Álxebra conmutativa

En álxebra abstracta, a álxebra conmutativa estuda aneis conmutativos e os seus ideais e módulos sobre eses aneis. Exemplos salientables de aneis conmutativos inclúen os aneis de polinomios, aneis de enteiros alxébricos e os enteiros p-ádicos.

Postal de 1915 da pioneira da álxebra conmutativa Emmy Noether a E. Fischer, falando sobre o seu traballo nesta área.

Tanto a xeometría alxébrica como a teoría alxébrica dos números están construídas sobre a álxebra conmutativa. Esta é aínda a principal ferramenta técnica para o estudo local de esquemas.

O estudo de aneis non conmutativos coñécese como álxebra non-conmutativa, o que inclúe, por exemplo, a teoría dos aneis, a representación de grupos e as álxebras de Banach.

Historia

A materia, orixinariamente coñecida como teoría dos ideais, comezou coa obra de Richard Dedekind sobre ideais baseada nos traballos precedentes de Ernst Kummer e Leopold Kronecker. máis tarde, David Hilbert introduciu o termo anel para xeneralizar o termo anel numérico. Hilbert introduciu unha abordaxe máis abstracta para suplantar métodos máis concretos e computacionais fundados na análise complexa e na teoría dos invariantes clásica. En contrapartida, Hilbert influenciou a Emmy Noether, a quen se debe moito da abordaxe abstracta e axiomática da materia. Outra importante adquisición foi o traballo de Emanuel Lasker, estudante de Hilbert, que introduciu os ideais primarios e probou a primeira versión do teorema de Lasker-Noether.

Moito do desenvolvemento moderno na área dá prioridade os módulos. Tanto os ideais dun anel A como as A-álxebras son casos especiais de A-módulos. Así, a álxebra conmutativa engloba tanto a teoría dos ideais como a teoría das extensións dos aneis. A pesar de xa estar incipiente na obra de Kronecker, a abordaxe moderna usando módulos é xeralmente acreditada a Emmy Noether.

Aneis Conmutativos

Un anel chámase conmutativo se o produto for unha operación conmutativa. Algúns dos aneis conmutativos máis básicos son os enteiros e os aneis de polinomios sobre aneis conmutativos. En álxebra conmutativa os aneis que interesan son aqueles que son conmutativos con identidade.

As principais subestruturas dos aneis son os ideais. Esencialmente, un ideal é un subanel (i.e. un subconxunto de A que é un anel coas operacións de A) que absorbe o produto dun elemento seu cun elemento do anel. Existen dous tipos especiais de ideais: primos e maximais. No primeiro tipo, moi similar á definición do número primo, o ideal absorbe o produto de dous elementos do anel se e soamente se un deles xa está no ideal. Por exemplo, nos enteiros os únicos ideais primos non nulos son aqueles conxuntos de múltiplos dun primo p fixado. No segundo tipo, os ideais son maximais con relación á inclusión de conxuntos no anel. Unha propiedade interesante é a de que todo ideal maximal é primo.

Dous ideais merecen ser destacados na álxebra conmutativa: o nilradical de A (a intersección de todos os ideais primos de A) e o radical de Jacobson de A (a intersección de todos os ideais maximais de A). Son esenciais cando se quere entender a relación entre a xeometría alxébrica e a álxebra conmutativa, pois cada variedade alxébrica irredutible está asociada cun ideal primo e cada punto a un ideal maximal, de modo que as propiedades xeométricas se traducen en propiedades xeométricas e viceversa. Unha importante característica dos aneis conmutativos con identidade é que sempre existe un ideal maximal. Aqueles aneis que posúen só un ideal maximal chámanse aneis locais.

Os resultados esenciais para proseguir no estudo son:

• Teorema do isomorfismo: Sexan A e B aneis e I un ideal de A. Se φ:A→B é un homomorfismo entre A e B, entón A/Ker(φ) ~ Im(φ).
• Teorema da correspondencia. Sexa I un ideal de A. Existe unha correspondencia biunívoca entre os conxuntos {ideais de A que contén I} e {ideais de A/I}.
• Lema da esquiva. Sexan P e Q ideais primos de A. Se I é un ideal de A tal que I está contido en PUQ entón I está contido en P ou en Q.

Xuntos, eses resultados permiten probar unha serie de propiedades de aneis locais.

A-módulos

Despois dos espazos vectoriais, os módulos son as estruturas alxébricas máis similares que se van atopar. Estes son como espazos vectoriais sobre un anel, i.e., ten suma e produto por escalar (no anel) que satisfán as mesmas propiedades de espazo vectorial. O feito de que o anel de base non sexa necesariamente un corpo xera algunhas "patoloxías" nesa estrutura. Por exemplo, o produto dun escalar non nulo por un "vector" non nulo pode ser nulo. Os exemplos máis comúns de módulos son os K-espazos vectoriais.

En A-módulos é posible definir A-submódulos e cociente de A-submódulos de maneira semellante á dos aneis, incluso valendo o teorema do isomorfismo e o teorema da correspondencia. Alén diso, os A-módulos tamén "herdan" definicións da álxebra linear como: conxunto mínimo de xeradores, conxunto linearmente independente e base. Con todo, non é verdade que todo conxunto mínimo de xeradores nun A-módulo teña a mesma cardinalidade. Por exemplo, os conxuntos {1} e {2,3} son conxuntos mínimos de xeradores para os enteiros. Mais se o anel de base for local, todo conxunto mínimo de xeradores ten a mesma cardinalidade, así como nos espazos vectoriais.

Algúns dos resultados útiles para probar propiedades dos A-módulos son:

• Proposición. Sexan N e P A-submódulos de M. Entón

${\frac {N}{N\cap P}}={\frac {N+P}{P}}$

• Lema de Nakayma. Sexa N un A-módulo finitamente xerado e I un ideal de A contido no radical de Jacobson de A. Se IM=0 entón M=0.

Secuencias exactas e principio local-global

Así como a congruencia modular é o principal mecanismo para probar grandes propiedades aritméticas, as secuencias exactas constitúen a ferramenta esencial para estudar A-módulos, especialmente os finitamente xerados. Pódese considerar que unha secuencia exacta é unha secuencia de aplicacións A-lineares entre A-módulos tal que a imaxe dunha é o núcleo da outra.

Secuencia Exacta Estrutural

Nese exemplo M' é un submódulo de M, f a aplicación de inclusión, g a proxección canónica e M'' o cociente de N por M'. Esa secuencia é exacta e é coñecida como secuencia exacta estrutural. Con esa secuencia adoita probarse o teorema do isomorfismo.

Xuntamente coas secuencias exactas, o concepto de localización dun A-módulo é de grande utilidade para a álxebra conmutativa. Basicamente, localizar un anel A nun ideal primo P é considerar o conxunto multiplicativo S=A-P e definir unha relación de equivalencia en S x A, de modo que S x A co cociente definido por esa relación de equivalencia é o anel de fraccións de A en P. Tradicionalmente ese anel de fraccións é denotado por $A_{P}$. A continuación, faise o mesmo con S x M, onde N é un A-módulo, para obter módulo de fraccións de N en P, denotándoo por $M_{P}$. Desa forma, $M_{P}$ é un $A_{P}$-módulo.

O gran resultado sobre localización de A-módulos é o principio local-global: Son equivalentes: i) N = 0 ii) $M_{P}$= 0, para todo ideal primo P de A iii) $M_{M}$= 0, para todo ideal maximal N de A.

Aneis e módulos noetherianos

Un anel (módulo) chámase noetheriano se todo ideal (submódulo) é finitamente xerado. Isto é equivalente a dicir que toda cadea ascendente de ideais (submódulos) é estacionaria ou que toda familia non-baleira de ideais (submódulos) posúe elemento maximal. Os aneis noetherianos son realmente os máis usados en álxebra conmutativa. Practicamente todos os estudos que envolven o concepto de dimensión dun módulo consideran sempre un A-módulo finitamente xerado sobre un anel noetheriano.

Do outro lado, están os aneis artinianos (por Emil Artin), que satisfán a condición descendente de ideais. Con todo, é sabido que eses aneis son noetherianos con dimensión cero, polo que o estudo se reduce aos noetherianos.

O gran resultado sobre aneis noetherianos é o teorema da base de Hilbert:

Se A é noetheriano, entón A[x] é noetheriano.

Sen o teorema algúns resultados vólvense difíciles de demostrar

Teorema da descomposición primaria

Así como o teorema fundamental da aritmética, que garante que todo número enteiro (diferente de -1, 0 e 1) se escribe como produto finito de primos, o teorema da descomposición primaria garante que todo submódulo dun A-módulo N se escribe como intersección finita de submódulos primarios.

Ademais, un submódulo N chámase P-primario (onde P é un ideal primo de A) se P é o único primo asociado do cociente M/N.

Teorema da descomposición primaria: Sexa N un A-módulo e N un A-submódulo propio de M. Entón N admite unha descomposición primaria.

O teorema é de feito unha xigantesca xeneralización do teorema fundamental da aritmética.

Outro resultado máis avanzado é o teorema da dimensión ou teorema de Krull-Chevaley-Samuel:

Sexa (A,M) un anel local. Entón as tres seguintes expresións son iguais:

(i) O cumprimento máximo das cadeas de ideais primos en A (ii) O grao do polinomio característico de A

(iii) O número mínimo de xeradores de un ideal M-primario de A

Véxase tamén

Bibliografía

• Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (1969). Introduction to Commutative Algebra (en inglés). Addison-Wesley Publishing Company. 
• Burity Croccia Macedo, Ricardo (2016). Notas de Aula do Curso de Álgebra conmutativa da Universidade Federal Rural de Pernambuco (en portugués).