Relación simétrica

tipo de relación binaria

Unha relación simétrica é un tipo de relación binaria. Formalmente, unha relación binaria R sobre un conxunto X é simétrica se: [1]

aquí a notación aRb significa que (a, b) ∈ R .

Relacións binarias transitivas
Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica
Relación de equivalencia Si Si Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Preorde (Cuasiorde) Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Orde parcial Non Non Si Si Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Preorde total Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Orde total Non Non Si Si Si Si Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Pre-Ben ordenada Non Non Non Non Si Si Si Si Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Cuasi-Ben ordenada Non Non Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Ben ordenada Non Non Si Si Si Si Si Si Non Non Non Non Si Si Non Non Non Non
Retícula Non Non Si Si Non Non Non Non Si Si Si Si Si Si Non Non Non Non
Semiretícula superior (join) Non Non Si Si Non Non Non Non Si Si Non Non Si Si Non Non Non Non
Semiretícula inferior (meet) Non Non Si Si Non Non Non Non Non Non Si Si Si Si Non Non Non Non
Orde estrita parcial Non Non Si Si Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Si Si
Orde estrita feble Non Non Si Si Non Non Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Si Si
Orde estrita total Non Non Si Si Si Si Non Non Non Non Non Non Non Non Si Si Si Si
Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica
Definicións, para todo e
Si Si indica que a columna da propiedade é sempre verdadeira no termo da fila (na esquerda de todo), mentres que Non Non indica que a propiedade non está garantida en xeral (pode cumprirse ou non). Por exemplo, toda relación de equivalencia é simétrica, mais non necesariamente antisimétrica, está indicada por Si Si na columna "Simétrica" e Non Non na columna "Antisimétrica".

Todas as definicións requiren tacitamente que a relación homoxénea sexa transitiva: para todo se e entón
Algunha definición dalgún termo pode requerir propiedades adicionais non recollidas na táboa.

A simetría, xunto coas relacións de reflexividade e a de transitividade, son as tres propiedades que definen unha relación de equivalencia.[1]

Exemplos

editar

En matemáticas

editar
  • "é igual a" (igualdade) (mentres que "é menor que" non é simétrica)
  • "é comparable a", para elementos dun conxunto parcialmente ordenado
  • "x e y son impares":

Fóra das matemáticas

editar
  • "está casado con"
  • "é un irmán totalmente biolóxico de"
  • "é un compañeiro de traballo"

Asimétrica

editar

Asimétrica. Cando unha relación é o oposto a unha simétrica, é dicir, cando se dá que se un elemento está relacionado con outro mediante R, entón ese outro non está relacionado co primeiro, entón se di que é asimétrica, o que denotamos formalmente por:

 

Neste caso, dise que R cumpre coa propiedade de asimetría.

Antisimétrica

editar
 
Relacións simétricas e antisimétricas

Antisimétrica. Unha relación binaria   sobre un conxunto   é antisimétrica cando se dá que se dous elementos de   relaciónanse entre si mediante  , entón estes elementos son iguais.

É dicir,

 

Nese caso, dise que   cumpre coa propiedade de antisimetría.

Exemplos matemáticos
Simétrica Non simétrica
Antisimétrica Igualdade. 1.Divide. 2.Menor ou igual a.
Non antisimétrica Congruencia en aritmética modular. 1.División enteira.

2.A maioría das permutacións non triviais.

  1. 1,0 1,1 Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. Oxford University Press. p. 57. ISBN 978-0-19-871369-2. 

Véxase tamén

editar

Outros artigos

editar