Valor absoluto

En matemáticas, o valor absoluto ou módulo dun número real $x$, denotado como $|x|$, é o valor non negativo de $x$ sen ter en conta o seu signo. É dicir, $|x|=x$ se $x$ é un número positivo e $|x|=-x$ se $x$ é negativo, e $|0|=0$. Por exemplo, o valor absoluto de 3 é 3, e o valor absoluto de -3 é tamén 3. O valor absoluto dun número pódese considerar como a súa distancia a cero.

A gráfica da función de valor absoluto para números reais

O valor absoluto dun número pódese considerar como a súa distancia a cero.

As xeneralizacións do valor absoluto dos números reais ocorren nunha gran variedade de escenarios matemáticos. Por exemplo, tamén se define un valor absoluto para os números complexos, os cuaternións, os aneis ordenados, os corpos e os espazos vectoriais. O valor absoluto está intimamente relacionado coas nocións de magnitude, distancia e norma en diversos contextos matemáticos e físicos.

Definición e propiedades

Números reais

Para calquera número real $x$, o valor absoluto ou módulo de $x$ denótase como $|x|$, cunha barra vertical a cada lado da cantidade, e defínese como

$|x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$

Desde o punto de vista da xeometría analítica, o valor absoluto dun número real é a distancia dese número desde cero ao longo da recta numérica real e, de xeito máis xeral, o valor absoluto da diferenza de dous números reais (a súa diferenza absoluta) é a distancia entre eles. A noción dunha función de distancia abstracta en matemáticas pódese ver como unha xeneralización do valor absoluto da diferenza (ver "Distancia" máis abaixo).

O valor absoluto ten as seguintes catro propiedades fundamentais: ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ son números reais), que se usan para xeneralizar esta noción a outros dominios:

$|a|\geq 0$	Non-negatividade
$|a|=0\iff a=0$	Definición positiva
$|ab|=\left|a\right|\left|b\right|$	Multiplicidade
$|a+b|\leq |a|+|b|$	Subaditividade, concretamente a desigualdade do triángulo

A continuación indícanse algunhas propiedades útiles adicionais. Estas son consecuencia inmediata da definición ou implicadas polas catro propiedades fundamentais anteriores.

${\bigl |}\left|a\right|{\bigr |}=|a|$	Idempotencia (o valor absoluto do valor absoluto é o valor absoluto)
$\left|-a\right|=|a|$	Uniformidade (simetría de reflexión do gráfico)
$|a-b|=0\iff a=b$	Identidade dos indiscerníbeis (equivalente a definibilidade positiva)
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	Desigualdade triangular (equivalente a subaditividade)
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\$ (se $b\neq 0$ )	Conservación da división (equivalente á multiplicidade)
$|a-b|\geq {\bigl |}\left|a\right|-\left|b\right|{\bigr |}$	Desigualdade do triángulo inverso (equivalente a subaditividade)

Outras dúas propiedades útiles sobre as desigualdades son:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b\$ ou $a\geq b$

Estas relacións pódense utilizar para resolver desigualdades que impliquen valores absolutos. Por exemplo:

$|x-3|\leq 9$	$\iff -9\leq x-3\leq 9$
	$\iff -6\leq x\leq 12$

Números complexos

O valor absoluto dun número complexo $z$ é a distancia $r$ de $z$ dende a orixe. Tamén se ve na imaxe que $z$ e o seu complexo conxugado ${\bar {z}}$ teñen o mesmo valor absoluto.

Xa que os números complexos non están ordeados, a definición dada na parte superior para o valor absoluto real non pode ser directamente aplicada a números complexos. Con todo, a interpretación xeométrica do valor absoluto dun número real como a súa distancia desde 0 pode ser xeneralizada. O valor absoluto dun número complexo é definido pola distancia euclidiana do seu punto correspondente no plano complexo desde a orixe. Isto pode ser computado utilizando o teorema de Pitágoras: para calquera número complexo $$z=x+iy,$$

onde x e y son números reais, o valor absoluto ou módulo de z denótase como $|z|$ e é definido por

$|z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

que é a adición pitagórica de $x$ e $y$, onde $\operatorname {Re} (z)=x$ e $\operatorname {Im} (z)=y$ denotan as partes real e imaxinaria de $z$, respectivamente.

Cando un número complexo $z$ exprésase na súa forma polar como $z=re^{i\theta },$ o seu valor absoluto é $|z|=r.$

Xa que o produto de calquera número complexo $z$ e o seu conxugado complexo ${\bar {z}}=x-iy$, co mesmo valor absoluto, é sempre un número real non negativo $\left(x^{2}+y^{2}\right)$, o valor absoluto dun número complexo $z$ é a raíz cadrada de $z\cdot {\overline {z}},$ que, polo tanto, se denomina cadrado absoluto ou módulo cadrado de $z$:

$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$

O valor absoluto complexo comparte as catro propiedades fundamentais indicadas anteriormente para o valor absoluto real. A identidade $|z|^{2}=|z^{2}|$ é un caso especial de multiplicidade que adoita ser útil por si só.

Función valor absoluto

A gráfica da función de valor absoluto para números reais

Composición do valor absoluto cunha función cúbica en diferentes ordes

A función de valor absoluto real é continua en todas partes. É diferenciábel en todas partes excepto para x = 0. É monótona decrecente no intervalo (−∞, 0] e monótona crecente no intervalo [ 0, +∞). Dado que un número real e o seu oposto teñen o mesmo valor absoluto, é unha función par e, polo tanto, non é invertíbel. A función de valor absoluto real é unha función linear e convexa por tramos.

Relación coa función signo

A función de valor absoluto dun número real devolve o seu valor independentemente do seu signo, mentres que a función signo devolve o signo dun número independentemente do seu valor. As seguintes ecuacións mostran a relación entre estas dúas funcións:

$|x|=x\operatorname {sgn}(x),\quad$ ou $\quad |x|\operatorname {sgn}(x)=x,$

e para x ≠ 0 ,

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.$

Relación coas funcións max e min

Deixe $s,t\in \mathbb {R}$, entón

$|t-s|=-2\min(s,t)+s+t$

e

$|t-s|=2\max(s,t)-s-t.$

Derivada

A función de valor absoluto real ten unha derivada para todo x ≠ 0, mais non é diferenciábel en x = 0. A súa derivada para x ≠ 0 vén dada pola función escalonada:

${\frac {d\left|x\right|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}$

A función de valor absoluto real é un exemplo de función continua que acada un mínimo global onde non existe a derivada.

Antiderivada

A antiderivada (integral indefinida) da función de valor absoluto real é

$\int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,$

onde C é unha constante arbitraria de integración. Esta non é unha antiderivada complexa porque as antiderivadas complexas só poden existir para funcións diferenciábeis complexas ( holomorfas), que non é a función de valor absoluto complexo.

Distancia

O valor absoluto está intimamente relacionado coa idea de distancia.

A distancia euclidiana estándar entre dous puntos

$a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ e $b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$

no n-espazo euclidiano defínese como:

${\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

As propiedades do valor absoluto da diferenza de dous números reais ou complexos: a non negatividade, a identidade dos indiscerníbeis, a simetría e a desigualdade do triángulo dada anteriormente, poden verse como motivación da noción máis xeral dunha función de distancia do seguinte xeito:

Unha función de valor real d nun conxunto X × X chámase métrica (ou función de distancia) en  X, se cumpre os catro axiomas seguintes:

$d(a,b)\geq 0$	Non negativo
$d(a,b)=0\iff a=b$	Identidade dos non discerníbeis
$d(a,b)=d(b,a)$	Simetría
$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$	Desigualdade do triángulo

Xeneralizacións

Aneis ordenados

A definición de valor absoluto dada para os números reais anterior pódese estender a calquera anel ordenado. É dicir, se a é un elemento dun anel ordenado R, entón o valor absoluto de a, denotado por |a|, defínese como:

$|a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.$

onde −a é a inversa aditiva de a, 0 é a identidade aditiva, e < e ≥ teñen o significado habitual con respecto á ordenación no anel.

Corpos

Artigo principal: Valor absoluto (álxebra).

Unha función con valor real v nun corpo F denomínase valor absoluto (tamén módulo, magnitude, valor ou valoración) se cumpre os seguintes catro axiomas:

$v(a)\geq 0$	Non negatividade
$v(a)=0\iff a=\mathbf {0}$	Positivo definido
$v(ab)=v(a)v(b)$	Multiplicidade
$v(a+b)\leq v(a)+v(b)$	Igualdade do triángulo

Onde 0 indica a identidade aditiva de F . Da definición positiva e da multiplicatividade despréndese que v(1) = 1, onde 1 denota a identidade multiplicativa de F . Os valores absolutos reais e complexos definidos anteriormente son exemplos de valores absolutos para un corpo arbitrario.

Se v é un valor absoluto on F, entón a función d en F × F, definido por d(a, b) = v(a − b), é unha métrica e as seguintes son equivalentes:

• d satisfai a desigualdade ultramétrica $d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))$ para todos os x, y, z en F.
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$ está limitado en R.
• $v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\$ para todo $n\in \mathbb {N}$.
• $v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\$ for all $a\in F$.
• $v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\$ para todo $a,b\in F$.

Un valor absoluto que satisfaga todas as condicións anteriores dise que é non arquímediano, se non, dise que é arquimediano.

Valor absoluto p-ádico

Artigo principal: valoración p-ádica.

Dada a valoración p-ádica dun enteiro $n$ definida como

$\nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}$

e a valoración dun racional como

$\nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).$

Temos que o valor absoluto p-ádico (ou norma p-ádica, aínda que non é unha norma no sentido de análise) sobre $\mathbb {Q}$ é a función

$|\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

definido por

$|r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.$

Así, $|0|_{p}=p^{-\infty }=0$ para todos os $p$ e por exemplo, $|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$ e ${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.$

O valor absoluto p-ádico satisfai as seguintes propiedades.

Non negatividade	$|r|_{p}\geq 0$
Definido positivo	$|r|_{p}=0\iff r=0$
Multiplicidade	$|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$
Non arquimediano	$|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$

Espazos vectoriais

Unha función con valores reais nun espazo vectorial V sobre un corpo F, representado como Modelo:Norm, chámase valor absoluto, pero máis habitualmente unha norma, se cumpre os seguintes axiomas:

$\|\mathbf {v} \|\geq 0$	Non negativo
$\|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0$	Positivo definido
$\|a\mathbf {v} \|=\left|a\right|\left\|\mathbf {v} \right\|$	Escalabilidade positiva
$\|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|$	Desigualdade triangular

Para todos os a en F, e v, u en V ,

A norma dun vector tamén se chama a súa lonxitude ou magnitude.

No caso do espazo euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$, a función definida por

$\|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$

é unha norma chamada norma euclidiana. Cando os números reais $\mathbb {R}$ considéranse como espazo vectorial unidimensional $\mathbb {R} ^{1}$, o valor absoluto é unha norma, e é a p -norma (ver espazo L <sup id="mwAn4">p</sup> ) para calquera p . De feito, o valor absoluto é a "única" norma $\mathbb {R} ^{1}$, no sentido de que, para cada norma $||\cdot ||$ en $\mathbb {R} ^{1}$, $||x||=||1||\cdot |x|$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1.
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2.
• O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; "Jean Robert Argand".
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp. 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8.

Outros artigos

• Mínimas desviacións absolutas.
• Número p-ádico

Ligazóns externas

• "Absolute value". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• absolute value at PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. "Absolute Value". MathWorld.