Anel conmutativo

En teoría de aneis (unha rama da álxebra abstracta), un anel conmutativo é un anel (R, +, ·) no que a operación de multiplicación · é conmutativa; é dicir, se para calquera a, b ∈ R, a·b = b·a.

Se adicionalmente o anel ten un elemento unitario 1 tal que 1a = a = a1 para todo a, entón o anel denomínase anel conmutativo unitario.

A rama da teoría de aneis que estuda os aneis conmutativos denomínase álxebra conmutativa.

ExemplosEditar

O exemplo máis importante é talvez o dos números enteiros coas operacións usuais de suma e multiplicación, ambas conmutativas. Este anel usualmente denótase por ℤ, pola palabra alemá Zahlen (números).
Os números racionais, reais, e complexos forman aneis conmutativos coas operacións usuais; máis aínda, son corpos.
Todo campo é un anel conmutativo por definición.
Se n>0 é un enteiro, o conxunto ℤ_n de enteiros módulo n forma un anel conmutativo con n elementos.
Se R é un anel conmutativo, o conxunto de polinomios de variable X con coeficientes en R forma un novo anel conmutativo, denotado por R[X].
O conxunto de números racionais de denominador impar forma un anel conmutativo, estritamente contido no anel ℚ dos racionais, e que contén propiamente ao ℤ dos enteiros.

Un exemplo de anel non conmutativo é o conxunto de matrices cadradas de 2×2 con valores reais. Como segunda operación, a multiplicación matricial

{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}

dá un resultado distinto que se se inverte a orde dos factores:

{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.

Outro anel non conmutativo é o conxunto das funcións continuas reais definidas no intervalo pechado [0,1] coa adición de funcións como primeira operación; e como segunda operación, a composición de funcións; cúmprese a asociatividade, a distributividade e a existencia da unidade multiplicativa I/ I(x) = x.

Se f : R → S é un homomorfismo de aneis entre R e S, S é conmutativo, e f é inxectiva (isto é, un monomorfismo), R tamén debe ser conmutativo, pois f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).
Se f : R → S é un homomorfismo de aneis entre R e S, con R é conmutativo, a imaxe f(R) de R será tamén conmutativa; en particular, se f é sobrexectiva (isto é, un epimorfismo), S será conmutativo tamén.

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Commutative ring», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104