Función de Dirichlet
En matemática, a función de Dirichlet[1][2], chamada así en honra ao matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, é unha función matemática especial, que ten a peculiaridade de non ser continua en ningún punto do seu dominio.
Definición
editarSe c,d , c d, defínese a función de Dirichlet como:
Usualmente tómanse os valores de e .
Propiedades
editar- A función de Dirichlet é descontinua en todo punto do seu dominio.
Demostración
Para probar que non é continua nun punto , precisamos ver que tal que .
- Se , entón . Podemos tomar . Como os irracionais son densos en , non importa qué tomemos, podemos asegurar a existencia dun tal que .
- Se , entón . Podemos tomar de novo . Como os racionais son densos en , non importa qué tomemos, podemos asegurar a existencia dun tal que .
- Analiticamente, a función de Dirichlet pódese representar como o límite dobre dunha sucesión de funcións: .
- A función de Dirichlet é periódica, xa que .Esta función, por tanto, é un exemplo dunha función periódica non constante cuxo conxunto de períodos é denso en (os racionais).
Notas
editarVéxase tamén
editarOutros artigos
editar- Función de Thomae, variación da función de Dirichlet continua nos irracionais e descontinua nos racionais.
Ligazóns externas
editar- Weisstein, Eric W. "Dirichlet Function". MathWorld.
- The Modified Dirichlet Function por George Beck, The Wolfram Demonstrations Project.