Vector unitario

En álxebra linear e física, un vector unitario ou versor é un vector de módulo un. Pode chamarse tamén vector normalizado.

NotaciónEditar

Un vector unitario denótase frecuentemente cun acento circunflexo sobre o seu nome, como   (lese "r vector" ou "vector r"). A notación mediante o uso dunha breve ( ) tamén é común, especialmente en manuscritos. A tendencia actual é representar o vector na dirección do vector   na forma  .

DefiniciónEditar

Definido o concepto de vector unitario no inicio do artigo e tendo presentado as notacións habituais na sección anterior, neste apartado dáse unha definición simbólica de vector unitario.

Sexa o vector v ∈ ℝn. Dise que v é un vector unitario e indícase mediante   se e só se o módulo de v é igual a 1.

Ou en forma máis compacta:

 

Versor asociado a un vectorEditar

Con frecuencia resulta conveniente dispoñer dun vector unitario que teña a mesma dirección que un vector dado  . A tal vector denomínase versor asociado ao vector   e pódese representar ben sexa por   ou por   e indica unha dirección no espazo.

A operación que permite calcular   é a división do vector entre o seu módulo.

 

O proceso de obter un versor asociado a un vector denomínase normalización do vector, razón pola cal é común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

O método para transformar unha base ortogonal (obtida, por exemplo mediante o método de ortogonalización de Gram-Schmidt) nunha base ortonormal (é dicir, unha base na que todos os vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos os vectores da base utilizando a ecuación anterior.

Produto escalar de dous vectoresEditar

No espazo euclídeo, o produto escalar de dous vectores unitarios é simplemente o coseno do ángulo entre eles. Isto é consecuencia da definición do produto escalar e do feito de que o módulo de ambos vectores é a unidade:

 

Pero como:

 

Entón:

 

onde θ é o ángulo entre ambos vectores.

Proxección escalarEditar

Do anterior, resulta que o produto dun vector por un vector (ou vector unitario) é a proxección escalar do vector sobre a dirección determinada polo versor.

 

Como o módulo do vector   é a unidade, a ecuación anterior transfórmase en:

 

de onde é evidente o afirmado ao comezo deste apartado.

Este resultado é moi frecuente en física, onde é necesario operar, por exemplo, coas compoñentes ortogonais a unha superficie.

Vectores cartesianosEditar

Os versores asociados coas direccións dos eixes coordenados cartesianos   desígnanse por  , respectivamente.

Os versores cartesianos permiten expresar analiticamente os vectores por medio das súas compoñentes cartesianas.

Exemplo: a expresión analítica do vector   é