Plano (xeometría)
En xeometría, un plano é un obxecto ideal que só posúe dúas dimensións, e contén infinitos puntos e rectas; é un concepto fundamental da xeometría xunto co punto e a recta.
Cando se fala dun plano, está a falarse do obxecto xeométrico que non posúe volume, é dicir é bidimensional, e que contén un número infinito de rectas e puntos. Con todo, cando o termo se emprega en plural, está a falarse daquel material que se constrúe como unha representación gráfica de superficies en diferentes posicións. Os planos son especialmente empregados en enxeñaría, arquitectura e deseño xa que serven para diagramar nunha superficie plana ou noutras superficies que son regularmente tridimensionais.
Un plano queda definido polos seguintes elementos xeométricos:
- Tres puntos non aliñados.
- Unha recta e un punto exterior a ela.
- Dúas rectas paralelas ou dúas rectas que se cortan.
Os planos adoitan nomearse cunha letra do alfabeto grego.
Adoita representarse graficamente, para a súa mellor visualización, como unha figura delimitada por bordos irregulares (para indicar que o debuxo é unha parte dunha superficie infinita).
Nun sistema de coordenadas cartesianas, un punto do plano queda determinado por un par ordenado, chamados abscisa e ordenada do punto. Mediante ese procedemento a todo punto do plano correspóndenlle sempre dous números reais ordenados (abscisa e ordenada), e reciprocamente, a un par ordenado de números correspóndelle un único punto do plano. Consecuentemente o sistema cartesiano establece unha correspondencia biunívoca entre un concepto xeométrico como é o dos puntos do plano e un concepto alxébrico como son os pares ordenados de números. En coordenadas polares por un ángulo e unha distancia. Esta correspondencia constitúe o fundamento da xeometría analítica.
A área é unha medida de extensión dunha superficie, ou dunha figura xeométrica plana expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. Para superficies planas o concepto é máis intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos, por exemplo un polígono, pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma das áreas deses triángulos. Ocasionalmente emprégase o vocábulo "área" como sinónimo de superficie, cando non existe confusión entre o concepto xeométrico en si mesmo (superficie) e a magnitude métrica asociada ao concepto xeométrico (área).
Propiedades do plano ℝ3
editarNun espazo euclidiano tridimensional ℝ3, podemos achar os seguintes feitos, que non son necesariamente válidos para dimensións maiores.
- Dous planos ou son paralelos ou intersécanse nunha liña.
- Unha liña é paralela a un plano ou intersecta ao mesmo nun punto ou é contida polo plano mesmo.
- Dúas liñas perpendiculares a un mesmo plano son necesariamente paralelas entre si.
- Dous planos perpendiculares a unha mesma liña son necesariamente paralelos entre si.
- Entre un plano Π calquera e unha liña non perpendicular ao mesmo existe só un plano que contén a liña e é perpendicular ao plano Π.
- Entre un plano Π calquera e unha liña perpendicular ao mesmo existe un número infinito de planos tal que conteñen a liña e son perpendiculares ao plano Π.
Ecuación do plano
editarUn plano queda definido polos seguintes elementos xeométricos: un punto e dous vectores:
Punto P = (x1, y1, z1)
Vector u = (ux, uy, uz)
Vector v = (a2, b2, c2)
Esta é a forma vectorial do plano; con todo a forma máis utilizada é a reducida, resultado de igualar a cero o determinante formado polos dous vectores e o punto xenérico X = (x, y, z) co punto dado. Deste xeito a ecuación do plano é:
Onde (A, B, C) é un vector perpendicular ao plano, coincide co produto vectorial dos vectores ou e v. A fórmula para determinar a ecuación cando non está na orixe é:
Posición relativa entre dous planos
editarSe temos un plano 1 cun punto A e un vector normal 1, e tamén temos un plano 2 cun punto B e un vector normal 2.
As súas posicións relativas poden ser:
- Planos coincidentes: a mesma dirección dos vectores normais e o punto A pertence ao plano 2.
- Planos paralelos: se teñen a mesma dirección os vectores normais e o punto A non pertence ao plano 2.
- Planos secantes: se os vectores normais non teñen a mesma dirección.
Distancia dun punto a un plano
editarPara un plano calquera e un punto calquera non necesariamente contido no plano Π, a menor distancia entre P1 e o plano Π é:
Do anterior dedúcese que o punto P1 pertencerá ao plano Π se e só se D=0.
Se os coeficientes a, b e c da ecuación canónica dun plano calquera están normalizados, é dicir cando , entón a fórmula anterior de distáncia D redúcese a :
Semiplano
editarChámase semiplano, en xeometría, a cada unha das dúas partes nas que un plano queda dividido por unha recta.
Postulados da división dun plano
editarEn cada par de semiplanos que unha recta r determina sobre un plano, existen infinitos puntos tales que:
- Todo punto do plano pertence a un dos dous semiplanos, ou á recta que os determina.
- Dous puntos do mesmo semiplano, determinan un segmento que non corta a recta r.
- Dous puntos de semiplanos diferentes, determinan un segmento que corta a recta r.
Véxase tamén
editarOutros artigos
editarLigazóns externas
editar- Weisstein, Eric W. «Plano». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- "Reducindo a dificultade da xeometría aritmética e planar" é un manuscrito árabe do século 15, que serve como un tutorial sobre xeometría plana e a aritmética