Abrir o menú principal

Elipse (xeometría)

Intersección dunha superficie cónica cun plano.

Unha elipse é o lugar xeométrico dos puntos do plano tales que a suma das distancias a dous puntos fixos chamados focos é unha constante positiva e igual á distancia entre os vértices.

Unha elipse é a curva cerrada que resulta de cortar a superficie dun cono por un plano oblicuo ao seu eixo de simetría –cun ángulo maior que o da xeratriz respecto do eixo de revolución.[1] Unha elipse que xira arredor do seu eixo menor xera un esferoide achatado, mentres que unha elipse que xira arredor do seu eixo principal xera un esferoide alargado.

ElipseAnimada.gif

HistoriaEditar

A elipse, como curva xeométrica, foi estudada por Menaechmus, investigada por Euclides, e o seu nome atribúeselle a Apolonio de Perge. O foco e a directriz da sección cónica dunha elipse foron estudadas por Pappus. En 1602, Johannes Kepler cría que a órbita de Marte era ovalada, pero máis tarde descubriu que se trataba dunha elipse, co Sol como foco. De feito, Kepler foi quen introduciu a verba «focus» e publicou o seu descubrimento en 1609. Edmond Halley, en 1705, demostrou que o cometa que agora leva o seu nome trazaba unha órbita elíptica arredor do Sol.[2]

Elementos dunha elipseEditar

 
Elementos de una elipse.

A elipse posúe un «eixo maior», trazo AB (que equivale a  ), e un «eixo menor», trazo CD; a metade de cada un deses eixos recibe o nome de «semieixo» («semieixo maior» e «semieixo menor»).

Sobre o eixe maior existen dous puntos   y   que se lles chaman «focos».

O punto   pode estar localizado en calquera lugar do perímetro da elipse.

Puntos dunha elipseEditar

Se   e   son dous puntos do plano e d é unha constante maior que a distancia  , un punto Q pertencerá á elipse, se:

 

onde   é o semieixo maior da elipse.

Excentricidade dunha elipseEditar

A excentricidade dunha elipse é a razón entre a súa semidistancia focal (segmento   ou  ), denominada pola letra 'c', e o seu semieixo maior. O seu valor atópase entre cero e un.

  , con (0 < e < 1)

Dado que   , tamén vale a relación:

 

A excentricidade indica a forma duna elipse; unha elipse será máis redondeada canto máis se aproxime a súa excentricidade ao valor cero.[3]

Constante da elipseEditar

Unha elipse, por definición, a suma da lonxitude de ambos segmentos (azul + vermello) é unha cantidade constante, a cal sempre é igual á lonxitude do eixo maior.

Na elipse da dereita, a constante é 10. Equivale á lonxitude medida dende o foco   ao punto   (localizado en calquera lugar da elipse) sumada á lonxitude dende o foco   até ese mesmo punto  . (O segmento de cor azul sumado ao de cor vermella).

O segmento correspondente, tanto trazo   (color azul), como ao   (cor vermella), chámase «radio vector». Os dous «focos» equidistan do centro  . Na animación, o punto   percorre a elipse, e nel converxen ambos segmentos (azul e vermello).

NotasEditar

  1. Se o ángulo de plano intersección, respecto do eixo de revolución, é menor que o comprendido entre a xeratriz e o eixo de revolución, a intersección será unha hipérbole. Sería unha parábola se fose paralelo ao eixo, e unha circunferencia se é perpendicular ao dito eixo.
  2. Mathworld: Ellipse.
  3. Exemplos de excentricidade dunha elipse, en geometriadinamica.es Arquivado 06 de setembro de 2009 en Wayback Machine.(en castelán)

Véxase taménEditar