Análise complexa

A análise complexa (ou teoría das funcións de variable complexa) é a rama das matemáticas que en parte investiga as funcións holomorfas, tamén chamadas funcións analíticas. Unha función é holomorfa nunha rexión aberta do plano complexo se está definida nesta rexión, toma valores complexos e por último é diferenciable en cada punto desta rexión aberta con derivadas continuas.

Gráfico da función f(z)=(z²-1)(z-2-i)²/(z²+2+2i). A coloración representa o argumento da función, mentres que o brillo representa o módulo.

O feito de que unha función complexa sexa diferenciable no sentido complexo ten consecuencias moito máis fortes que a diferenciabilidade usual nos reais. Por exemplo, toda función holomorfa pode representarse como unha serie de potencias nalgún disco aberto onde a serie converxe á función. Se a serie de potencias converxe en todo o plano complexo dise que a función é enteira. Unha definición relacionada coa función holomorfa é a función analítica: unha función complexa sobre os complexos que pode ser representada como unha serie de potencias. De modo que toda función holomorfa tamén cumpre a definición de función analítica pero non toda función analítica é holomorfa. En particular, as funcións holomorfas son infinitamente diferenciables, un feito que é marcadamente diferente do que ocorre nas funcións reais diferenciables. A maioría das funcións elementais como por exemplo algúns polinomios, a función exponencial e as funcións trigonométricas, son holomorfas.

Historia

Augustin Louis Cauchy, un dos grandes precursores da análise complexa.

A análise complexa é unha das ramas clásicas das matemáticas que ten as súas raíces alén do século XIX. Os nomes destacados no seu desenvolvemento son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass e outros no século XX. Tradicionalmente, a análise complexa, en particular a teoría das aplicacións conformes, ten moitas aplicacións en enxeñaría, pero é amplamente empregada tamén na teoría de números analítica. En tempos modernos se converteuse en popular grazas ao pulo da dinámica complexa e os debuxos de fractais, producidos pola iteración de funcións holomorfas, dos cales o máis popular é o conxunto de Mandelbrot. Outras aplicacións importantes da análise complexa son as da teoría de cordas, unha teoría de campos cuánticos conforme-invariante.

Resultados principais

Integrais de veciñanza

Unha ferramenta de grande importancia na análise complexa é a integral de veciñanza. A integral dunha función que sexa holomorfa sobre e no interior dun camiño pechado é sempre cero (teorema integral de Cauchy). Os valores dunha función holomorfa dentro dun disco poden averiguarse mediante unha integral de veciñanza sobre a fronteira do disco (fórmula integral de Cauchy). As integrais de veciñanza no plano complexo empréganse habitualmente para encontrar integrais reais complicadas, e para isto é útil a teoría dos residuos. Se unha función ten unha singularidade nalgún punto (ou nun número finitos deles), que quere dicir que os seus valores "estalan", que non ten un valor finito en tales puntos, entón pódese definir o residuo da función nesa singularidade, e estes residuos poden empregarse para calcular integrais aparentemente difíciles dunha maneira sinxela, este é o contido do poderoso teorema dos residuos. O curioso comportamento das funcións holomorfas preto das singularidades esenciais descríbese co teorema de Weierstrass-Casorati. As funcións que teñen só polos (un tipo de singularidade de funcións racionais onde o polinomio denominador ten un número finito de ceros) e non singularidades esenciais chámanse meromorfas.

Series de Laurent

As series de Laurent son similares ás series de Taylor pero poden empregarse para estudar o comportamento das funcións preto das singularidades.

Teorema de Liouville

Unha función limitada que sexa holomorfa no plano complexo debe ser constante; isto é o Teorema de Liouville, que pode empregarse para dar unha proba natural e breve do teorema fundamental da álxebra, que di que o corpo dos números complexos é un corpo alxebricamente pechado.

Continuación analítica

Unha propiedade importante das funcións holomorfas é que se unha función o é nun dominio simplemente conexo entón os seus valores están completamente determinados polos seus valores sobre calquera subdominio máis pequeno. A función sobre o dominio máis grande diría que está analiticamente continuada, que é a continuación dende os seus valores no dominio máis pequeno. Isto permite estender, a case todo o plano, a definición de funcións como a función ζ de Riemann que están inicialmente definidas en termos de sumas infinitas que converxen só sobre dominios limitados. Algunhas veces, como no caso do logaritmo natural, é imposible continuar analiticamente unha función holomorfa a un dominio conexo non simple no plano complexo, pero é posible estendela a unha función holomorfa sobre unha superficie intimamente relacionada coñecida como superficie de Riemann.

Outros

Existe tamén unha rica teoría no caso de máis dunha dimensión complexa, onde as propiedades analíticas como as de expansión en series de potencias permanece aínda certa pero que porén a maioría das propiedades xeométricas das funcións nunha dimensión complexa (como a de transformación conforme) xa non o son. O teorema de representación conforme de Riemann sobre as relacións conformes de certos dominios no plano complexo, que pode ser o resultado máis importante na teoría unidimensional, falla totalmente en dimensións maiores.

Véxase tamén

Bibliografía

• Rudin, W., Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).

Outros artigos

• Análise real
• Múltiples variables complexas
• Dinámica holomorfa
• Feixe holomorfo
• Fibrado vectorial

Ligazóns externas

• Complex Analysis en MathWorld