Límite dunha función

O límite dunha función é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.

Informalmente, o feito de que unha función f teña un límite L nun punto c significa que o valor de f pode ser tan próximo a L como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a c, independentemente do que ocorra en c.

Historia

Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta. Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu Cours d'analyse (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática. A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860 e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.

A notación de escritura usando a abreviatura lim coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

Definición formal

Funcións dunha variable real

Visualización dos parámetros utilizados na definición de límite.

Se a función $f$ ten límite $L$ en $c$ podemos dicir de maneira informal que a función $f$ tende cara ao límite $L$ próximo a $c$ se se pode facer que $f(x)$ sexa tan próximo como queiramos de $L$ dándolle valores a $x$ para que sexa o suficientemente parecido a $c$ mais sendo $x$ distinto de $c$.

Os conceptos próximo ou parecido son matematicamente pouco precisos. Por esta razón, dáse unha definición formal de límite que precisa estes conceptos que di:

O límite dunha función f(x), cando x tende a c é L se e só se para todo $\varepsilon >0\;$ existe un $\delta >0\;$ tal que para todo número real x no dominio da función $0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$.

Isto, escrito en notación formal:

${\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0/\forall x\in \operatorname {Dom} (f),0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \end{array}}$

Esta notación dinos que se o límite existe, entón pódese estar tan preto del como queiramos. Se non se logra estar o suficientemente preto, entón a elección do δ non era a axeitada. A definición asegura que se o límite existe, entón é posible encontrar tal δ.

Non obstante, hai casos como por exemplo a función de Dirichlet $D:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida como:

$D(x)={\begin{cases}c&\mathrm {para\ } x\ \mathrm {racional} \\d&\mathrm {para\ } x\ \mathrm {irracional} \\\end{cases}}$

onde non existe un número c para o cal exista $\lim _{x\to c}f(x)\quad$. Polo tanto, para demostrar a anterior afirmación é necesario facer uso do feito de que cada intervalo contén tanto números racionais como irracionais.

Límites laterais

O límite cando: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Polo tanto, o límite cando x → x₀ non existe.

x pode aproximarse a c tomando valores máis grandes que este (dereita):

$\lim _{x\to c^{+}}f(x)=L^{+}$

ou tomando valores máis pequenos (esquerda):

$\lim _{x\to c^{-}}f(x)=L^{-}$

Se os dous límites anteriores son iguais:

$\lim _{x\to c^{-}}f(x)=\lim _{x\to c^{+}}f(x)=L$

entón L pódese referir como o límite de f(x) en c. Dito doutro xeito, se estes non son iguais a L, entón o límite, como tal, non existe.

Funcións en espazos métricos

Existe outra maneira de definir o límite que ten que ver cos conceptos de bólas e veciñanzas:

Supóñase f : (M, d_M) → (N, d_N) unha función entre dous espazos métricos, p é un punto límite de M e L∈N. Dicimos que "o límite de f en c é L" e escribimos

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

se e só se para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < d_M(x, c) < δ, temos d_N(f(x), L) < ε.

En termos de desigualdades, temos que o límite da función f(x) en x = c é L se se cumpre que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

$0<\left|x-c\right|<\delta$ , entón $\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon$

Da desigualdade 0 < |x - c| < δ obtense o seguinte:

1. x pertence á veciñanza (c - δ, c) U (c, c + δ).
2. x non é igual a c, pois 0 < |x - c| implica que x é distinto de c.
3. A solución de |f(x) - L| < ε pertence ao intervalo (L - ε, L + ε).

Isto proporciona a clave de comprensión do concepto de límite, pois mentres que o valor de x está na veciñanza horizontal arredor do punto c e oca en c con radio delta e centro c, aínda cando nese punto c non estea definida, o valor de y está no intervalo vertical con centro en f(c) e radio épsilon.

Unicidade do límite

Se o límite dunha función existe, entón este é único. Este teorema é válido en espazos topolóxicos Hausdorff.

Supoñamos que $\textstyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$, vexamos que non pode ser que $L'\neq L$ tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite $f(x)\in E$ para todo x nalgunha veciñanza oca de c, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'.

Propiedades dos límites

Propiedades xerais

Se k é un escalar:

Límite de	Expresión
Unha constante	$\lim _{x\to c}k=\,k\,$
A función identidade	$\lim _{x\to c}x=\,c\,$
O produto dunha función e unha constante	$\lim _{x\to c}kf(x)=\,k\lim _{x\to c}f(x)\,$
Unha suma	$\lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=\,\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)\,$
Unha resta	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\,\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)\,$
Un produto	$\lim _{x\to c}(f(x)g(x))=\,\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x)\,$
Un cociente	$\lim _{x\to c}{{f(x)} \over {g(x)}}=\,{{\lim _{x\to c}{f(x)}} \over {\lim _{x\to c}{g(x)}}}\,\ {\mbox{si }}\lim _{x\to c}g(x)\neq 0,$
Unha potencia	${\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}=\,{\lim _{x\to c}f(x)^{\lim _{x\to c}g(x)}}\,\ {\mbox{si }}f(x)>0$
Un logaritmo	${\lim _{x\to c}\log f(x)}=\,\log {\lim _{x\to c}f(x)}$
O número e	${\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{1 \over x}}=\,{\lim _{x\to \infty }\left(1+{1 \over x}\right)^{x}}=\,e$
Función f(x) acoutada e g(x) infinitesimal	${\lim _{x\to c}\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\,0$.

Indeterminacións

Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere $\infty \,\!$ como o límite que tende a infinito e $0\,\!$ o límite cando tende a 0; e non o número 0):

Operación	Indeterminación
Subtracción	$\infty -\infty$
Multiplicación	$\infty \cdot 0$
División	${\cfrac {\infty }{\infty }},{\cfrac {0}{0}}$
Elevación a potencia	$1^{\infty },\infty ^{0},0^{0}$

Exemplo.

0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}=\infty$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}=1$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}=0$

Regra de l'Hôpital

Artigo principal: Regra de l'Hôpital.

Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞. Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a y, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital.

• $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

Por exemplo: $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.$

Límites trigonométricos

1. ${\lim _{x\to \infty }x\;\sin \left({\frac {2\pi }{x}}\right)\cos \left({\frac {2\pi }{x}}\right)}=\,2\pi$
2. ${\lim _{x\to 0}{{\sin x} \over x}}={\lim _{x\to 0}{x \over \sin x}}=\,1\,$
3. ${\lim _{x\to 0}{\tan x \over x}}={\lim _{x\to 0}{x \over \tan x}}=\,1\,$
4. ${\lim _{x\to 0}{\sin x \over \tan x}}\,={\lim _{x\to 0}{\tan x \over \sin x}}=\,1$
5. ${\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}}=\,1/2\,$

Demostracións

Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(x) < x < tan(x) no intervalo (0,π/2), que relaciona x coas funcións seno e tanxente. Logo dividimos por sin(x), obtendo:

$1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}$

Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade:

$\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1$

Calculando o límite cando x tende a 0:

$\lim _{x\to 0}\cos x<\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}<\lim _{x\to 0}1$

O que é igual a:

$1<\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}<1$

Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir:

${\lim _{x\to 0}\left({\frac {\tan x}{x}}\right)}={\lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin x}{x}}\right)}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}=1\cdot 1=1$

Véxase tamén

• Límite matemático
• Límite superior e límite inferior
• Topoloxía de rede, unha xeneralización do concepto de límite.

Ligazóns externas

• Límites e continuidade de funcións Arquivado 12 de abril de 2012 en Wayback Machine. (en castelán)
• Límite en MathWorld (en inglés)