Abrir o menú principal

Teorema da función inversa

Na rama da matemática denominada análise matemática, o teorema da función inversa proporciona as condiciones suficientes para que unha aplicación sexa invertíbel localmente no contorno dun punto p en termos da súa derivada no punto. O teorema pódese enunciar para aplicacións en Rn ou xeneralizar a variedades diferenciábeis ou espazos de Banach.

O teorema estabelece que se o campo vectorial está definido entre dous conxuntos da mesma dimensión topolóxica, o campo ten as súas primeiras derivadas continuas e a xacobina nun punto do dominio é invertíbel, entón o campo tamén é invertible localmente. Máis aínda, o xacobino da inversa no punto imaxe é igual á inversa do xacobino no punto.

EnunciadoEditar

A versión en   do teorema é a seguinte:

Sexa   unha función C1. Supoñendo que para  , a diferencial   é invertible e que  , entón existen abertos   de modo que  ,   e   é unha función bixectiva, polo que a inversa   de   é C1 e polo tanto  .

ExemploEditar

Considerando a función F de R2 en R2 definida por

 

O seu xacobino é

 

e o seu determinante

 

Coma o determinante e2x é non nulo en todo punto, aplicando o teorema, para cada punto p de R2, existe unha contorna de p na que F é invertible.

Variedades diferenzablesEditar

Neste contexto, o teorema afirma que dada unha aplicación F : MN entre dúas variedades diferenzables, se aa diferencial de F,

(dF)p : TpM → TF(p)N

é un isomorfismo lineal (é dicir, isomorfismo entre espazos vectoriais) nun punto p de M, entón existe unha contorna aberta U de p tal que

F|U : UF(U)

é un difeomorfismo.

Expresado doutra maneira, se a diferencial de F é un isomorfismo en tódolos puntos p de M, entón a aplicación F é undifeomorfismo local.

Inversa globalEditar

O teorema da función inversa só garante localmente a existencia dunha función inversa. Os requerimentos para a existencia dunha inversa global son algo máis complexos e non están garantidos polo cumprimento das condicións do teorema da función inversa.

Dada unha función diferenciable:


 

Pode demostrarse que existe unha constante   se cumpre:


 

De maneira que a función f admite inversa global, onde uf é o vector de desprazamento asociado á función definido como a resta vectorial entre a imaxe dun punto e a súa posición inicial:


 

Pode demostrarse que   se o dominio   é convexo, mentres que un dominio non convexo require  .

Véxase taménEditar