Superficie de Riemann

En xeometría alxébrica, unha superficie de Riemann é unha variedade complexa de dimensión (complexa) un. Consecuentemente, a variedade real subxacente será de dimensión 2.

Superficie de Riemann que aparece ao estender o dominio da función $f(z)={\sqrt {z}}$

Historia

O desenvolvemento da idea de superficie de Riemann comezou a mediados do século XIX da man do matemático Bernhard Riemann, cos intentos de estender o dominio de definición de funcións analíticas $f:U\to \mathbb {C}$ definidas sobre un aberto U do plano complexo. A extensión maximal (extensión analítica) lógrabase non sobre o propio plano complexo, senón sobre copias de abertos do mesmo que se solapaban, no que se coñece como variedade complexa de dimensión un.

Concepto

Unha variedade real de dimensión 2 pode converterse nunha superficie de Riemann (frecuentemente de varios modos non equivalentes) se e só se é orientable. Deste modo, a esfera e o toro admitirán estruturas complexas, pero a faixa de Möbius, a garrafa de Klein e o plano proxectivo real non.

Sábese que a 2-esfera ten unha soa estrutura analítica. Mentres que cada superficie orientable de xénero maior que cero ten unha infinidade, contrastando co punto de vista diferenciable xa que as superficies só teñen unha estrutura diferenciable.

As superficies de Riemann constitúen o lugar natural onde estudar o comportamento global de numerosas funcións (por exemplo, $f(z)={\sqrt {(}}z)$ , $f(z)=\log(z)$).

Exemplos

• Sexa S = C ∪ {∞} e sexa f(z) = z onde z pertence a S \ {∞} e g(z) = 1 / z onde z pertence a S \ {0} e 1/∞ defínese como 0. Así definidas, f e g son cartas complexas compatibles, e { f, g } é un atlas para S, convertendo S nunha superficie de Riemann compacta chamada esfera de Riemann.
• Sexa G un grupo de biholomorfismos dunha superficie de Riemann $X$, que actúa de modo libre e propiamente descontinuo, entón o espazo cociente $e$ é unha superficie de Riemann e a proxección p: $X\to e$ é unha aplicación que a recobre.

Por exemplo, $G$ pode ser un grupo de translacións do plano complexo,¡. Sexa $G$ o grupo xerado por dúas translacións independentes, por exemplo:

$T:z\to z+1,\quad U:z\to z+a$

onde a é un número complexo non real. O espazo cociente será homeomorfo ao toro, a topoloxía non dependerá da elección de a (é sempre un toro), pero a estrutura complexa cambia sensiblemente ao variar a.

• Numerosos exemplos de superficies de Riemann non compactas obtense polo procedemento de extensión analítica.

• 
  $f(z)=\arcsin z,\!$
• 
  $f(z)=\log z,\!$
• 
  $f(z)=z^{\frac {1}{3}}$
• 
  $f(z)=z^{\frac {1}{4}}$

Funcións

Toda superficie de Riemann non compacta admite funcións holomorfas non constantes.

Isto contrasta con que nunha superficie de Riemann compacta toda función holomorfa é constante debido ao principio do máximo. Porén, en superficies compactas sempre existirán funcións meromorfas non constantes, que poden considerarse como aplicacións holomorfas da superficie sobre a esfera de Riemann C ∪ {∞}).

Clasificación de superficies de Riemann

O conxunto de superficies de Riemann pode dividirse en tres tipos: as superficies hiperbólicas, as parabólicas e as elípticas. Esta división vén dada polo teorema de uniformización, que garante que toda superficie de Riemann simplemente conexa é conformemente equivalente a unha das seguintes:

• ao plano complexo $\mathbb {C}$
• á esfera de Rieman $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$, tamén chamada liña proxectiva complexa $P^{1}\mathbb {C}$ ou
• ao disco aberto D := {z ∈ C : |z| < 1} ou á superficie equivalente formada polo semiplano superior H := {z ∈ C : Im(z) > 0}.

En caso de que a superficie X non sexa simplemente conexa, pódese afirmar que o seu recubrimento universal Y é conformemente equivalente a un dos tres modelos anteriores. Nese caso, a superficie X poderá obeterse como o espazo cociente de Y baixo a acción dun grupo de biholomorfismos do recubrimento Y que actúe de modo libre (é dicir, sen puntos fixos) e propiamente descontinuo.

• Cocientes da esfera (superficies elípticas). Os biholomorfismos da esfera son exactamente as transformacións de Möbius. Como unha transformación de Möbius sempre deixa un punto fixo, non se obtén ningún cociente da esfera.
• Cocientes do plano (superficies parabólicas). Os biholomorfismos do plano complexo que actúan de modo libre e propiamente descontinuo son as translacións, en concreto os grupos de translacións cun ou dous xeradores, isomorfos a $\mathbb {Z}$ ou a $\mathbb {Z} +\mathbb {Z}$. Os cocientes respectivos son topoloxicamente equivalentes a unha coroa circular ou a un toro. Ao ser as translacións isometrías respecto da métrica plana do plano, inducen unha métrica plana no cociente.
• Cocientes do disco (superficies hiperbólicas)

Un grupo de biholomorfismos do disco que actúe de modo libre e propiamente descontinuo chámase grupo Fuchsiano. Existen numerosos grupos Fuchsianos e o seu estudo é unha rama importante da xeometría moderna.

Como todo biholomorfismo do disco resulta ser unha isometría da métrica hiperbólica do disco unidade, tamén coñecida como métrica de Poincaré, indúcese unha métrica hiperbólica no cociente.

Véxase tamén

Bibliografía

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, Nova York. ISBN 0-387-90465-4
• Jürgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, Nova York. ISBN 3-540-43299-X
• Artigo Riemann surface en Encyclopaedia of Mathematics