O valor absoluto (chamado tamén módulo ) dun número complexo
z
{\displaystyle z}
|
z
|
{\displaystyle |z|}
Valor absoluto
|
z
|
=
R
e
(
z
)
2
+
I
m
(
z
)
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {\mathrm {Re} (z)^{2}+\mathrm {Im} (z)^{2}}}}
Podemos notar que o valor absoluto dun número sempre tomará valores non-negativos, é dicir:
∀
z
∈
C
|
z
|
≥
0
{\displaystyle \forall {z}{\in }\mathbb {C} \;|z|\geq 0}
A propiedade máis importante do valor absoluto é a seguinte:
|
z
|
=
|
−
z
|
⟺
R
e
(
z
)
2
+
I
m
(
z
)
2
=
R
e
(
−
z
)
2
+
I
m
(
−
z
)
2
{\displaystyle |z|=\left|-z\right|\Longleftrightarrow {\sqrt {\mathrm {Re} (z)^{2}+\mathrm {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {\mathrm {Re} (-z)^{2}+\mathrm {Im} (-z)^{2}}}}
De forma que:
z
=
a
+
i
b
⟹
|
z
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle z=a+\mathrm {i} b\Longrightarrow |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
−
z
=
−
a
−
i
b
⟹
|
−
z
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle -z=-a-\mathrm {i} b\Longrightarrow \left|-z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
Un número real é un número complexo con parte imaxinaria igual a 0, de forma que:
x
∈
R
⟹
|
x
|
=
|
−
x
|
=
x
2
+
0
2
=
x
2
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \Longrightarrow |x|=\left|-x\right|={\sqrt {x^{2}+0^{2}}}={\sqrt {x^{2}}}}
Así, para os números reais, existe unha definición alternativa de valor absoluto :
∀
x
∈
R
|
x
|
=
{
x
,
si
x
≥
0
−
x
,
si
x
<
0
{\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbb {R} \;|x|=\left\{{\begin{matrix}x,&{\mbox{si }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{si }}x<0\end{matrix}}\right.}
O concepto de valor absoluto se pódese empregar para determinar a distancia entre dous puntos. Na física é moi usual falar do módulo ou norma para referirse á lonxitude dun vector .
