literatura, teatro, música, cancións, selos e viñetas.

Historia

A táboa babilonia Plimpton 322 ten gravadas ternas pitagóricas.

Hai un debate sobre se o teorema de Pitágoras foi descuberto unha vez ou varias veces en moitos lugares.

A historia do teorema pode dividirse en catro partes: coñecemento das ternas pitagóricas, coñecemento da relación entre os lados dun triángulo rectángulo, coñecemento das relacións entre ángulos adxacentes, e demostracións do teorema no ámbito dun sistema dedutivo.

Bartel Leendert van der Waerden (1903–1996) conxecturou que as ternas pitagóricas foron descubertas alxebricamente polos babilonios. Escrito entre 2.000 e 1.786 a.C., o papiro Berlin 6619 do período medio do imperio exipcio inclúe un problema cuxa solución é a terna pitagórica 6:8:10, mais o problema non menciona ningún triángulo. A táboa mesopotámica Plimpton 322, escrita entre os anos 1790 e 1750 a.C. durante o reinado de Hammurabi o Grande, contén moitos exemplos intimamente relacionados coas ternas pitagóricas.

Na India, o Sulba Sutra escrito por Baudhayana en data incerta entre os séculos VIII e II a.C., contén unha lista de ternas pitagóricas descubertas alxebricamente, un enunciado do teorema de Pitágoras, e unha demostración xeométrica deste para un triángulo rectángulo isóscele. O Sulba Sutra de Apastamba (ca. 600 a.C.) contén unha demostración numérica do caso xeral do teorema de Pitágoras, usando un cómputo de áreas. Van der Waerden cría que dita demostración "estaba certamente baseada en tradicións antigas". Carl Benjamin Boyer pensaba que os elementos achados en Śulba-sũtram debían ter raíces mesopotámicas.

Demostración xeométrica do teorema de Pitágoras no Zhoubi suanjing.

Con contidos coñecidos desde moito antes, mais sobreviventes en textos datados arredor do século I a.C., o texto chinés Zhoubi suanjing ("A aritmética clásica do Gnomon e as sendas circulares do Ceo") proporciona un razoamento do teorema de Pitágoras para o triángulo de lados (3, 4, 5), coñecido na China como o "teorema Gougu" (勾股定理). Durante a dinastía Han (202 a.C. a 220 d.C), aparecen ternas pitagóricas no libro Os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, xunto cunha mención aos triángulos rectángulos. Algúns cren que o teorema xurdiu primeiro na China, onde é coñecido como o "teorema Shang Gao" (商高定理), nomeado así con posterioridade ao astrónomo e matemático do Duque de Zhou, cuxo razoamento compuxo a meirande parte do que está no Zhou Bi Suan Jing.

Pitágoras (569 a.C. - 475 a.C.) usou métodos alxébricos para construír ternas pitagóricas, de acordo co comentario de Proclo sobre Euclides. Proclo, porén, escribiu entre o 410 e o 485 d.C. Segundo Sir Thomas L. Heath (1861–1940), non existe ningunha atribución específica do teorema a Pitágoras na literatura grega que se conserva dos cinco séculos posteriores á época de Pitágoras. Non obstante, cando autores como Plutarco e Cicerón atribuíron o teorema a Pitágoras, fixérono dun xeito que suxería que dita atribución era amplamente coñecida e fóra de toda dúbida. "Se esta fórmula é correctamente atribuída ao propio Pitágoras, [...] pódese asumir con certeza que pertence ao período máis antigo das matemáticas pitagóricas"

Segundo Proclo, arredor do 400 a.C. Platón deu un método para encontrar ternas pitagóricas que combinaba álxebra e xeometría. A demostración axiomática do teorema máis antiga que se coñece aparece nos Elementos de Euclides arredor do 300 a.C.

Outras formas do teorema

Como xa se indicou na introdución, se c denota a lonxitude da hipotenusa e a e b denotan as lonxitudes dos catetos, o teorema de Pitágoras pode expresarse mediante a ecuación pitagórica:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

isto é: "En todo triángulo rectángulo, a hipotenusa ao cadrado é igual á suma dos cadrados dos catetos".

Se a lonxitude dos catetos a e b é coñecida, entón a hipotenusa c pode calcularse sen máis que despexala na ecuación pitagórica:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,$

isto é: "A hipotenusa é igual á raíz cadrada da suma dos cadrados dos catetos".

Se a lonxitude da hipotenusa c e a dun cateto (a ou b) son coñecidas, a lonxitude do outro cateto pode calcularse igualmente despexándoo na ecuación pitagórica:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.\,$

ou

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.\,$

A ecuación pitagórica relaciona os lados dun triángulo rectángulo dun xeito simple, de modo que se as lonxitudes de dous lados son coñecidas, pódese calcular a lonxitude do terceiro lado. Outro corolario do teorema é que, en calquera triángulo rectángulo, a hipotenusa é maior que calquera dos catetos, pero menor ca suma destes.

Teorema de Pitágoras xeneralizado

Artigo principal: Teorema do coseno.

Unha xeneralización deste teorema é o teorema do coseno, que permite calcular a lonxitude dun lado de calquera triángulo coñecidos os outros dous lados e o ángulo comprendido entre eles. Se dito ángulo é recto, o teorema do coseno redúcese á ecuación pitagórica.

A forma matemática do teorema do coseno é:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\,c\,\cos \Theta$

Sendo $\Theta$ o ángulo oposto ao lado a.

Demostracións

O teorema de Pitágoras é dos que contan cun maior número de demostracións diferentes, utilizando métodos moi diversos. Unha das causas disto é que na Idade Media se esixía unha nova demostración del para acadar o grao de Magíster matheseos.

Algúns autores propoñen ata máis de mil demostracións. Outros autores, como o matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogou 367 probas diferentes no seu libro de 1927 The Pitagoream Proposition.

Nese mesmo libro, Loomis clasificaría as demostracións en catro grandes grupos: as alxébricas, onde se relacionan os lados e mailos segmentos do triángulo; as xeométricas, nas que se realizan comparacións das áreas; as dinámicas, a través das propiedades de forza, masa; e as cuaterniónicas, mediante o uso de vectores.

Demostración pitagórica

A demostración pitagórica.

O teorema de Pitágoras xa era longamente coñecido antes da súa época, mais el debeu ser o primeiro en demostralo. De calquera xeito, a demostración atribuída a Pitágoras é moi simple, e é unha proba das chamadas por reagrupamento.

Os dous cadrados máis grandes, de áreas iguais, que se mostran na figura conteñen, cada un, catro triángulos idénticos, e a única diferenza entre eles radica en que os triángulos están dispostos de forma diferente en cada cadrado. Polo tanto, as superficies de cor branca en cada cadrado grande deben ter a mesma área. Dita área no cadrado da esquerda é c², mentres que no da dereita é a suma das áreas a² e b² dos dous cadrados que a forman. Igualando as áreas destas superficies obtense o resultado do teorema, QED.

O feito de que Pitágoras orixinara esta moi simple proba infírese dos escritos do filósofo e matemático grego tardío, Proclo. A continuación amósanse algunhas outras demostracións do teorema, mais esta é a que se coñece como a pitagórica.

Demostración de Euclides

Presentación animada da demostración de Euclides.

A demostración presentada por Euclides nos Elementos apóiase por un lado no caso de igualdade de dous triángulos que teñen un ángulo da mesma medida entre dous lados coas mesmas lonxitudes, e por outra parte sobre a proposición XLI do libro I:

Se un paralelogramo e un triángulo teñen unha mesma base, e están entre as mesmas paralelas; entón o paralelogramo será [de área] dobre do triángulo.

Figura para a demostración de Euclides.

A demostración comeza construíndo cadrados sobre os lados dun triángulo rectángulo: Sexa ABC o triángulo rectángulo co ángulo recto en A, e sexan BCED, ABFG e ACIH os tres cadrados construídos exteriormente sobre os lados. A altura de ABC que parte do vértice A corta ao lado oposto BC en J e ao segmento DE en K

Trátase de demostrar que a área do cadrado BCED é igual á suma das áreas dos cadrados ABFG e ACIH.

Os triángulos BCF e ABD teñen un ángulo igual en B (a súa medida é a do ángulo agudo en B do triángulo ABC aumentada nun ángulo recto) e por construción BF = AB e BC = BD. Polo tanto os triángulos BCF e ABD teñen a mesma área. Agora ben, segundo a proposición XLI mencionada, a área do triángulo BCF vale a metade da do cadrado ABFG e a área do triángulo ABD vale a metade da do rectángulo BDKJ. Polo tanto o cadrado ABFG e o rectángulo BDKJ teñen mesma área.

Do mesmo xeito, os triángulos BCI e ACE teñen un ángulo igual en C coas igualdades AC = CI e BC = CE, polo tanto ambos triángulos teñen a mesma área. E segundo a proposición XLI, o cadrado ACIH ten a mesma área que o rectángulo CEKJ.

Finalmente, o cadrado BCED descomponse en dous rectángulos BDKJ e CEKJ, cuxas áreas son as de ABFG e ACIH respectivamente q.e.d.

Demostración por semellanza de triángulos

Esta demostración está baseada na proporcionalidade dos lados de dous triángulos semellantes, isto é, no feito de que a razón dos lados correspondentes de triángulos semellantes é sempre a mesma, independentemente do tamaño dos triángulos.

No triángulo da figura de hipotenusa c e catetos a e b, trázase a altura f sobre a hipotenusa. Obtéñense así dous triángulos rectángulos (un de hipotenusa a e catetos d e f, e outro de hipotenusa b e catetos e e f) semellantes ao inicial. Pola semellanza de cada un destes triángulos co inicial, téñense as igualdades:

Proba por semellanza de triángulos.

${\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)$

${\frac {e}{b}}={\frac {b}{c}}\quad \Rightarrow \quad e={\frac {b^{2}}{c}}\quad (2)$

Como $\scriptstyle c=d+e\,\!$ e substituíndo polas igualdades (1) e (2):

$c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}$

Multiplicando todo por c obtense o teorema:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.$

O papel desta demostración na historia é motivo de especulación. A cuestión é por que Euclides non usou esta proba, mais inventou outras. Unha conxectura é que a demostración para triángulos semellantes utiliza a teoría das proporcións, un tópico non discutido ata a parte final dos Elementos, e que a teoría das proporcións necesitaba non estaba o suficientemente desenvolvida naquel tempo.

Demostracións por reagrupamento

Xa se discutiu a demostración pitagórica, que é unha demostración por reagrupamento. A mesma idea inspira as tres demostracións que se mostran máis abaixo. A demostración animada da esquerda, consiste nun cadrado grande de lado a + b, que contén catro triángulos rectángulos iguais. Os triángulos móstranse en dous agrupamentos distintos, o primeiro deixa dous cadrados a² e b² sen cubrir; mentres que o segundo deixa un cadrado c² sen cubrir. A área do cadrado grande non cambia, a área dos catro triángulos é a mesma ao comezo e ao remate, polo tanto as áreas negras ao principio e ao final deben ser iguais, é dicir a² + b² = c².

A segunda proba por reagrupamento móstrase na animación do medio. Un cadrado grande fórmase con área c² a partir de catro triángulos rectángulos de lados a, b e c, cos lados fixados arredor dun pequeno cadrado central. Despois fórmanse dous rectángulos de lados a e b movendo os triángulos. Engadindo o cadrado máis pequeno a estes rectángulos prodúcense dous cadrados de áreas a² e b², que teñen que ter a mesma área que o cadrado grande inicial.

A terceira, a imaxe da dereita, tamén proporciona unha demostración por reagrupamento. Os dous cadrados superiores sobre os catetos divídense en pezas (mostradas en tons azuis e verdes) que, cando se reagrupan, poden encaixarse e encher o cadrado inferior sobre a hipotenusa - ou, reciprocamente, o cadrado inferior pode dividirse como se mostra na figura en pezas que enchen os dous cadrados superiores máis pequenos. Isto mostra que a área do cadrado grande é igual á suma das áreas dos dous cadrados pequenos, o cal demostra o teorema

Animación mostrando unha proba por reagrupamento de catro triángulos rectángulos iguais.

Animación que amosa outra proba por reagrupamento de catro triángulos rectángulos.

Proba que usa un reagrupamento elaborado.

Demostracións alxébricas

As dúas demostracións alxébricas.

O teorema pode probarse alxebricamente usando catro copias dun triángulo rectángulo de catetos a e b e hipotenusa c, dispostos dentro dun cadrado de lado c como na metade superior da imaxe. Os triángulos son iguais de área ${\tfrac {1}{2}}ab$, mentres que o cadrado pequeno central ten de lado b − a e área (b − a)². A área do cadrado grande será polo tanto:

$(b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.\,$

Mais como é un cadrado de lado c e área c², será:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}.\,$

Outra proba similar usa as catro copias do mesmo triángulo dispostas simetricamente arredor dun cadrado central de lado c, como se mostra na parte inferior da imaxe. O cadrado grande ten de lado a + b e área (a + b)². Os catro triángulos e o cadrado central teñen que ter a mesma área que o cadrado grande, polo tanto:

$(b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,\,$

obténdose o resultado:

$c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.\,$

A demostración de Garfield.

Unha demostración relacionada coas anteriores foi publicada polo que sería presidente dos Estados Unidos, James Garfield, cando estaba na Cámara de Representantes. No canto dun cadrado úsase un trapecio que se obtén do cadrado da segunda demostración precedente, mediante a bisección do cadrado grande ao longo da diagonal do cadrado interior, tal e como se mostra na imaxe. A área do trapecio é a metade da área do cadrado grande, é dicir:

${\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.$

Por outra banda, a área do trapecio é igual á suma das áreas do triángulo rectángulo isóscele de cateto c e os dous triángulos rectángulos iguais de catetos a e b, co cal:

${\frac {1}{2}}(b+a)^{2}={\frac {1}{2}}c^{2}+2{\frac {ab}{2}}={\frac {1}{2}}c^{2}+ab$

Multiplicando por 2 para eliminar o factor ${\frac {1}{2}}$, desenvolvendo o cadrado da suma e simplificando, obtense o resultado.

Demostración usando o produto escalar

Dotando ao plano da estrutura de espazo vectorial, os vectores que forman os lados dun triángulo rectángulo $ABC$ verifican a relación:

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CB}}$

A lonxitude dun lado do triángulo é igual ao módulo do vector que o forma. O cadrado desa lonxitude será, polo tanto, igual ao cadrado do módulo, o cal é igual ao produto escalar do vector por si mesmo, e tendo en conta a relación anterior, temos que:

$AB^{2}={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CB}})\cdot ({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CB}})$

Aplicando as propiedades distributiva e conmutativa do produto escalar:

$AB^{2}=AC^{2}+CB^{2}+2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {CB}}$

Finalmente, como os vectores ${\overrightarrow {AC}}$ e ${\overrightarrow {CB}}$ son perpendiculares, o seu produto escalar é nulo, e obtense o teorema:

$AB^{2}=AC^{2}+CB^{2}$

Demostración usando diferenciais

Diagrama para a proba diferencial.

O teorema de Pitágoras pode obterse estudando como varía a hipotenusa cando se produce un pequeno cambio nun cateto, empregando do cálculo infinitesimal.

O triángulo ABC que se mostra na parte superior da imaxe é un triángulo rectángulo de hipotenusa BC. Este mesmo triángulo aparece na parte inferior da imaxe chamándolle y á lonxitude da hipotenusa, x á lonxitude do cateto AC e a á lonxitude do cateto AB.

Se se incrementa x nunha pequena cantidade dx ampliando o lado AC lixeiramente ata D, entón y tamén se incrementa en dy. Estes incrementos son os lados do triángulo CDE que é aproximadamente rectángulo e semellante a ABC. Pola semellanza, as razóns dos lados correspondentes son iguais, isto é:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.$

Que pode ser reescrito como segue:

$y\cdot dy-x\cdot dx=0.\,$

Isto é unha ecuación diferencial cuxa solución dá:

$y^{2}-x^{2}=C,\,$

E a constante pode calcularse facendo x = 0, y = a, para obter a ecuación:

$y^{2}=x^{2}+a^{2}\,$

Esta demostración é máis intuitiva ca formal: pode facerse máis rigorosa substituíndo dx e dy por límites propios.

Na cultura popular

Exposición sobre o teorema de Pitágoras no Museo Universum (UNAM) en México D.F.

O teorema de Pitágoras aparece na cultura popular nunha gran variedade de formas:

• Hans Christian Andersen escribiu en 1831 un poema acerca do teorema de Pitágoras: Formens Evige Magie (Et poetisk Spilfægteri).
• Un verso da canción do Maior Xeneral na ópera cómica de Gilbert e Sullivan, The Pirates of Penzance fai unha obrigada referencia ao teorema: "About binomial theorem I'm teeming with a lot o' news, With many cheerful facts about the square of the hypotenuse" (Sobre o teorema binomial estou a abundar cunha chea de noticias, Con moitos feitos alentadores sobre o cadrado da hipotenusa).
• O Espantallo no filme The Wizard of Oz fai unha alusión máis específica ao teorema. Ao recibir o seu diploma do Mago, exhibe inmediatamente o seu "coñecemento" recitando unha versión mutilada e incorrecta do teorema: "A suma das raíces cadradas de dous lados calquera dun triángulo isóscele é igual á raíz cadrada do lado restante. Oh, alegría! Oh, éxtase! Teño un cerebro!".
• En 2000, Uganda emitiu unha moeda coa silueta dun triángulo rectángulo isóscele. O reverso da moeda ten unha imaxe de Pitágoras e a ecuación α² + β² = γ², acompañada da mención "Pythagoras Millennium".
• Grecia, o Xapón, San Marino, Serra Leoa e Suriname teñen emitido selos postais describindo a Pitágoras e o seu teorema.
• Na novela de ficción especulativa Anathem, de Neal Stephenson, o teorema de Pitágoras é referido como o teorema Adrakhonic. Unha demostración xeométrica do teorema aparece nun lateral dunha nave alieníxena para demostrar que os alieníxenas entenden de matemáticas.

Véxase tamén

Outros artigos

• Triángulo rectángulo
• Hipotenusa
• Cateto
• Triángulo
• Trigonometría