Abrir o menú principal

Nas matemáticas, o límite é un concepto que describe a tendencia dunha sucesión ou unha función, cando os parámetros desa sucesión ou función se acercan a determinado valor. No cálculo (especialmente en análise real e matemática) este concepto utilízase para definir a converxencia, continuidade, derivación, integración etc.

Índice

Límite dunha funciónEditar

 
Parámetros utilizados na definición de límite.
Artigo principal: Límite dunha función.

DefiniciónEditar

Informalmente, dise que o límite da función f(x) é L cando x tende a p, e escríbese:

 

se se pode encontrar para cada ocasión un x suficientemente próximo de p tal que o valor de f(x) sexa tan próximo a L como se desexe. Formalmente, utilizando términos lóxico-matemáticos:

 

Esta definición denomínase frecuentemente definición épsilon-delta de límite, e lese como segue:

"para cada real ε maior que cero existe un real δ maior que cero tal que, para todo x, se a distancia entre x e p (x non é igual a p) é menor que δ, entón a distancia entre a imaxe de x e L é menor que ε unidades".

Límites dunha función de dúas ou máis variablesEditar

Nas funcións de dúas ou máis variables a definición de límite é a mesma que en todas as funcións numéricas, mais nestas non sempre é fácil de calcular e moitas veces é mesmo difícil afirmar que exista ou non un límite. Unha función de dúas variables sería:

 
 

A función de dúas variables ten dous graos de liberdade (nas funcións dunha variable só existe verdadeiramente un grao de liberdade que é a recta real, onde os valores poden ir cara a dereita, no sentido de maiores números reais, ou cara a esquerda, no sentido de menores números reais) por consecuencia é difícil achar o límite.

Ora, para que exista un valor de límite, é necesario que o independa do camiño tomado para que o(s) valor(es) da(s) variable(s) independentes sexan alcanzados. Iso pasa no caso unidimensional, cando os dous límites laterais coinciden. No caso contrario, o límite non existe.

De forma parecida, cando se ten unha función bidimensional como:

 
 

o límite pode comprobarse a través de varios camiños. Supoñamos que queremos verificar o límite L desta función cando tende a (0,0):

 

Podemos aproximarnos ao valor (0,0) a través de varias posibilidades:

 

Neste caso, o límite L é cero

 

Neste caso, o límite L é tamén cero


Poderíase ficar enumerando todas as posibilidades, mais sería ocioso. No caso desta función, o límite neste punto é sempre cero.

Límite dunha sucesiónEditar

 
 
Artigo principal: Límite dunha sucesión.

A definición do límite matemático no caso dunha sucesión é moi semellante á definición do límite dunha función cando   tende a  . Dicimos que a sucesión   tende até o seu límite  , ou que converxe ou é converxente (a  ), o que denotamos como:

 

se podemos achar un número   tal que todos os termos da sucesión a   cando   crece sen cota. Formalmente:

   

Propiedades dos límitesEditar

Os límites cumpren as seguintes propiedades xerais, que son usadas moitas veces para simplificar o cálculo dos mesmos.

  •  
  • Límite por escalar.
  onde k é un multiplicador escalar.
  • Límite dunha suma.
 
  • Límite dunha resta.
 
  • Límite dunha multiplicación.
 
  • Límite dunha división.
 

IndeterminaciónsEditar

Hai límites que calculándoos directamente se obtén algunha das seguintes expresións:


 

Denomínanse indeterminacións a estas expresións, xa que non teñen solución coñecible. Nalgúns casos, simplificando as expresións iniciais ou obtendo expresións equivalentes ás iniciais pódese resolver a indeterminación e calcular o límite. Outros casos requiren do uso de outras ferramentas como poden ser desigualdades ou a regra de L'Hopital.

Un exemplo de indeterminación do tipo   é o que se dá nestes tres casos:

 

 

 

Véxase taménEditar