Relación de equivalencia

En teoría de conxuntos e álxebra a noción de relación de equivalencia sobre un conxunto, permite establecer unha relación entre os elementos do conxunto que comparten certa característica ou propiedade. Isto permite agrupar devanditos elementos en clases de equivalencia, é dicir, «paquetes» de elementos similares. Isto posibilita a construción de novos conxuntos engadindo todos os elementos dunha mesma clase como un só elemento que os representará e que define a noción de conxunto cociente.

Relacións binarias transitivas
Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica Relación de equivalencia  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Preorde (Cuasiorde)  Non  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Orde parcial  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Preorde total  Non  Non  Si  Non  Non  Non  Si  Non  Non Orde total  Non  Si  Si  Non  Non  Non  Si  Non  Non Pre-Ben ordenada  Non  Non  Si  Si  Non  Non  Si  Non  Non Cuasi-Ben ordenada  Non  Non  Non  Si  Non  Non  Si  Non  Non Ben ordenada  Non  Si  Si  Si  Non  Non  Si  Non  Non Retícula  Non  Si  Non  Non  Si  Si  Si  Non  Non Semiretícula superior (join)  Non  Si  Non  Non  Si  Non  Si  Non  Non Semiretícula inferior (meet)  Non  Si  Non  Non  Non  Si  Si  Non  Non Orde estrita parcial  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Si Orde estrita feble  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Si Orde estrita total  Non  Si  Si  Non  Non  Non  Non  Si  Si Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica Definicións, para todo $a,b$ e $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ e }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ ou }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{existe}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{existe}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{existe}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{non }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{non }}bRa\end{aligned}}$
Si indica que a columna da propiedade é sempre verdadeira no termo da fila (na esquerda de todo), mentres que  Non indica que a propiedade non está garantida en xeral (pode cumprirse ou non). Por exemplo, toda relación de equivalencia é simétrica, mais non necesariamente antisimétrica, está indicada por  Si na columna "Simétrica" e  Non na columna "Antisimétrica". Todas as definicións requiren tacitamente que a relación homoxénea $R$ sexa transitiva: para todo $a,b,c,$ se $aRb$ e $bRc$ entón $aRc.$ Algunha definición dalgún termo pode requerir propiedades adicionais non recollidas na táboa.

Neste conxunto de 8 libros, a relación « … ten o mesmo ISBN que … » é unha relación de equivalencia.

Definición

Sexa $K$ un conxunto dado non baleiro e ${\mathcal {R}}$ unha relación binaria definida sobre $K$. Dise que ${\mathcal {R}}$ é unha relación de equivalencia se cumpre as seguintes propiedades:

• Reflexividade: Todo elemento de $K$ está relacionado consigo mesmo. É dicir,

$\forall x\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}x$.

• Simetría: Se un elemento de $K$ está relacionado con outro, entón esoutro elemento tamén se relaciona co primeiro. É dicir,

$\forall x,y\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\;\Rightarrow \;y{\mathcal {R}}x$.

• Transitividade: Se un elemento de $K$ está relacionado con outro, e esoutro á súa vez relaciónase cun terceiro, entón o primeiro estará relacionado tamén con este último. É dicir,

$\forall x,y,z\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\quad \Rightarrow \quad x{\mathcal {R}}z$.

Notación:

En aritmética modular a relación de equivalencia entre dous elementos x e y denótase x ≡ y (mod R) que se le "x é equivalente a y módulo R".

Unha relación de equivalencia $\sim$ sobre un corpo $K$ pode denotarse co par $(K,\sim )\,$.

Clase de equivalencia ou Relación de equivalencia

En lóxica de clases e análise matemática, a relación de equivalencia ${\mathcal {R}}$ define subconxuntos disxuntos en $K$ chamados clases de equivalencia:

Dado un elemento $a\in K$, o conxunto dado por todos os elementos relacionados con $a$ definen a clase

$[a]=\{b\in K\,|\,b{\mathcal {R}}a\}$,

que se chama a clase de equivalencia asociada ao elemento $a$.

O elemento $a$ chámase representante da clase.

Chámase orde ao número de clases que xera unha relación de equivalencia; se é finito, dise que a relación é de orde finito.

O concepto de clase de equivalencia ten importancia en ciencia; dado un conxunto de obxectos ou entidades abstractas (potencialmente infinitas), poden establecerse relacións de equivalencia sobre a base dalgún criterio, as clases resultantes son os "tipos" nos que se pode clasificar toda a gama de obxectos.

Conxunto cociente

Ao conxunto de todas as clases de equivalencia denomínase conxunto cociente e adóitase denotalo como

$K/{\mathcal {R}}$ ou $K/\sim$

Partición

Unha relación de equivalencia sobre un conxunto induce unha partición do mesmo, é dicir, un conxunto no que se definiu unha relación de equivalencia pode ser dividido en varios subconxuntos de elementos equivalentes entre si e tales que a reunión deses subconxuntos coincide co conxunto enteiro. O seguinte teorema expresa en termos máis formais esa mesma idea:

Proposición: Unha relación de equivalencia no conxunto non baleiro K determina unha partición deste, e toda partición de K determina unha relación de equivalencia neste.

A partición ten como elementos as clases de equivalencia. Estas son disxuntas dúas a dúas e a unión delas é igual ao conxunto $K$.

• para calquera par $a_{i},a_{j}$ non relacionados tense: $[a_{i}]\cap [a_{j}]=\emptyset$;
• a unión de todos integra o total: $\bigcup _{s}[a_{s}]=K$

Exemplos

• Sexa N= {0,1,2, 3...}. Defínese unha relación de equivalencia en N×N, como segue: $(a;b)\sim (c;d)$ se e só se $a+d=b+c$. Esta é unha relación de equivalencia en N×N e cada clase de equivalencia é un número enteiro. $[(2;0)]={(x;y)/2+y=0+x}$ a $(2;0)$ chámase representante canónico e denótase, simplificadamente, 2.
• A igualdade matemática.
• A relación de congruencia módulo M no conxunto dos números enteiros (i.e. $M\in \mathbb {Z}$), onde se define: $a\sim b$ se e só se $a-b\,$ é múltiplo de M.

Esta relación é de equivalencia porque:

• É reflexiva: $a-a=0$, que é múltiplo de M.
• É simétrica: se $a-b$ é múltiplo de M, entón $b-a=-(a-b)$ tamén é múltiplo de M.
• É transitiva: sexan $k$ e $l$ números enteiros tales que $a-b=Mk$ e $b-c=Ml$. Entón, $a-c=(a-b)+(b-c)=Mk+Ml=M(k+l)$ e polo tanto un múltiplo de M.

• Sexa H un subgrupo dun grupo de G. Definindo para elementos do grupo $a\sim b$ se e só se $ab^{-1}\in H$, teremos a relación de equivalencia camada congruencia módulo H.
• Definindo, para elementos do grupo, $a\sim b$ se e só se existe g en G tal que $gag^{-1}=b$, chámase relación de conxugación e as súas clases de equivalencia reciben o nome de clase de conxugación.

Véxase tamén

Bibliografía

• James R.Munkres, Topología, (2002), Prentice Hall.

Outros artigos

• Teoría da orde
• Topoloxía cociente
• Espazo vectorial cociente
• Equivalencia lóxica

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. Relación de equivalencia.