Límite superior e límite inferior

En matemática defínese límite superior e límite inferior dunha sucesión (x_n) como o maior e menor límite converxente das subsucesións de (x_n). Analogamente a este, o límite superior e límite inferior para funcións reais defínese do mesmo xeito. O límite superior e o límite inferior son un substituto parcial para o límite, se é que este non existe.

Unha ilustración representando o límite superior e o límite inferior. A sucesión x_n está denotada nunha liña de puntos azul. As dúas curvas vermellas aproxímanse ao límite superior e límite inferior de x_n, que se amosan como liñas a trazos vermellas, continuas á dereita. O límite superior é o máis grande dos dous, e o límite inferior o máis pequeno. Os límites superior e inferior só coinciden cando a secuencia é converxente (i.e., cando o límite é común).

Definición formal

Formalmente o límite inferior dunha sucesión $(x_{n})$ defínese como

$\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\inf\{x_{k}:k\geq n\}:n\geq 0\}$

ou tamén como

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{k\geq n}x_{k}\right)$

e denótase como $\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ ou como $\varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}$. Analogamente defínese $\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{k\geq n}x_{k}\right)$.

Estas definicións son útiles nun conxunto parcialmente ordenado nun sentido cuantitativo, e proporcionan que o supremo e o ínfimo existan. Nunha rede reticular completa sempre existen estes valores, polo que nese caso, cada sucesión ten un límite inferior e límite superior asociado.

Se existe o límite inferior e o límite superior dunha sucesión $(x_{n})$, entón cúmprese que $\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}\;.$

Propiedades

Sexan $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,$ e $\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,$ sucesións de números reais, entón cúmprense as seguintes afirmacións:

• $\liminf _{n\to \infty }a_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}\,$
• $\liminf _{n\to \infty }-a_{n}=-\limsup _{n\to \infty }a_{n}\,$
• $\limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\limsup _{n\to \infty }b_{n}\,$
• $\liminf _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\liminf _{n\to \infty }b_{n}\,$

Límites superior e inferior dunha sucesión de conxuntos

Nalgunhas situacións, sobre todo na teoría da medida, é conveniente definir os conceptos de límite superior e inferior para unha secuencia de conxuntos.

Se $E_{n}\,$ é unha sucesión de conxuntos, entón defínese:

• O límite superior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a unha infinidade de conxuntos $E_{n}\,$.
• O límite inferior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a cada un dos $E_{n}\,$ excepto por un número finito deles.

Dito dun xeito formal:

• $\limsup _{n\to \infty }E_{n}={\overline {\lim _{n\to \infty }}}E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}\,$
• $\liminf _{n\to \infty }E_{n}={\underline {\lim _{n\to \infty }}}E_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{k=n}^{\infty }E_{k}\,$

Cúmprese sempre que $\liminf _{n\to \infty }E_{n}\subseteq \limsup _{n\to \infty }E_{n}\,$. Cando estes conxuntos coinciden, dicimos que o límite existe:

$\lim _{n\to \infty }E_{n}=\liminf _{n\to \infty }E_{n}=\limsup _{n\to \infty }E_{n}\,$

Véxase tamén

Ínfimo e supremo

Bibliografía

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-2 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---