Abrir o menú principal

Límite dunha sucesión

Sucesión 001.svg

O límite dunha sucesión é un dos conceptos máis antigos da análise matemática. Este concepto está estreitamente ligado ao de converxencia; unha sucesión de elementos dun conxunto é converxente se e só se no mesmo conxunto existe un elemento (que se coñece como límite) ao que a sucesión se aproxima tanto como se desexe a partir dun momento dado. Se unha sucesión ten límite, dise que é unha sucesión converxente, e que a sucesión converxe ou tende ao límite. En caso contrario, a sucesión é diverxente.

A definición significa que eventualmente todos os elementos da sucesión se aproximan tanto como queiramos ao valor límite. A condición que impón que os elementos se atopen arbitrariamente próximos aos elementos subseguintes non implica, en xeral, que a sucesión teña un límite.

A idea de proximidade dá lugar a distintas definicións de límite dependendo do conxunto onde se definiu a sucesión.

Límite dunha sucesión de números reaisEditar

Definición formalEditar

O termo xeral dunha sucesión   ten límite  , cando   tende a  , se para todo valor   por pequeno que sexa, existe un valor   a partir do cual se   temos que a distancia de   a   é menor que  , é dicir:

 .

NotaciónEditar

  ou  

ou tamén

 

ou simplemente

 

ExemplosEditar

  • A sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converxe ao límite 0.
  • A sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... é oscilante.
  • A sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converxe ao límite 1.
  • Se a é un número real con valor absoluto |a| < 1, entón a sucesión an posúe límite 0. se 0 < a ≤ 1, entón a sucesión a1/n posúe límite 1.
  •  
  •  
  •  

PropiedadeesEditar

  • Se unha sucesión   ten límite positivo, existe un termo a partir do cual todos os termos da sucesión son positivos.
  • Se unha sucesión   ten límite negativo, existe un termo a partir do cual os termos da sucesión son negativos.
  • Se unha sucesión   converxe a cero, non se pode asegurar nada acerca do signo de cada un dos termos da sucesión.
  • Se unha sucesión   tende a menos infinito e   entón   tende a 0.

Límite dunha sucesión complexaEditar

Dise que a sucesión converxe cara a un complexo   se e só se

 

É a mesma definición que para  , con módulo en lugar do valor absoluto.

Pódese escribir

  ou máis simplemente, se non hai ambigüidade  

As sucesións complexas converxentes posúen as mesmas propiedades que as sucesións reais, agás as de relación de orden: o límite é único, unha sucesión converxente ten módulo limitado, toda sucesión de Cauchy converxe (en efecto,   é tamén completo).

ExemplosEditar

  • Sucesións en   ou  
  • Sucesións en  
  • Sucesións no espazo  
  • Sucesións no espazo  
  • Sucesións no espazo das funcións continuas  

Tipos de converxenciaEditar

Converxencia puntualEditar

O concepto de converxencia puntual é un dos varios sentidos nos que unha sucesión de funcións pode converxer a unha función particular.

Unha sucesión de funcións   definidas nun conxunto non baleiro   con valores nun espazo métrico   converxe puntualmente a unha función   se

 

para cada   fixo. Isto significa que

(5)  

A sucesión de funcións   con   converxe puntualmente á función   posto que

 

para cada   fixo.

Converxencia uniformeEditar

Unha sucesión de funcións   definidas nun conxunto non baleiro   con valores nun espazo métrico   converxe uniformemente a unha función   se para todo   existe un enteiro   (que depende de  ) tal que

 

para todo   e todo  . É dicir,

(6)  

O concepto de converxencia uniforme é un concepto máis forte que o de converxencia puntual. En (5),   pode depender de   e de   mentres que en (6),   só pode depender de  . Así, toda sucesión que converxe uniformemente, converxe puntualmente. O enunciado recíproco é falso, e un contraexemplo clásico constitúeno as sucesión de funcións   definidas por  . Esta sucesión converxe puntualmente á función

 

xa que

 

mentres que   Non obstante esta sucesión non converxe uniformemente, pois para   non existe un   que satisfaga (6).

De especial interese é o espazo das funcións continuas   definidas sobre un compacto   Neste caso, unha sucesión de funcións   converxe uniformemente a unha función   se, e só se, converxe na norma do sup, é dicir,

 

Sucesións noutros espazos matemáticosEditar

Unha sucesión de elementos   dun espazo métrico   converxe a un elemento   se para todo número   existe un enteiro positivo   (que depende de  ) tal que

(1)  

Intuitivamente, isto significa que os elementos   da sucesión se poden facer arbitrariamente próximos a   se   é suficientemente grande, xa que   determina a distancia entre   e  . A partir da definición é posible demostrar que se unha sucesión converxe, o fai cara a un único límite.

A definición aplícase en particular aos espazos vectoriais normados e aos espazos con produto interno. No caso dun espazo normado   a norma   induce a métrica   para cada  ; no caso dun espazo con produto interno   o produto interno   induce a norma   para cada  

Converxencia uniforme sobre compactosEditar

Converxencia débilEditar

Unha sucesión dise que converxe debilmente a x ou en sentido débil se para toda función linear f, f(Xn) converxe a f(X).

Por exemplo a serie 1/n dende n=1 ata infinito converxe debilmente a cero porque: lim f(1/n) = lim n/n*f(1/n) = lim 1/n*f(n/n) = lim 1/n*f(1) = 0 por ser f linear.

Límite nun espazo topolóxicoEditar

Unha xeneralización desta relación, para unha sucesión de puntos   nun espazo topolóxico T:

Se   dise que L é un límite desta sucesión e escríbese
 
se e só se para todo veciñanza S de L existe un número natural N tal que   para todo  

De forma intuitiva, supoñendo que se ten unha sucesión de puntos (por exemplo un conxunto infinito de puntos numerados utilizando os números naturais) nalgún tipo de obxecto matemático (por exemplo os números reais ou un espazo vectorial) que admite o concepto de veciñanza (no sentido de "todos os puntos dentro dunha certa distancia dun dado punto fixo"). Un punto L é o límite da sucesión se para toda veciñanza que se defina, todos os puntos da sucesión (coa posible excepción dun número finito de puntos) están próximos a L. Isto pode ser interpretado como se houbese un conxunto de esferas de tamaños decrecentes ata cero, todas centradas en L, e para calquera destas esferas, só existise un número finito de números fóra dela.

Unha sucesión converxente posúe un único límite se T é un espazo de Hausdorff; por exemplo a recta real estendida, o plano complexo, os seus subconxuntos (, , ...) e produtos cartesianos (ℝn...).

Teoría da probabilidadeEditar

En teoría da probabilidade existen diferentes nocións de converxencia: converxencia de funcións medibles, converxencia en distribución e límites de variables aleatorias.

Véxase taménEditar