Abrir o menú principal

Límite dunha función

O límite dunha función é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.

Informalmente, o feito de que unha función f teña un límite L nun punto c significa que o valor de f pode ser tan próximo a L como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a c, independentemente do que ocorra en c.

HistoriaEditar

Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta.[1] Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu Cours d'analyse (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática.[2] A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860[3] e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.

A notación de escritura usando a abreviatura lim coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

Definición formalEditar

Funcións dunha variable realEditar

 
Visualización dos parámetros utilizados na definición de límite.

Se a función   ten límite   en   podemos dicir de maneira informal que a función   tende cara ao límite   próximo a   se se pode facer que   sexa tan próximo como queiramos de   dándolle valores a   para que sexa o suficientemente parecido a   mais sendo   distinto de  .

Os conceptos próximo ou parecido son matematicamente pouco precisos. Por esta razón, dáse unha definición formal de límite que precisa estes conceptos que di:

O límite dunha función f(x), cando x tende a c é L se e só se para todo   existe un   tal que para todo número real x no dominio da función  .

Isto, escrito en notación formal:

 

Esta notación dinos que se o límite existe, entón pódese estar tan preto del como queiramos. Se non se logra estar o suficientemente preto, entón a elección do δ non era a axeitada. A definición asegura que se o límite existe, entón é posible encontrar tal δ.

Non obstante, hai casos como por exemplo a función de Dirichlet   definida como:

 

onde non existe un número c para o cal exista  . Polo tanto, para demostrar a anterior afirmación é necesario facer uso do feito de que cada intervalo contén tanto números racionais como irracionais.

Límites lateraisEditar

 
O límite cando: x → x0+ ≠ x → x0-. Polo tanto, o límite cando x → x0 non existe.

x pode aproximarse a c tomando valores máis grandes que este (dereita):

 

ou tomando valores máis pequenos (esquerda):

 

Se os dous límites anteriores son iguais:

 

entón L pódese referir como o límite de f(x) en c. Dito doutro xeito, se estes non son iguais a L, entón o límite, como tal, non existe.

Funcións en espazos métricosEditar

Existe outra maneira de definir o límite que ten que ver cos conceptos de bólas e veciñanzas:

Supóñase f : (M, dM) → (N, dN) unha función entre dous espazos métricos, p é un punto límite de M e LN. Dicimos que "o límite de f en c é L" e escribimos

 

se e só se para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda xM en 0 < dM(x, c) < δ, temos dN(f(x), L) < ε.

En termos de desigualdades, temos que o límite da función f(x) en x = c é L se se cumpre que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

  , entón  

Da desigualdade 0 < |x - c| < δ obtense o seguinte:

  1. x pertence á veciñanza (c - δ, c) U (c, c + δ).
  2. x non é igual a c, pois 0 < |x - c| implica que x é distinto de c.
  3. A solución de |f(x) - L| < ε pertence ao intervalo (L - ε, L + ε).

Isto proporciona a clave de comprensión do concepto de límite, pois mentres que o valor de x está na veciñanza horizontal arredor do punto c e oca en c con radio delta e centro c, aínda cando nese punto c non estea definida, o valor de y está no intervalo vertical con centro en f(c) e radio épsilon.

Unicidade do límiteEditar

Se o límite dunha función existe, entón este é único. Este teorema é válido en espazos topolóxicos Hausdorff.[4]

Supoñamos que  , vexamos que non pode ser que   tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite   para todo x nalgunha veciñanza oca de c, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'.

Propiedades dos límitesEditar

Propiedades xeraisEditar

Se k é un escalar:

Límite de Expresión
Unha constante  
A función identidade  
O produto dunha función e unha constante  
Unha suma  
Unha resta  
Un produto  
Un cociente  
Unha potencia  
Un logaritmo  
O número e  
Función f(x) acoutada e g(x) infinitesimal  .

IndeterminaciónsEditar

Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere   como o límite que tende a infinito e   o límite cando tende a 0; e non o número 0):

Operación Indeterminación
Subtracción  
Multiplicación  
División  
Elevación a potencia  
Exemplo.

0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:

     

Regra de l'HôpitalEditar

Artigo principal: Regra de l'Hôpital.

Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞. Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a y, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital.

  •  

Por exemplo:  

Límites trigonométricosEditar

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

DemostraciónsEditar

Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(x) < x < tan(x) no intervalo (0,π/2), que relaciona x coas funcións seno e tanxente. Logo dividimos por sin(x), obtendo:

 

Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade:

 

Calculando o límite cando x tende a 0:

 

O que é igual a:

 

Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1:

 

O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir:

 

NotasEditar

  1. MacTutor History of Bolzano
  2. 2,0 2,1 "Jeff Miller's history of math website.". Arquivado dende o orixinal o 05 de decembro de 1998. Consultado o 25 de abril de 2012. 
  3. MacTutor History of Weierstrass.
  4. Kolmogorov, Andrei (1978). "Espacios métricos y topológicos". En Mir. Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional (3 ed.). 

Véxase taménEditar

Ligazóns externasEditar