Teorema do coseno

O teorema do coseno é unha xeneralización do teorema de Pitágoras para triángulos non rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

O teorema relaciona un lado dun triángulo cos outros dous e co coseno do ángulo formado por estes dous lados:

Dado un triángulo ABC, sendo α, β, γ, os ángulos, e a, b, c, os lados respectivamente opostos a estes ángulos, entón:

Na maioría dos idiomas, este teorema é coñecido co nome de teorema ou lei dos cosenos, denominación non obstante relativamente tardía. En francés leva o nome do matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificou os resultados dos seus predecesores.[1]

Fig. 1 - Notación máis habitual dun triángulo.

HistoriaEditar

Os Elementos de Euclides, que data do século III a. C., contén xa unha aproximación xeométrica da xeneralización do teorema de Pitágoras: as proposicións 12 e 13 do libro II, tratan separadamente o caso dun triángulo obtusángulo e o dun triángulo acutángulo. A formulación da época é arcaica xa que a ausencia de funcións trigonométricas e da álxebra obrigou a razoar en termos de diferenzas de áreas.[2] Por iso, a proposición 12 utiliza estes termos:

«Nos triángulos obtusángulos, o cadrado do lado oposto ao ángulo obtuso é maior que os cadrados dos lados que comprenden o ángulo obtuso en dúas veces o rectángulo comprendido por un lado dos do ángulo obtuso sobre o que cae a perpendicular e a recta exterior cortada pola perpendicular, até o ángulo obtuso.»
Euclides, Elementos.[3]

Sendo ABC o triángulo, co ángulo obtuso en C, e BH a altura respecto do vértice B (cf. Fig. 2 contigua), a notación moderna permite formular o enunciado así:

 
Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

 

Faltaba esperar a trigonometría árabe-musulmá da Idade Media para ver o teorema evolucionar: o astrónomo e matemático al-Battani[4] xeneralizou o resultado de Euclides na xeometría esférica a principios do século X, o que permitiu efectuar os cálculos da distancia angular entre o Sol e a Terra.[5][6] Foi durante o mesmo período cando se estableceron as primeiras táboas trigonométricas, para as funcións seno e coseno. Iso permitiulle a Ghiyath al-Kashi,[7] matemático da escola de Samarcanda, de poñer o teorema baixo unha forma utilizable para a triangulación durante o século XV. A propiedade foi popularizada en occidente por François Viète quen, ao parecer, redescubriuno independentemente.[8]

Foi a finais do século XVII cando a notación alxébrica moderna, canda a notación moderna das funcións trigonométricas introducida por Euler no seu libro Introductio in analysin infinitorum, permitiron escribir o teorema baixo a súa forma actual, estendéndose o nome de teorema (ou lei) do coseno.[9]

O teorema e as súas aplicaciónsEditar

O teorema do coseno é tamén coñecido polo nome de teorema de Pitágoras xeneralizado, xa que o teorema de Pitágoras é un caso particular: cando o ángulo   é recto ou, dito doutro xeito, cando  , o teorema do coseno redúcese a:

 

que é precisamente a formulación do teorema de Pitágoras.

 
Fig. 3 - Utilización do teorema do coseno: ángulo ou lado descoñecido.

O teorema emprégase en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, e saber determinar

  • o terceiro lado dun triángulo cando coñecemos un ángulo e os lados adxacentes:

 .

  • os ángulos dun triángulo cando coñecemos os tres lados:

 .

Estas fórmulas son difíciles de aplicar no caso de medicións de triángulos moi agudos utilizando métodos simples, é dicir, cando o lado c é moi pequeno respecto os lados a e b —ou o seu equivalente, cando o ángulo γ é moi pequeno.

Existe un corolario do teorema do coseno para o caso de dous triángulos semellantes ABC e A'B'C'

 .

DemostraciónsEditar

Por repartición de áreasEditar

 
Fig. 4a - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é agudo.

Un certo número das demostracións do teorema fan intervir un cálculo de áreas. Convén en efecto remarcar que

  • , , c² son as áreas dos cadrados de lados respectivos a, b, c.
  • ab cos(γ) é a área dun paralelogramo de lados a e b que forman un ángulo de 90°-γ.

Dado que cos(γ) cambia de signo dependendo de se γ é maior ou menor a 90°, faise necesario dividir a proba en 2 casos

A figura 4a (contigua) divide un heptágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo agudo. A división é a seguinte:

  • En verde, as áreas , á esquerda, e a área , á dereita.
  • En vermello, o triángulo ABC en ambos diagramas e en amarelo triángulos congruentes ao ABC.
  • En azul, paralelogramos de lados a e b con ángulo 90°-γ.

Igualando as áreas e cancelando as figuras iguais obtense que  , equivalente ao Teorema do coseno.

 
Fig. 4b - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é obtuso.

A figura 4b (contigua) divide un hexágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo obtuso. A figura mostra

  • En verde , á esquerda e á dereita.
  • En azul -2ab cos(γ), recordando que ao ser cos(γ) negativo, a expresión completa é positiva.
  • En vermello, dúas veces o triángulo ABC para ambos lados da figura.

Igualando áreas e cancelando as zonas vermellas dá  , como queríamos demostrar.

Polo teorema de PitágorasEditar

Notemos que o Teorema de Cosenos é equivalente ao Teorema de Pitágoras cando o ángulo   é recto. Polo tanto só é necesario considerar os casos cando c é adxacente a dous ángulos agudos e cando c é adxacente a un ángulo agudo e un obtuso.

Primeiro caso: c é adxacente a dous ángulos agudos.

 
Caso 1: c é adxacente a dous ángulos agudos

Consideremos a figura adxunta. Polo teorema de Pitágoras, a lonxitude c é calculada así:

(left)  

Pero, a lonxitude h tamén se calcula así:

(left)  

Sumando ambas ecuacións e logo simplificando obtemos:

 

Pola definición de coseno, tense:

 

e polo tanto:

 

Substituímos o valor de u na ecuación para  , concluíndo que:

 

co que conclúe a proba do primeiro caso.

Segundo caso: c é adxacente a un ángulo obtuso.

 
Caso 2: c é adxacente a un ángulo obtuso

Consideremos a figura adxunta. O teorema de Pitágoras establece novamente   pero neste caso  . Combinando ambas ecuacións obtemos   e deste xeito:

 .

Da definición de coseno, tense   e polo tanto:

 .

Substituímos na expresión para e simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluíndo novamente

 .

Isto conclúe a demostración.

É importante notar, que se se considera a u como un segmento dirixido, entón só hai un caso e as dúas demostracións convértense na mesma.

Pola potencia dun punto con respecto a un círculoEditar

 
Fig. 6 - Demostración do teorema do coseno utilizando a potencia dun punto con respecto a un círculo.

Consideremos un círculo con centro en B e radio BC, como na figura 6. Se AC é tanxente ao círculo, novamente tense o Teorema de Pitágoras. Cando AC non é tanxente, existe outro punto K de corte co círculo. A potencia do punto A con respecto a dito círculo é

 .

Por outro lado, AL = c+a e AP = c-a de modo que

 .

Ademais, CK= -2a cos(γ) polo que

 .

Igualando as expresións obtidas chégase finalmente a:

 

Contrariamente ás precedentes, para esta demostración, non é necesario recorrer a un estudo por caso pois as relacións alxébricas son as mesmas para o caso do ángulo agudo.

Polo cálculo vectorialEditar

Utilizando o cálculo vectorial, máis precisamente o produto escalar, é posible encontrar o teorema do coseno nalgunhas liñas:

   
 
 
 
 

Xeneralización en xeometrías non euclidianasEditar

 
Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensións reducidas a, b e c ; ángulos α, β e γ.

Para unha superficie non euclidiana de curvatura K, sinalamos con R o radio de curvatura. Este verifica

 .

Definimos entón as dimensións reducidas do triángulo:

 ,
 ,
 .

No caso dun triángulo esférico, a, b e c corresponden á medida angular dos segmentos de circunferencia maximal[10] [BC], [AC] e [AB] (ver Fig. 7).

Xeometría esféricaEditar

Artigo principal: Xeometría esférica.

Cando o radio de curvatura é moi grande comparado coas dimensións do triángulo, é dicir cando

 ,

esta expresión simplifícase para dar a versión euclidiana do teorema do coseno. Para facelo, :  etc.

Existe unha identidade similar que relaciona os tres ángulos:

 

Xeometría hiperbólicaEditar

Artigo principal: Xeometría hiperbólica.

Nun triángulo hiperbólico ABC, o teorema do coseno escríbese

 .

Cando o radio de curvatura se volve moi grande fronte ás dimensións do triángulo, encontramos o teorema do coseno euclidiano a partir dos desenvolvementos limitados

  etc.,
  etc.

Xeneralización no espazo euclidianoEditar

 
Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras e ángulos.

Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 do espazo euclidiano, sendo:

  a cara oposta ao vértice  ;
  a superficie de  ;
  o plano que contén a cara  ;
  o ángulo diedral  .

(A figura 8, contigua, presenta a notación dos vértices, caras e ángulos do tetraedro).

Entón, as superficies e ángulos verifican:

 
 .

NotasEditar

  1. Kennedy, E S ; Debarnot, M.- T (1979). "Al-Kashi's Impractical Method of Determining the Solar Altitude". Journal for the History of Arabic Science Aleppo 3 (2). páx. 219-227. Arquivado dende o orixinal o 23 de xaneiro de 2009. Consultado o 21 de abril de 2012. 
  2. Heath, Sir Thomas (1921). Londres, Inglaterra: Oxford University Press, ed. A history of Greek Mathematics vol. 1. OCLC 2014918. 
  3. "Proposición 12 del libro II de Los Elementos de Euclides". Arquivado dende o orixinal o 03 de abril de 2012. Consultado o 21 de abril de 2012. 
  4. "Esquema del desarrollo histórico de la matemática" (PDF). Universidade Nacional do Nordeste. pp. páx. 6. Consultado o 21 de abril de 2012. 
  5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. Universidade de Saint Andrews, ed. "Biografía de Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani". MacTutor History of Mathematics archive (en inglés). Consultado o 21 de abril de 2012. 
  6. "La trigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi" (html) (en catalán). Consultado o 21 de abril de 2012. 
  7. "Al-Kashi, Gamshid ibn Messaoud" (en francés). Consultado o 21 de abril de 2012. 
  8. Viète, François (1579). Lutetia Mettayer, ed. Canon mathematicus seu ad triangula. OCLC 165919384. 
  9. Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons, ed. A History of Mathematics. pp. 439–445. ISBN 0-471-54397-7. 
  10. Na xeometría esférica o concepto de liña recta é substituído polo de xeodésica, que é a distancia máis curta entre dous puntos dados da mesma e esta é sempre unha liña que debe pertencer a unha circunferencia máxima (tamén chamada maximal). As circunferencias máximas son as liñas de intersección entre a superficie esférica e calquera plano que pase polo centro da mesma, con estas restricións pódese falar tamén de triángulos de lados xeodésicos. Os triángulos esféricos non cumpren con que a suma dos seus ángulos internos sexa 180°, mais a desigualdade triangular segue vixente na xeometría esférica.

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar

BibliografíaEditar