Número primo

Número primo é un número natural maior que 1 e que ten exactamente dous divisores positivos distintos: 1 e el mesmo. Se un número natural é maior que 1 e non é primo, dise que é composto. Por convención, os números 0 e 1 non son primos nin compostos.

O concepto de número primo é moi importante na teoría dos números. Un dos resultados da teoría dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que calquera número enteiro positivo pode ser escrito univocamente como o produto de varios números primos (chamados "factores primos"). Ao proceso que recibe como argumento un número e devolve os seus factores primos chámase descomposición en factores primos. Antes do desenvolvemento do cálculo automático, a determinación dos factores primos era un proceso traballoso en extremo, mais a finais do século XVIII xa existían, grazas ao labor dalgúns matemáticos, entre os cales estaban Anton Felkel e Jurij Bartolomej Vega, extensas táboas abranguendo o intervalo desde a unidade ata algúns millóns.

Colocando os números primos en orde crecente, temos que os primeiros elementos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...

Exemplos de decomposicións:

4 = 2 ⋅ 2
6 = 2 ⋅ 3
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2
9 = 3 ⋅ 3
10 = 2 ⋅ 5

Teoremas dos números primos

Factorización única

Artigo principal: Teorema fundamental da aritmética.

Escribir un número como produto de números primos chámase descomposición en factores primos do número. Por exemplo:

{\begin{aligned}50&=2\times 5\times 5\\&=2\times 5^{2}.\end{aligned}}

Os termos do produto chámanse factores primos. O mesmo factor primo pode ocorrer máis dunha vez; este exemplo ten dúas copias do factor primo $5.$ Cando un número primo ocorre varias veces, a exponenciación pódese usar para agrupar varias copias do mesmo número primo: por exemplo, na segunda forma de escribir o produto anterior, $5^{2}$ denota o cadrado ou a segunda potencia de $5.$

Algunhas probas da unicidade das factorizacións en primos baséanse no lema de Euclides: se $p$ é un número primo e $p$ divide un produto $ab$ de enteiros $a$ e $b$ , entón $p$ divide $a$ ou $p$ divide $b$ (ou ambos os dous)^[1] Pola contra, se un número $p$ ten a propiedade de que cando divide un produto sempre divide polo menos un factor do produto, entón $p$ debe ser primo.^[2]

Infinitude

Artigo principal: Teorema de Euclides.

Sábese que, á medida que avanzamos na secuencia dos números enteiros, os primos tórnanse cada vez máis raros. Isto levanta dúas cuestións:

O conxunto dos números primos sería finito ou infinito?
Dado un número natural $n$ , cal é a proporción de números primos entre os números menores que $n$ ?

A resposta a primeira cuestión é que o conxunto dos primos é infinito. Podemos demostralo da seguinte forma:

Supoña, por absurdo, que o número de primos sexa finito e sexan $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n}$ os primos. Sexa $P$ o número tal que

$P$ = $\prod _{i=1}^{n}p_{i}+1$ onde $\prod$ denota o produto.

Temos que $P$ non é primo (por hipótese), logo existe un número primo $q$ tal que $q\mid \ P$ . Mais obviamente $q\neq \ p_{1},p_{2},...p_{n}$ . Logo existe un novo número primo, o que é unha contradición.

A resposta para a segunda pregunta é que esa proporción se aproximará máis a $n:\ln(n)$ canto maior sexa n, onde $\ln$ é o logaritmo natural.

Grupos e secuencias de números primos

Artigos principais: Teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas e Teorema de Green–Tao.

Coñécense dous grupos de números primos, dos tipos:

(4n+1) - pódense sempre escribir como (

x^{2}+y^{2}

).

(4n-1), que é o mesmo que (4n+3) - nunca se poden escribir como (

x^{2}+y^{2}

).

Tratándose de números primos, é perigoso facer unha xeneralización apenas con base nunha observación, non solidamente comprobada matematicamente. Por exemplo, 31, 331, 3 331, 33 331, 333 331, 3 333 331 e 33 333 331 son primos, mais 333 333 331 non é primo (333 333 331 = 17 ⋅ 19 607 843).

Unha progresión aritmética é unha sucesión finita ou infinita de números tal que os números consecutivos da secuencia teñen todos a mesma diferenza.^[3] Esta diferenza chámase módulo da progresión.^[4] Por exemplo,

3, 12, 21, 30, 39, ...,

é unha progresión aritmética infinita con módulo 9. Nunha progresión aritmética, todos os números teñen o mesmo resto cando se dividen polo módulo; neste exemplo, o resto é 3. Como tanto o módulo 9 como o resto 3 son múltiplos de 3, tamén o son todos os elementos da secuencia. Polo tanto, esta progresión contén só un número primo, o propio 3. En xeral, a progresión infinita

a,a+q,a+2q,a+3q,\dots

pode ter máis dun primo só cando o seu resto $a$ e o seu módulo $q$ son primos relativos. Se son primos relativos, o teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas afirma que a progresión contén infinitos números primos.^[5]

Números primos nas progresións aritméticas módulo 9. Cada fila da banda horizontal fina mostra unha das nove posibles progresións mod 9, cos números primos marcados en vermello. As progresións dos números que comezan por 0, 3 ou 6 mod 9 conteñen como máximo un número primo (realmente un a que comeza polo número 3, as outras ningún); as restantes progresións de números que son 2, 4, 5, 7 e 8 mod 9 teñen infinitos números primos, con unha cantidade similar de números primosen cada progresión.

O teorema de Green–Tao mostra que hai progresións aritméticas finitas arbitrariamente longas que consisten só en números primos.^[6] ^[7]

Primalidade e obtención de números primos

A propiedade de ser primo chámase primalidade. Un método sinxelo pero lento para comprobar a primalidade dun número determinado $n$ , chamado división de proba, proba se $n$ é un múltiplo de calquera número enteiro entre 2 e ${\sqrt {n}}$ . Os algoritmos máis rápidos inclúen o test de primalidade de Miller–Rabin, que é rápida mais ten unha pequena probabilidade de erro, e o test de primalidade AKS, que sempre produce a resposta correcta en tempo polinómico mais é demasiado lento para ser práctico. Hai métodos especialmente rápidos dispoñíbeis para números de formas especiais, como os números de Mersenne. Desde 2024 o número primo máis grande coñecido é un primo de Mersenne con 41.024.320 díxitos.^[8]^[9]

cribos

A criba de Eratóstenes comeza con todos os números sen marcar (gris). Procura repetidamente o primeiro número sen marcar, márcao como primo (cores escuras) e marca o seu cadrado e todos os múltiplos posteriores como compostos (cores máis claras). Despois de marcar os múltiplos de 2 (vermello), 3 (verde), 5 (azul) e 7 (amarelo), procésanse todos os números primos ata a raíz cadrada do tamaño da táboa e todos os números sen marcar restantes (11, 13). , etc.) son os marcados como primos (maxenta).

Artigo principal: Criba de Eratóstenes.

Antes dos ordenadores, as táboas matemáticas que enumeraban todos os números primos ou factorizacións de primos ata un determinado límite eran moi comúns.^[10] O métod máis antigo coñecido para xerar unha lista de números primos chámase criba de Eratóstenes.^[11] A animación mostra unha variante optimizada deste método.^[12] Outro método de criba asintóticamente máis eficiente para o mesmo problema é o cribo de Atkin.^[13] En matemáticas avanzadas, a teoría da criba aplica métodos similares a outros problemas.^[14]

Algunhas das probas modernas máis rápidas para determinar se un número dado arbitrario $n$ é primo son os algoritmos probabilísticos (ou Algoritmos de Montecarlo), o que significa que teñen unha pequena oportunidade aleatoria de producir unha resposta incorrecta.^[15] Por exemplo, o test de primalidade de Sololovay–Strassen para un número dado $p$ escolle un número $a$ aleatoriamente entre $2$ e $p-2$ e usa a exponenciación modular para comprobar se $a^{(p-1)/2}\pm 1$ é divisíbel por $p$ .^[a] En caso afirmativo, responde que si e, en caso contrario, non. Se $p$ realmente é primo, sempre responderá si, pero se $p$ é composto entón responde que si con probabilidade como máximo 1/2 e non con probabilidade polo menos 1/2.^[16] Se este test se repíte $n$ veces no mesmo número, a probabilidade de que un número composto poida pasar o test cada vez é como máximo $1/2^{n}$ . Debido a que diminúe exponencialmente co número de probas, proporciona unha alta confianza (aínda que non a certeza) de que un número que pasa a proba repetidamente é primo. Por outra banda, se a proba falla algunha vez, entón o número é certamente composto.^[17] Un número composto que supera tal proba chámase pseudoprimo.^[16]

Test	Desenvolvido en	Tipo	Tempo de execución	Notas	Referencias
Test de primalidade AKS	2002	determinístico	$O((\log n)^{6+\varepsilon })$		^[18]^[19]
Test de primalidade de curva elíptica	1986	Las Vegas	$O((\log n)^{4+\varepsilon })$ heuristically		^[20]
Test de primalidade Baillie–PSW	1980	Montecarlo	$O((\log n)^{2+\varepsilon })$		^[21]^[22]
Test de primalidade Miller–Rabin	1980	Montecarlo	$O(k(\log n)^{2+\varepsilon })$	probabilidade de erro $4^{-k}$	^[23]
Test de primalidade Solovay–Strassen	1977	Montecarlo	$O(k(\log n)^{2+\varepsilon })$	probabilidade de erro $2^{-k}$	^[23]

Álxebra abstracta

Elementos primos en aneis

Artigos principais: Elemento primo e Elemento irredutible.

Os primos gaussianos cunha norma inferior a 500

Un anel conmutativo é unha estrutura alxébrica onde se definen a suma, a resta e a multiplicación. Os números enteiros son un anel, e os números primos dos enteiros xeneralizáronse a aneis de dúas formas diferentes, elementos primos e elementos irredutíbeis. Un elemento $p$ dun anel $R$ chámase primo se é distinto de cero, non ten inverso multiplicativo (é dicir, non é unha unidade), e cumpre o seguinte requisito: sempre que $p$ divide o produto $xy$ de dous elementos de $R$ , tamén divide polo menos un de $x$ ou $y$ . Un elemento é irredutíbel se non é unha unidade nin o produto doutros dous elementos non unidades. No anel de enteiros, os elementos primos e irredutibles forman o mesmo conxunto,

\{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.

Nun anel arbitrario, todos os elementos primos son irredutibles. A inversa en xeral non se cumpre, mais si se cumpre para dominios de factorización única.^[24]

O teorema fundamental da aritmética segue a cumprirse (por definición) en dominios de factorización única. Un exemplo deste dominio é o dos enteiro gaussianos $\mathbb {Z} [i]$ , o anel de número complexos da forma $a+bi$ onde $i$ denota a unidade imaxinaria e $a$ e $b$ son números enteiros arbitrarios. Os seus elementos primos coñécense como primos gaussianos. Non todo número que é primo entre os enteiros permanece primo nos enteiros gaussianos; por exemplo, o número 2 pódese escribir como un produto dos dous números primos gaussianos $1+i$ e $1-i$ .

Os primos racionais (os elementos primos dos enteiros) congruentes con 3 mod 4 son primos gaussianos, pero os primos racionais congruentes con 1 mod 4 non o son.^[25] Esta é unha consecuencia do teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados, que afirma que un primo impar $p$ é expresable como a suma de dous cadrados, $p=x^{2}+y^{2}$ , e polo tanto factorizable como $p=(x+iy)(x-iy)$ , exactamente cando $p$ é 1 mod 4.^[26]

Ideais principais

Artigo principal: Ideal principal.

Non todos os anels son un dominio de factorización única. Por exemplo, no anel dos números $a+b{\sqrt {-5}}$ (para os enteiros $a$ e $b$ ) o número $21$ ten dúas factorizacións $21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})$ , onde en ningunha das dúas os factores pódense reducir aínda máis, polo que non ten unha factorización única.

Para estender a factorización única a unha clase máis grande de aneis, a noción de número pódese substituír pola de ideal, que son un subconxunto dos elementos dun anel que contén todas as sumas dos seus propios elementos e todos os produtos dos seus elementos con elementos de todo o anel.

Os ideais primos, que xeneralizan elementos primos no sentido de que o ideal principal xerado por un elemento primo é un ideal primo, son unha ferramenta importante e obxecto de estudo na álxebra conmutativa, teoría de números alxébrica e xeometría alxébrica. Os ideais primos do anel de enteiros son os ideais (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... O teorema fundamental da aritmética xeneralízase ao Teorema de Lasker-Noether, que expresa cada ideal nun noetheriano conmutativo como unha intersección de ideais primarios, que son as xeneralizacións apropiadas das potencias de primos.^[27]

O espectro dun anel é un espazo xeométrico cuxos puntos son os ideais primos do anel.^[28]

Véxase tamén

Notas

↑ Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. pp. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3.
↑ Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (2nd ed.). Prentice Hall. Problem 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.
↑ Gelfand, Israel M.; Shen, Alexander (2003). Álxebra. Springer. p. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7.
↑ Mollin, Richard A. (1997). Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. p. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5.
↑ Crandall & Pomerance 2005, libros?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA Teorema 1.1.5, p. 12.
↑ Neale 2017, pp. 18, 47.
↑ Green, Ben; Tao, Terence (2008). "Os números primos conteñen progresións aritméticas arbitrariamente longas". Anais de Matemáticas 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188. doi:10.4007/annals.2008.167.481.
↑ "GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^136279841 − 1". Mersenne Research, Inc. 21 October 2024. Consultado o 21 October 2024.
↑ Sparkes, Matthew (November 2, 2024). "Amateur sleuth finds largest-known prime number". New Scientist: 19.
↑ Bullynck, Maarten (2010). "A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817". Revue d'Histoire des Mathématiques 16 (2): 133–216.
↑ Wagstaff, Samuel S. Jr. (2013). The Joy of Factoring. Student mathematical library 68. American Mathematical Society. p. 191. ISBN 978-1-4704-1048-3.
↑ Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd ed.). Springer. p. 121. ISBN 978-0-387-25282-7.
↑ Farach-Colton, Martín; Tsai, Meng-Tsung (2015). Elbassioni, Khaled; Makino, Kazuhisa, eds. "Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings". Lecture Notes in Computer Science 9472. Springer: 677–688. ISBN 978-3-662-48970-3. arXiv:1504.05240. doi:10.1007/978-3-662-48971-0_57.
↑ Greaves, George (2013). Sieves in Number Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43. Springer. p. 1. ISBN 978-3-662-04658-6.
↑ Hromkovič, Juraj (2001). Algorithmics for Hard Problems. Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series. Springer-Verlag, Berlin. pp. 383–385. ISBN 978-3-540-66860-2. MR 1843669. doi:10.1007/978-3-662-04616-6.
↑ ^16,0 ^16,1 Koblitz, Neal (1987). "Chapter V. Primality and Factoring". A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics 114. Springer-Verlag, New York. pp. 112–149. ISBN 978-0-387-96576-5. MR 910297. doi:10.1007/978-1-4684-0310-7_5.
↑ Pieprzyk, Josef; Hardjono, Thomas; Seberry, Jennifer (2013). "2.3.9 Probabilistic Computations". Fundamentals of Computer Security. Springer. pp. 51–52. ISBN 978-3-662-07324-7.
↑ Tao, Terence (2010). "1.11 The AKS primality test". An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog. Graduate Studies in Mathematics 117. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 82–86. ISBN 978-0-8218-5280-4. MR 2780010. doi:10.1090/gsm/117.
↑ Lenstra, H. W. Jr.; Pomerance, Carl (2019). "Primality testing with Gaussian periods" (PDF). Journal of the European Mathematical Society 21 (4): 1229–1269. MR 3941463. doi:10.4171/JEMS/861. hdl:21.11116/0000-0005-717D-0.
↑ Morain, F. (2007). "Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm". Mathematics of Computation 76 (257): 493–505. Bibcode:2007MaCom..76..493M. MR 2261033. arXiv:math/0502097. doi:10.1090/S0025-5718-06-01890-4.
↑ Pomerance, Carl; Selfridge, John L.; Wagstaff, Jr., Samuel S. (July 1980). "The pseudoprimes to 25·10⁹" (PDF). Mathematics of Computation 35 (151): 1003–1026. JSTOR 2006210. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7.
↑ Baillie, Robert; Wagstaff, Jr., Samuel S. (October 1980). "Lucas Pseudoprimes" (PDF). Mathematics of Computation 35 (152): 1391–1417. JSTOR 2006406. MR 583518. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6.
↑ ^23,0 ^23,1 Monier, Louis (1980). "Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms". Theoretical Computer Science 12 (1): 97–108. MR 582244. doi:10.1016/0304-3975(80)90007-9.
↑ Lauritzen, Niels (2003). Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases. Cambridge: Cambridge University Press. p. 127. ISBN 978-0-521-53410-9. MR 2014325. doi:10.1017/CBO9780511804229.
↑ Lauritzen 2003, Corolario 3.5.14, p. 133; Lema 3.5.18, páx. 136.
↑ Kraft & Washington 2014, Sección 12.1, Sumas de dous cadrados, páxs. 297–301.
↑ Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics 150. Berlin; New York: Springer-Verlag. Section 3.3. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1.
↑ Shafarevich, Igor R. (2013). "Definition of Spec A</math>". Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (3rd ed.). Springer, Heidelberg. p. 5. ISBN 978-3-642-38009-9. MR 3100288. doi:10.1007/978-3-642-38010-5.

↑ Nesta proba, en $\pm 1$ o termo é negativo se $a$ é un cadrado módulo do (suposto) primo $p$ , e positivo se non. De forma máis xeral, para valores non primos de $p$ , o termo $\pm 1$ é o Símbolo de Jacobi (negado), que se pode calcular mediante a reciprocidade cadrática.

Outros artigos

Ligazóns externas

As páxinas de primos -- http://www.utm.edu/research/primes/ Arquivado 01 de agosto de 2003 en Wayback Machine.
Lista dos maiores números probabelmente primos
The prime puzzles
Primes de WIMS é un xerador online de números primos.
12 digit primes Factores primos coñecidos de 12-díxitos de Googolplex

[1] Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. pp. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3.

[2] Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (2nd ed.). Prentice Hall. Problem 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.

[3] Gelfand, Israel M.; Shen, Alexander (2003). Álxebra. Springer. p. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7.

[4] Mollin, Richard A. (1997). Fundamental Number Theory with Applications. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. p. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5.

[5] Crandall & Pomerance 2005, libros?id=ZXjHKPS1LEAC&pg=PA Teorema 1.1.5, p. 12.

[neale-18-47-6] Neale 2017, pp. 18, 47.

[7] Green, Ben; Tao, Terence (2008). "Os números primos conteñen progresións aritméticas arbitrariamente longas". Anais de Matemáticas 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT/0404188. doi:10.4007/annals.2008.167.481.

[GIMPS-2024-8] "GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^136279841 − 1". Mersenne Research, Inc. 21 October 2024. Consultado o 21 October 2024.

[9] Sparkes, Matthew (November 2, 2024). "Amateur sleuth finds largest-known prime number". New Scientist: 19.

[10] Bullynck, Maarten (2010). "A history of factor tables with notes on the birth of number theory 1657–1817". Revue d'Histoire des Mathématiques 16 (2): 133–216.

[11] Wagstaff, Samuel S. Jr. (2013). The Joy of Factoring. Student mathematical library 68. American Mathematical Society. p. 191. ISBN 978-1-4704-1048-3.

[12] Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd ed.). Springer. p. 121. ISBN 978-0-387-25282-7.

[13] Farach-Colton, Martín; Tsai, Meng-Tsung (2015). Elbassioni, Khaled; Makino, Kazuhisa, eds. "Algorithms and Computation: 26th International Symposium, ISAAC 2015, Nagoya, Japan, December 9-11, 2015, Proceedings". Lecture Notes in Computer Science 9472. Springer: 677–688. ISBN 978-3-662-48970-3. arXiv:1504.05240. doi:10.1007/978-3-662-48971-0_57.

[14] Greaves, George (2013). Sieves in Number Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43. Springer. p. 1. ISBN 978-3-662-04658-6.

[hromkovic-15] Hromkovič, Juraj (2001). Algorithmics for Hard Problems. Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series. Springer-Verlag, Berlin. pp. 383–385. ISBN 978-3-540-66860-2. MR 1843669. doi:10.1007/978-3-662-04616-6.

[koblitz-17] 16,0 ^16,1 Koblitz, Neal (1987). "Chapter V. Primality and Factoring". A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics 114. Springer-Verlag, New York. pp. 112–149. ISBN 978-0-387-96576-5. MR 910297. doi:10.1007/978-1-4684-0310-7_5.

[18] Pieprzyk, Josef; Hardjono, Thomas; Seberry, Jennifer (2013). "2.3.9 Probabilistic Computations". Fundamentals of Computer Security. Springer. pp. 51–52. ISBN 978-3-662-07324-7.

[tao-aks-19] Tao, Terence (2010). "1.11 The AKS primality test". An epsilon of room, II: Pages from year three of a mathematical blog. Graduate Studies in Mathematics 117. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 82–86. ISBN 978-0-8218-5280-4. MR 2780010. doi:10.1090/gsm/117.

[20] Lenstra, H. W. Jr.; Pomerance, Carl (2019). "Primality testing with Gaussian periods" (PDF). Journal of the European Mathematical Society 21 (4): 1229–1269. MR 3941463. doi:10.4171/JEMS/861. hdl:21.11116/0000-0005-717D-0.

[morain-21] Morain, F. (2007). "Implementing the asymptotically fast version of the elliptic curve primality proving algorithm". Mathematics of Computation 76 (257): 493–505. Bibcode:2007MaCom..76..493M. MR 2261033. arXiv:math/0502097. doi:10.1090/S0025-5718-06-01890-4.

[PSW-22] Pomerance, Carl; Selfridge, John L.; Wagstaff, Jr., Samuel S. (July 1980). "The pseudoprimes to 25·10⁹" (PDF). Mathematics of Computation 35 (151): 1003–1026. JSTOR 2006210. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7.

[lpsp-23] Baillie, Robert; Wagstaff, Jr., Samuel S. (October 1980). "Lucas Pseudoprimes" (PDF). Mathematics of Computation 35 (152): 1391–1417. JSTOR 2006406. MR 583518. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6.

[monier-24] 23,0 ^23,1 Monier, Louis (1980). "Evaluation and comparison of two efficient probabilistic primality testing algorithms". Theoretical Computer Science 12 (1): 97–108. MR 582244. doi:10.1016/0304-3975(80)90007-9.

[25] Lauritzen, Niels (2003). Concrete Abstract Algebra: From numbers to Gröbner bases. Cambridge: Cambridge University Press. p. 127. ISBN 978-0-521-53410-9. MR 2014325. doi:10.1017/CBO9780511804229.

[26] Lauritzen 2003, Corolario 3.5.14, p. 133; Lema 3.5.18, páx. 136.

[27] Kraft & Washington 2014, Sección 12.1, Sumas de dous cadrados, páxs. 297–301.

[28] Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics 150. Berlin; New York: Springer-Verlag. Section 3.3. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1.

[29] Shafarevich, Igor R. (2013). "Definition of Spec A</math>". Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (3rd ed.). Springer, Heidelberg. p. 5. ISBN 978-3-642-38009-9. MR 3100288. doi:10.1007/978-3-642-38010-5.

[16] Nesta proba, en $\pm 1$ o termo é negativo se $a$ é un cadrado módulo do (suposto) primo $p$ , e positivo se non. De forma máis xeral, para valores non primos de $p$ , o termo $\pm 1$ é o Símbolo de Jacobi (negado), que se pode calcular mediante a reciprocidade cadrática.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[a]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]