Teorema fundamental da aritmética

En matemáticas, e particularmente na teoría dos números, o teorema fundamental da aritmética ou teorema de factorización única afirma que todo número enteiro positivo maior que 1 é un número primo ou ben un único produto de números primos. Por exemplo,

$6936=2^{3}\cdot 3\cdot 17^{2}\,$

$1200=2^{4}\cdot 3\cdot 5^{2}\,$

Non existe ningunha outra factorización de 6936 e 1200 en números primos. Como a multiplicación é conmutativa, a orde dos factores é irrelevante; por esta razón, o teorema adoita enunciarse como factorización única agás na orde dos factores.

Aplicacións

Representación canónica dun enteiro positivo

Todo enteiro positivo n > 1 pode ser representado “exactamente dun único xeito” como un produto de potencias de números primos:

$n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}$

onde p₁ < p₂ < ... < p_k son primos e α_i son enteiros positivos.

Esta representación chámase representación canónica de n, ou forma estándar de n.

Por exemplo 999 = 3³•37, 1000 = 2³•5³, 1001 = 7•11•13

Os factores p⁰ = 1 poden inserirse sen cambiar o valor de n (por exemplo, 1000 = 2³•3⁰•5³). En efecto, calquera número positivo pode ser representado unicamente como un produto infinito tomado sobre todo o conxunto dos números primos,

$n=2^{\alpha _{2}}3^{\alpha _{3}}5^{\alpha _{5}}7^{\alpha _{7}}\cdots =\prod _{\mathbb {P} }p^{\alpha _{p}}$

onde un número finito de α_p son enteiros positivos, e o resto son cero. Permitindo expoñentes negativos proporciónase unha forma canónica para os números racionais.

Importancia

O teorema establece a importancia dos números primos. Estes son as “pezas básicas” coas que se “constrúen” os enteiros positivos, no sentido de que todo enteiro positivo pode construírse como produto de números primos dun único xeito.

Coñecer a factorización en primos dun número permite atopar todos os seus divisores, primos ou compostos. Por exemplo, a factorización anteriormente dada de 6936 amosa que calquera divisor positivo 6936 debe ter a forma: $2^{a}\cdot 3^{b}\cdot {17}^{c}$, onde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), e 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando o número de opcións independentes obtense un total de $4\cdot 2\cdot 3=24$ divisores positivos

Unha vez que se coñece a factorización en primos de dous números, pódense atopar facilmente o seu máximo común divisor e mínimo común múltiplo. Por exemplo, das factorizacións anteriores de 6936 e 1200 pódese deducir que o seu máximo común divisor é 2³ • 3 = 24. Porén, se non se coñece a factorización en primos, usar o algoritmo de Euclides en xeral require moitos menos cálculos que factorizar os dous números.

O teorema fundamental implica que as funcións aritméticas aditivas e multiplicativas están completamente determinadas polos seus valores nas potencias dos números primos.

Calquera número enteiro n maior que 1 pode escribirse de xeito únic, agás na orde, como un produto de números primos.

Demostración

O teorema foi demostrado por primeira vez por Euclides, aínda que a primeira demostración completa apareceu nas Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss.

Aínda que a primeira vista o teorema pareza obvio, non se cumpre en numéricos máis xerais, entre eles moitos aneis de enteiros alxébricos. Ernst Kummer foi o primeiro en decatarse disto en 1843, no seu traballo sobre o último teorema de Fermat. O recoñecemento deste fallo é un dos primeiros avances da teoría dos números alxébricos.

Demostración de Euclides

A demostración faise en dous pasos. No primeiro demóstrase que todo número é un produto de primos (incluído o produto baleiro); no segundo demóstrase que calquera das representacións son iguais.

Descomposición en primos

Suponse que existe algún enteiro positivo que non pode representarse como produto de primos. Entón debe haber un mínimo número n con esa propiedade. Este número n non pode ser 1, pola convención anterior. Tampouco pode ser un primo, porque todo primo é o produto dun único número primo: el mesmo.
Polo tanto, n = ab, onde a e b son enteiros positivos menores que n. Como n é o mínimo enteiro positivo para o que falla o teorema, tanto a como b poden escribirse como produto de primos. Pero entón n = ab tamén pode escribirse como produto de primos, o que é contraditorio.

Unicidade

A demostración da unicidade apóiase no seguinte feito: se un número primo p divide un produto ab, entón divide a a ou divide a b (lema de Euclides). Para demostrar este lema, suponse que p non divide a, entón p e a son primos entre eles e pola identidade de Bézout existen x e y enteiros tales que px + ay = 1. Multiplicando por b obtense pbx + aby = b, e posto que os dous sumandos do lado esquerdo son divisibles por p, o termo da dereita tamén é divisible por p.

Dados dous produtos de primos que teñan igual resultado, tómase un primo p do primeiro produto. Divide o primeiro produto, e polo tanto tamén o segundo. Polo feito anterior, p debe dividir polo menos un factor do segundo produto; pero os factores son todos primos, logo p debe ser igual a un dos factores do segundo produto. Pódese entón cancelar p de ambos os produtos. Seguindo desta forma cancelaranse todos os factores de ambos os produtos, co que estes deben coincidir exactamente.

Demostración por descenso infinito

Outra proba da unicidade das factorizacións en primos dun enteiro dado utiliza o método do descenso infinito.

Suponse que certo número enteiro se pode escribir como produto de factores primos de polo menos dous xeitos distintos. Entón, debe existir un mínimo enteiro s con esa propiedade. Sexan p₁•...•p_m e q₁•...•q_n dúas factorizacións distintas de s. Ningún p_i (con 1 ≤ i ≤ m) pode ser igual a algún q_j (con 1 ≤ j ≤ n), pois do contrario habería un número menor que s que se podería factorizar de dous xeitos (obtido ao quitar factores comúns a ambos os produtos) contradicindo a suposición anterior. Pódese entón supoñer sen perda de xeneralidade que p₁ é un factor primo menor que todos os q_j (con 1 ≤ j ≤ n). Considerando en particular q₁, entón existen enteiros d e r tales que

${q_{1} \over p_{1}}=d+{r \over p_{1}}$

e 0 < r < p₁ < q₁ (r non pode ser 0, posto que en tal caso q₁ sería un múltiplo de p₁ e polo tanto composto). Ao multiplicar ambos lados por s / q₁, resulta

$p_{2}\ldots p_{m}=\left(d+{r \over p_{1}}\right)q_{2}\ldots q_{n}=d\cdot q_{2}\ldots q_{n}+{r\cdot q_{2}\ldots q_{n} \over p_{1}}.$

O segundo termo da última expresión debe ser igual a un enteiro (pois tamén o son os outros termos), ao que se chamará k; isto é,

$k={r\cdot q_{2}\ldots q_{n} \over p_{1}},$

de onde se obtén,

$p_{1}\cdot k=r\cdot q_{2}\ldots q_{n}.$

O valor dos dous membros da ecuación é obviamente menor que s, mais continúa a ser grande abondo como para ser factorizable. Como r é menor que p₁, as dúas factorizacións obtidas en ambos os lados despois de escribri k e r como produto de primos deben ser diferentes. Isto contradí a suposición de que s é o enteiro máis pequeno que se pode factorizar en máis dunha forma. Polo tanto, a suposición inicial debe ser falsa.

Demostración por álxebra abstracta

Sexa n un enteiro. Z_n é un grupo finito, polo que ten unha serie de composición. Por definición, os factores nunha serie de composición son simples; polo tanto, na serie de Z_n estes deben de ser da forma Z_p para algún primo p. Como a orde de Z_n é o produto das ordes dos factores da súa serie de composición, isto dá unha factorización de n en números primos. Pero o teorema de Jordan-Hölder afirma que unha serie de composición é única, e polo tanto a factorización de n debe de ser única.

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema fundamental da álxebra
• Teorema fundamental do cálculo
• Factorización de enteiros

Ligazóns externas

• Construción dunha táboa de factores primos para os números do 1 ao 360 en linguaxe Logo