Anel conmutativo

En teoría de aneis (unha rama da álxebra abstracta), un anel conmutativo é un anel (R, +, ·) no que a operación de multiplicación · é conmutativa; é dicir, se para calquera a, b ∈ R, a·b = b·a.

A rama da teoría de aneis que estuda os aneis conmutativos denomínase álxebra conmutativa.

Os aneis conmutativos aparecen na seguinte cadea de inclusión de clases:

rngs ⊃ aneis ⊃ aneis conmutativos ⊃ dominios de integridade ⊃ dominios de integridade pechados ⊃ dominios GCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios de ideais principais ⊃ dominios euclidianos ⊃ corpos ⊃ corpos alxebricamente pechados

Exemplos

• O exemplo máis importante é talvez o dos números enteiros coas operacións usuais de suma e multiplicación, ambas conmutativas. Este anel usualmente denótase por ℤ, pola palabra alemá Zahlen (números).
• Os números racionais, reais, e complexos forman aneis conmutativos coas operacións usuais; máis aínda, son corpos.
• Todo corpo é un anel conmutativo por definición.
• Se n>0 é un enteiro, o conxunto ℤ_n de enteiros módulo n forma un anel conmutativo con n elementos.
• Se R é un anel conmutativo, o conxunto de polinomios de variable X con coeficientes en R forma un novo anel conmutativo, denotado por R[X].
• O conxunto de números racionais de denominador impar forma un anel conmutativo, estritamente contido no anel ℚ dos racionais, e que contén propiamente ao ℤ dos enteiros.

Aneis non conmutativos

• Un exemplo de anel non conmutativo é o conxunto de matrices cadradas de 2×2 con valores reais. Como segunda operación, a multiplicación matricial

${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}$

dá un resultado distinto que se se inverte a orde dos factores:

${\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.$

• Outro anel non conmutativo é o conxunto das funcións continuas reais definidas no intervalo pechado [0,1] coa adición de funcións como primeira operación; e como segunda operación, a composición de funcións; cúmprese a asociatividade, a distributividade e a existencia da unidade multiplicativa I/ I(x) = x.

Propiedades

• Se f : R → S é un homomorfismo de aneis entre R e S, S é conmutativo, e f é inxectiva (isto é, un monomorfismo), R tamén debe ser conmutativo, pois f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).
• Se f : R → S é un homomorfismo de aneis entre R e S, con R é conmutativo, a imaxe f(R) de R será tamén conmutativa; en particular, se f é sobrexectiva (isto é, un epimorfismo), S será conmutativo tamén.

Divisibilidade

A diferenza dos corpos, onde todo elemento distinto de cero é multiplicativamente invertíbel, o concepto de divisibilidade para aneis é máis rico. Un elemento $a$ do anel $R$ chámase unidade se posúe un inverso multiplicativo.

Outro tipo particular de elemento é o divisor de cero, é dicir, un elemento $a$ tal que existe un elemento distinto de cero $b$ do anel tal que $ab=0$. Se $R$ non posúe divisores de cero distintos de cero, chámase dominio de integridade (ou dominio). Un elemento $a$ que satisfaga $a^{n}=0$ para algún enteiro positivo $n$ chámase nilpotente.

Localizacións

Artigo principal: Localización dun anel.

A «localización» dun anel é un proceso no que algúns elementos se fan invertíbeis, é dicir, engádense inversos multiplicativos ao anel.

Concretamente, se $S$ é un subconxunto multiplicativamente pechado de $R$ (é dicir, sempre que $s,t\in S$ entón tamén $st\in S$), logo a «localización» de $R$ en $S$, ou «anel de fraccións» con denominadores en $S$, normalmente denotado como $S^{-1}R$, consiste en símbolos

${\frac {r}{s}}$ con $r\in R,s\in S$

suxeitos a certas regras que imitan a cancelación habitual dos números racionais.

De feito, nesta linguaxe $\mathbb {Q}$ é a localización de $\mathbb {Z}$ en todos os enteiros distintos de cero. Esta construción funciona para calquera dominio de integridade $R$ en lugar de $\mathbb {Z}$. A localización $\left(R\setminus \left\{0\right\}\right)^{-1}R$ é un corpo, chamado corpo cociente de $R$.

Ideais e módulos

Moitas das seguintes nocións tamén existen para aneis non necesariamente conmutativos, mais as definicións e propiedades adoitan ser máis complicadas. Por exemplo, todos os ideais dun anel conmutativo son automaticamente bilaterais, o que simplifica considerabelmente a situación.

Módulos

Artigo principal: Módulo (álxebra).

Para un anel $R$, un $R$-módulo $M$ é como o que un espazo vectorial é para un corpo. É dicir, os elementos dun módulo pódense sumar; pódense multiplicar por elementos de $R$ suxeitos aos mesmos axiomas que para un espazo vectorial.

O estudo dos módulos é significativamente máis complexo que o dos espazos vectoriais, xa que hai módulos que non teñen ningunha base, é dicir, non conteñen un conxunto xerador cuxos elementos sexan linearmente independentes. Un módulo que ten unha base chámase módulo libre, e un submódulo dun módulo libre pode non ser libre.

Un módulo finitamente xerado é un módulo que ten un conxunto xerador finito. Os módulos de tipo finito desempeñan un papel fundamental na teoría dos aneis conmutativos, similar ao papel dos espazos vectoriais de dimensión finita na álxebra linear. En particular, os aneis noetherianos (véxase tamén § aneis noetherianos, a continuación) pódense definir como os aneis tal que cada submódulo dun módulo de tipo finito tamén é de tipo finito.

Ideais

Artigos principais: Ideal (teoría dos aneis) e Anel de factorización.

Os ideais dun anel $R$ son os submódulos de $R$, é dicir, os módulos contidos en $R$. Con máis detalle, un ideal $I$ é un subconxunto non baleiro de $R$ tal que para todo $r$ en $R$, $i$ e $j$ en $I$, tanto $ri$ como $i+j$ están en $I$. Para diversas aplicacións, comprender os ideais dun anel é de particular importancia, pero a miúdo procédese estudando os módulos en xeral.

Calquera anel ten dous ideais, concretamente o ideal cero $\left\{0\right\}$ e $R$, o anel completo. Estes dous ideais son os únicos precisamente se $R$ é un corpo. Dado calquera subconxunto $F=\left\{f_{j}\right\}_{j\in J}$ de $R$ (onde $J$ é algún conxunto de índices), o ideal "xerado por" $F$ é o ideal máis pequeno que contén $F$. De xeito equivalente, vén dado por unha combinación linear finita

$r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\dots +r_{n}f_{n}.$

Dominios de ideais principais

Se $F$ consiste nun só elemento $r$, o ideal xerado por $F$ consiste nos múltiplos de $r$, é dicir, os elementos da forma $rs$ para elementos arbitrarios $s$. Tal ideal chámase ideal principal. Se todo ideal é un ideal principal, $R$ chámase anel de ideal principal; dous casos importantes son $\mathbb {Z}$ e $k\left[X\right]$, o anel polinómico sobre un corpo $k$. Estes dous son ademais dominios, polo que se denominan dominio de ideais principais.

A diferenza dos aneis xenéricos, para un dominio de ideais principais, as propiedades dos elementos individuais están fortemente ligadas ás propiedades do anel no seu conxunto. Por exemplo, calquera dominio de ideais principais $R$ é un dominio de factorización única (UFD), o que significa que calquera elemento é un produto de elementos irredutíbeis, dun xeito (ata a reordenación dos factores) único. Aquí, un elemento $a$ nun dominio chámase irredutíbel se a única forma de expresalo como produto

$a=bc,$

é sendo $b$ ou $c$ unha unidade.

Un exemplo, importante na Teoría de corpos, son os polinomios irredutíbeis, é dicir, elementos irredutíbeis en $k\left[X\right]$, para un corpo $k$. O feito de que $\mathbb {Z}$ sexa un UFD pódese enunciar de forma máis elemental dicindo que calquera número natural pódese descompoñer unicamente como produto de potencias de números primos. Tamén se coñece como o teorema fundamental da aritmética.

Un elemento $a$ é un elemento primo se sempre que $a$ divide un produto $bc$, $a$ divide $b$ ou $c$. Nun dominio, ser primo implica ser irredutíbel. O contrario é certo nun dominio de factorización única, mais falso en xeral.

Anel factor

A definición de ideais é tal que "dividindo" $I$ "como factor común" dá outro anel, o anel cociente ou anel de factorización $R/I$: é o conxunto de cosets de $I$ xunto coas operacións

$\left(a+I\right)+\left(b+I\right)=\left(a+b\right)+I$ e $\left(a+I\right)\left(b+I\right)=ab+I$.

Por exemplo, o anel $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ (tamén denotado como $\mathbb {Z} _{n}$), onde $n$ é un número enteiro, é o anel de enteiros módulo $n$. É a base da aritmética modular.

Un ideal é "propio" se é estritamente menor que o anel enteiro. Un ideal que non está estritamente contido en ningún ideal propio chámase maximal. Un ideal $m$ é máximal se e só se $R/m$ é un corpo. Agás o anel cero, calquera anel (con identidade) posúe polo menos un ideal máximal; isto dedúcese do lema de Zorn.

Aneis noetherianos

Artigo principal: Anel noetheriano.

Un anel chámase noetheriano (en homenaxe a Emmy Noether, que desenvolveu este concepto) se toda cadea ascendente de ideais

$0\subseteq I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \dots \subseteq I_{n}\subseteq I_{n+1}\dots$

se torna estacionario, é dicir, tórnase constante máis alá dalgún índice $n$. De xeito equivalente, calquera ideal xérase mediante un número finito de elementos ou xéranse finitamente submódulos de módulos xerados finitamente.

Ser noetheriano é unha condición de finitude moi importante, e a condición consérvase baixo moitas operacións que ocorren con frecuencia en xeometría. Por exemplo, se $R$ é noetheriano, entón tamén o é o anel polinómico $R\left[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right]$ (segundo o teorema da base de Hilbert), calquera localización $S^{-1}R$ e tamén calquera anel cociente $R/I$.

Calquera anel non noetheriano $R$ é a unión dos seus subaneis noetherianos. Este feito, coñecido como aproximación noetheriana, permite a extensión de certos teoremas a aneis non noetherianos.

Aneis artinianos

Un anel chámase artiniano (por Emil Artin) se toda cadea descendente de ideais

$R\supseteq I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq \dots \supseteq I_{n}\supseteq I_{n+1}\dots$

se torna estacionaria eventualmente. Malia que as dúas condicións parecen simétricas, os aneis noetherianos son moito máis xerais que os aneis artinianos. Por exemplo, $\mathbb {Z}$ é noetheriano, xa que cada ideal pode ser xerado por un elemento, mais non é artiniano, como demostra a cadea

$\mathbb {Z} \supsetneq 2\mathbb {Z} \supsetneq 4\mathbb {Z} \supsetneq 8\mathbb {Z} \dots$

De feito, segundo o teorema de Hopkins-Levitzki, todo anel artiniano é noetheriano. Máis precisamente, os aneis artinianos poden caracterizarse como os aneis noetherianos cuxa dimensión de Krull é cero.

Espectro dun anel conmutativo

Ideais primos

Artigo principal: Ideal primo.

Como se mencionou anteriormente, $\mathbb {Z}$ é un dominio de factorización única. Isto non é certo para aneis máis xenéricos, como se decataron os alxebristas no século XIX. Por exemplo, en

$\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$

hai dúas formas xenuinamente distintas de escribir 6 como produto:

$6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).$

Os ideais primos, a diferenza dos elementos primos, proporcionan unha forma de evitar este problema. Un ideal primo é un ideal propio $p$ (é dicir, estritamente contido en $R$) tal que, sempre que o produto $ab$ de dous elementos do anel $a$ e $b$ estea en $p,$ polo menos un dos dous elementos xa estaba en $p$. (A conclusión oposta aplícase para calquera ideal, por definición).

Polo tanto, se un ideal primo é principal, xérase equivalentemente por un elemento primo. No entanto, en aneis como $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right],$ os ideais primos non teñen por que ser principais. Isto limita o uso de elementos primos na teoría dos aneis. Unha pedra angular da teoría alxébrica dos números é, con todo, o feito de que en calquera anel de Dedekind (que inclúe $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ e, máis xeralmente, o anel de enteiros nun corpo numérico), calquera ideal (como o xerado por 6) descomponse unicamente como produto de ideais primos.

Calquera ideal maximal é un ideal primo ou, máis brevemente, é primo. A maiores, un ideal $I$ é primo se e só se o anel de factorización $R/I$ é un dominio de integridade. Demostrar que un ideal é primo, ou equivalentemente que un anel non ten divisores de cero, pode ser moi difícil. Outra forma de expresar o mesmo é dicir que o complementario $R\setminus p$ é multiplicativamente pechado.

A localización $\left(R\setminus p\right)^{-1}R$ é o suficientemente importante como para ter a súa propia notación: $R_{p}$. Este anel só ten un ideal maximal, concretamente $pR_{p}$. Estes aneis chámanse locais.

Espectro

Artigo principal: Espectro dun anel.

Spec (Z) contén un punto para o ideal cero. O peche deste punto é todo o espazo. Os puntos restantes do espectro son os que corresponden aos ideais (p), onde p é un número primo. Estes puntos son pechados.

O espectro dun anel $R$,, denotado por ${\text{Spec}}\ R$, é o conxunto de todos os ideais primos de $R$. Está equipado cunha topoloxía, a topoloxía de Zariski, que reflicte as propiedades alxébricas de $R$: unha base de subconxuntos abertos vén dada por

$D\left(f\right)=\left\{p\in {\text{Spec}}\ R,f\not \in p\right\},$ onde $f$ é calquera elemento do anel.

Interpretando $f$ como unha función que toma o valor f mod p (é dicir, a imaxe de f no corpo de residuos R/p), este subconxunto é o lugar onde f é distinto de cero. O espectro tamén precisa a intuición de que a localización e os aneis cocientes son complementarios: as aplicacións naturais R → R_f e R → R / fR corresponden, despois de dotar os espectros dos aneis en cuestión da súa topoloxía de Zariski, a unha inmersión aberta e inmersión pechada complementarias respectivamente. Mesmo para aneis básicos, como o ilustrado para R = Z pola dereita, a topoloxía de Zariski é bastante diferente da do conxunto de números reais.

O espectro contén o conxunto de ideais maximais, que ocasionalmente se denota como mSpec (R). Para un corpo alxebricamente pechado k, mSpec (k[T₁, ..., T_n] / (f₁, ..., f_m)) está en bixección co conxunto

{x =(x₁, ..., x_n) ∊ kⁿ | f₁(x) = ... = f_m(x) = 0.}

Esquemas afíns

A noción de espectro é a base común da álxebra conmutativa e da xeometría alxébrica. A xeometría alxébrica procede dotando a Spec R cun feixe ${\mathcal {O}}$ (unha entidade que recolle funcións definidas localmente, é dicir, en subconxuntos abertos variábeis). O dato do espazo e o feixe chámase esquema afín. Dado un esquema afín, o anel subxacente R pódese recuperar como as seccións globais de ${\mathcal {O}}$. A maiores, esta correspondencia unidireccional entre aneis e esquemas afíns tamén é compatíbel cos homomorfismos de aneis: calquera f : R → S dá lugar a un mapa continuo na dirección oposta

Espec. S → Espec. R, q ↦ f⁻¹(q), é dicir, calquera ideal primo de S mapéase á súa preimaxe baixo f, que é un ideal primo de R.

A equivalencia resultante das dúas categorías mencionadas reflicte axeitadamente as propiedades alxébricas dos aneis dun xeito xeométrico.

Do mesmo xeito que as variedades veñen dadas localmente por subconxuntos abertos de Rⁿ, os esquemas afíns son modelos locais para os esquemas, que son o obxecto de estudo en xeometría alxébrica. Polo tanto, varias nocións relativas aos aneis conmutativos derivan da intuición xeométrica.

Dimensión

Artigo principal: Dimensión de Krull.

A dimensión de Krull (ou dimensión) dim R dun anel R mide o "tamaño" dun anel, falando grosso modo, contando elementos independentes en R. A dimensión das álxebras sobre un corpo k pode axiomatizarse mediante catro propiedades:

• A dimensión é unha propiedade local: dim R = sup_{p ∊ Spec R} dim R_p.
• A dimensión é independente dos elementos nilpotentes: se I ⊆ R é nilpotente entón dim R = dim R / I.
• A dimensión permanece constante baixo unha extensión finita: se S é unha R-álxebra que se xera finitamente como un R-módulo, entón dim S = dim R.
• A dimensión calíbrase mediante dim k[X₁, ..., X_n] = n. Este axioma está motivado por considerar o anel polinómico en n variábeis como un análogo alxébrico do espazo n-dimensional.

A dimensión defínese, para calquera anel R, como o supremo das lonxitudes n das cadeas de ideais primos

p₀ ⊊ p₁ ⊊ ... ⊊ p_n.

Por exemplo, un corpo é cero-dimensional, xa que o único ideal primo é o ideal cero. Os enteiros son unidimensionais, xa que as cadeas son da forma (0) ⊊ (p), onde p é un número primo.

Para aneis non noetherianos, e tamén aneis non locais, a dimensión pode ser infinita, pero os aneis locais noetherianos teñen dimensión finita. Entre os catro axiomas anteriores, os dous primeiros son consecuencias elementais da definición, mentres que os dous restantes dependen de feitos importantes de álxebra conmutativa, o teorema de ascenso e o teorema do ideal principal de Krull.

Aneis locais

Un anel chámase local se só ten un ideal maximal, denotado por m. Para calquera anel (non necesariamente local) R, a localización

R_p

nun ideal primo p é local.

Esta localización reflicte as propiedades xeométricas da especificación R "arredor de p". Varias nocións e problemas en álxebra conmutativa pódense reducir ao caso en que R é local, o que fai que os aneis locais sexan unha clase de aneis particularmente estudada. O corpo de residuos de R defínese como

k = R / m.

Calquera R-módulo M produce un k-espazo vectorial dado por M / mM. O lema de Nakayama demostra que este paso conserva información importante: un módulo xerado finitamente M é cero se e só se M / mM é cero.

Aneis locais regulares

A curva plana cúbica (vermella) definida pola ecuación y² = x²(x + 1) é singular na orixe, é dicir, o anel k[x, y] / y² − x²(x + 1), non é un anel regular. O cono tanxente (azul) é unha unión de dúas liñas, o que tamén reflicte a singularidade.

O espazo vectorial k m/m² é unha encarnación alxébrica do espazo cotanxente. Informalmente, os elementos de m poden considerarse como funcións que se anulan no punto p, mentres que m² contén os que se anulan con orde de polo menos 2.

Para calquera anel local noetheriano R, a desigualdade

dim_k m/m² ≥ dim R

é certa, o que reflicte a idea de que o espazo cotanxente (ou equivalentemente o tanxente) ten polo menos a dimensión do espazo Spec R. Se a igualdade se cumpre nesta estimación, R chámase anel local regular. Un anel local noetheriano é regular se e só se o anel (que é o anel de funcións no cono tanxente) $$\bigoplus _{n}m^{n}/m^{n+1}$$ é isomorfo a un anel polinómico sobre k. En termos xerais, os aneis locais regulares son algo similares aos aneis polinómicos. Os aneis locais regulares son funcións definidas por funcións non definidas.

Os aneis de valoración discreta están equipados cunha función que asigna un número enteiro a calquera elemento r. Este número, chamado valoración de r, pódese considerar informalmente como unha orde cero ou polar de r. Os aneis de valoración discreta son precisamente os aneis locais regulares unidimensionais. Por exemplo, o anel de xermolos de funcións holomorfas nunha superficie de Riemann é un anel de valoración discreta.

Interseccións completas

A cúbica retorta (verde) é unha intersección completa de teoría de conxuntos, mais non unha intersección completa na teoría de aneis.

Segundo o teorema do ideal principal de Krull, un resultado fundamental na teoría da dimensión dos aneis, a dimensión de

R = k[T₁, ..., T_r] / (f₁, ..., f_n)

é polo menos r − n. Un anel R chámase anel de intersección completa se se pode presentar dun xeito que alcance este límite mínimo. Esta noción tamén se estuda principalmente para aneis locais. Calquera anel local regular é un anel de intersección completo, pero non ao revés.

Un anel R é unha intersección completa de teoría de conxuntos se o anel reducido asociado a R, é dicir, o que se obtén ao dividir todos os elementos nilpotentes, é unha intersección completa. Ata 2017, descoñécese en xeral se as curvas no espazo tridimensional son interseccións completas da teoría de conxuntos.

Aneis de Cohen-Macaulay

A profundidade dun anel local R é o número de elementos nalgunha (ou, como se pode demostrar, calquera) secuencia regular máximal, é dicir, unha secuencia a₁, ..., a_n ∈ m tal que todos os a_i son divisores distintos de cero en

R / (a₁, ..., a_i−1).

Para calquera anel noetheriano local, cúmprese a desigualdade

depth(R) ≤ dim(R).

Un anel local no que ten lugar a igualdade chámase anel de Cohen-Macaulay.

Os aneis de intersección completa locais e, a fortiori, os aneis locais regulares son aneis de Cohen-Macaulay, mai non ao revés. Cohen-Macaulay combina as propiedades desexábeis dos aneis regulares (como a propiedade de seren aneis universalmente catenarios, o que significa que a (co)dimensión dos primos ten bo comportamento), pero tamén son máis robustos en canto a obter cocientes que os aneis locais regulares.

Véxase tamén

Bibliografía

• Christensen, Lars Winther; Striuli, Janet; Veliche, Oana (2010). Growth in the minimal injective resolution of a local ring. Journal of the London Mathematical Society. Second Series 81. pp. 24–44. arXiv:0812.4672. doi:10.1112/jlms/jdp058. 
• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960. 
• Hochster, Melvin (2007). Homological conjectures, old and new. Illinois J. Math. 51. pp. 151–169. doi:10.1215/ijm/1258735330. 
• Jacobson, Nathan (1945). Structure theory of algebraic algebras of bounded degree. Annals of Mathematics 46. pp. 695–707. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969205. doi:10.2307/1969205. 
• Lyubeznik, Gennady (1989). "A survey of problems and results on the number of defining equations". Representations, resolutions and intertwining numbers. pp. 375–390. Zbl 0753.14001. 
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6. 
• Pinter-Lucke, James (2007). Commutativity conditions for rings: 1950–2005. Expositiones Mathematicae 25. pp. 165–174. ISSN 0723-0869. doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001. 

Outros artigos

• Divisibilidade (teoría dos aneis)
• Elemento nilpotente
• Radical dun ideal
• Homomorfismo de aneis
• Elemento enteiro
• Lema de evitamento dos ideais primos
• Anel local

Ligazóns externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Commutative ring», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104