Valor absoluto

O valor absoluto (chamado tamén módulo) dun número complexo $z$ (representado como $|z|$) ven dado pola seguinte expresión:

Valor absoluto

$|z|={\sqrt {\mathrm {Re} (z)^{2}+\mathrm {Im} (z)^{2}}}$

Podemos notar que o valor absoluto dun número sempre tomará valores non-negativos, é dicir:

$\forall {z}{\in }\mathbb {C} \;|z|\geq 0$

A propiedade máis importante do valor absoluto é a seguinte:

$|z|=\left|-z\right|\Longleftrightarrow {\sqrt {\mathrm {Re} (z)^{2}+\mathrm {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {\mathrm {Re} (-z)^{2}+\mathrm {Im} (-z)^{2}}}$

De forma que:

$z=a+\mathrm {i} b\Longrightarrow |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$-z=-a-\mathrm {i} b\Longrightarrow \left|-z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Valor absoluto dos números reais

Un número real é un número complexo con parte imaxinaria igual a 0, de forma que:

$x\in \mathbb {R} \Longrightarrow |x|=\left|-x\right|={\sqrt {x^{2}+0^{2}}}={\sqrt {x^{2}}}$

Así, para os números reais, existe unha definición alternativa de valor absoluto:

$\forall {x}{\in }\mathbb {R} \;|x|=\left\{{\begin{matrix}x,&{\mbox{si }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{si }}x<0\end{matrix}}\right.$

O concepto de valor absoluto se pódese empregar para determinar a distancia entre dous puntos. Na física é moi usual falar do módulo ou norma para referirse á lonxitude dun vector.