Abrir o menú principal

Hipérbole (xeometría)

tipo de curva
As asíntotas da hipérbole son as liñas descontinuas azuis que se cortan no centro da hipérbole (curvas rubias), C. Os dous puntos focais denomínanse F1 e F2, e a liña negra que os une é o eixe transversal. A liña fina perpendicular en negro que pasa polo centro é o eixe conxugado, mentres que as dúas liñas grosas en negro paralelas ao eixe conxugado (ou perpendiculares ao eixe transversal) son as dúas directrices, D1 e D2. A excentricidade e (e>1), é igual ao cociente entre as distancias (en verde) desde un punto P da hipérbole até un dos focos e a súa correspondente directriz. Os dous vértices atópanse no eixe transversal a unha distancia ±a con respecto ao centro.

Unha hipérbole (do grego ὑπερβολή) é unha sección cónica, unha curva aberta de dúas pólas obtida de cortar un cono recto por un plano oblicuo ao eixe de simetría cun ángulo menor que o da xeratriz respecto do eixe de revolución.[1]

Unha hipérbole é o lugar xeométrico dos puntos dun plano tales que o valor absoluto da diferenza das súas distancias a dous puntos fixos, chamados focos, é igual á distancia entre os vértices, que é unha constante positiva.

EtimoloxíaEditar

 
Seccións cónicas.

Hipérbole deriva da verba grega ὑπερβολή (exceso), e é cognado de hipérbole (a figura literaria que equivale a esaxeración).

HistoriaEditar

 
Debido á inclinación do corte, o plano da hipérbole interseca ambas ramas do cono.

Segundo a tradición, as seccións cónicas foron descritas por primeira vez por Menecmo, no seu estudo do problema da duplicación do cubo,[2] onde demostra a existencia dunha solución mediante o corte dunha parábola cunha hipérbole, o cal é confirmado posteriormente por Proclo e Eratóstenes.[3]

Mais o primeiro en usar o termo de hipérbole foi Apolonio de Perge no seu tratado Cónicas,[4] considerada a obra maior sobre o tema das matemáticas gregas, e onde se desenvolve o estudo das tanxentes das seccións cónicas.

Ecuacións da hipérboleEditar

Ecuacións en coordenadas cartesianas:

Ecuación dunha hipérbole con centro na orixe de coordenadas   (forma canónica).   é o semieixo maior (metade da distancia entre as dúas pólas), e   é o semieixo menor.

 

Ecuación dunha hipérbole con centro en  

 
Ecuación da hipérbole na súa forma complexa:

Unha hipérbole no plano complexo é o lugar xeométrico formado por un conxunto de puntos   (complexos), no plano  ; tales que, calquera deles satisfai a condición xeométrica de que o valor absoluto da diferenza das súas distancias  , a dous puntos fixos chamados focos  e  , é unha constante positiva igual ao dobre da distancia (é dicir,   ) que existe entre o seu centro e calquera dos seus vértices do eixe focal.

A ecuación queda:  

Ecuacións en coordenadas polares:
 
Dúas hipérboles e as súas asíntotas.

Hipérbole aberta de dereita a esquerda:  

 

Hipérbole aberta de arriba a abaixo:

 

Hipérbole aberta de nordeste a suroeste:  

 

Hipérbole aberta de noroeste a sueste:

 
Ecuacións paramétricas:

Hipérbole aberta de dereita a esquerda:

 

Hipérbole aberta de arriba a abaixo:

 

En todas as formulas (h,k) son as coordenadas do centro da hipérbole, a é a lonxitude do semieixe maior, b é a lonxitude do semieixe menor.

NotasEditar

  1. Se o ángulo de plano intersección, respecto do eixe de revolución, é maior que o comprendido entre a xeratriz e o eixe de revolución, a intersección será unha elipse, será unha parábola se é paralelo ao dito eixe, e unha circunferencia se é perpendicular ao eixe.
  2. Heath, Sir Thomas (1921). Oxford University Press, ed. A history of Greek Mathematics vol. 1 (en inglés). Londres, Inglaterra. OCLC 2014918. 
  3. Schmarge, Ken. "Conic Sections in Ancient Greece" (en inglés). Consultado o 10 de outubro de 2011. 
  4. J. J. O'Connor e E. F. Robertson. "Apollonius of Perga" (en inglés). Consultado o 10-X-2011. 

Véxase taménEditar