Xeometría alxébrica

A xeometría alxébrica é unha rama das matemáticas que combina a álxebra abstracta, especialmente a álxebra conmutativa, coa xeometría analítica. Pódese comprender como o estudo dos conxuntos de solucións dos sistemas de ecuacións alxébricas. Cando hai máis dunha variable, aparecen as consideracións xeométricas que son importantes para entender o fenómeno. Pódese dicir que a materia en cuestión comeza cando se abandona a simple solución de ecuacións, e o tema de "entender" todas as solucións é tan importante como o de atopar algunha solución, o cal leva a unha maior profundiade tanto conceptual como técnica do mundo da matemática.

Conceptos básicos

Ceros de polinomios simultáneos

Na xeometría alxébrica clásica, o principal obxecto de interese son os conxuntos onde se anula certa colección de polinomios, é dicir, o conxunto de todos os puntos que satisfán simultaneamente unha ou máis ecuacións polinómicas. Por exemplo, a esfera de dúas dimensións no espazo euclidiano de tres dimensións ℝ³ pódese definir como o conxunto de todos os puntos (x, y, z) tales que

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0$

Un círculo "inclinado" en ℝ³ pódese definir como o conxunto de todos os puntos (x, y, z) que satisfán as dúas ecuacións polinómicas seguintes:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0$

$x+y+z=0$

Variedades afíns

Considérese un corpo k. En xeometría alxébrica clásica, este corpo foi sempre ℂ, os números complexos, pero moitos dos resultados son tamén certos se só se asume que k é alxebricamente pechado. Defínese ${\mathbb {A} }_{k}^{n}$, chamado n-espazo afín sobre k, como kⁿ. Usarase esta notación pois non sempre se traballará cun corpo k. Abstractamente falando, ${\mathbb {A} }_{k}^{n}$ é, de momento, soamente unha colección de puntos. Polo tanto eliminarase a letra k en ${\mathbb {A} }_{k}^{n}$ e escribirase ${\mathbb {A} }^{n}$.

Dise que unha función $f:{\mathbb {A} }^{n}\to {\mathbb {A} }^{1}$ é regular se pode escribirse mediante un polinomio, isto é, se existe un polinomio p sobre k [x₁,...,x_n] tal que para cada punto (t₁,...,t_n) de ${\mathbb {A} }^{n}$, f(t₁,...,t_n)=p(t₁,...,t_n). As funcións regulares sobre o n-espazo afín son desta maneira, igual que os polinomios sobre k en n variables. Escríbense as funcións regulares sobre ${\mathbb {A} }^{n}$ como $k[{\mathbb {A} }^{n}]$.

Dise que un polinomio se anula nun punto se ao avalialo nel o resultado é cero. Sexa S un conxunto de polinomios en $k[{\mathbb {A} }^{n}]$. O conxunto anulador de S (ou locus anulador) é o conxunto V(S) de todos os puntos en $\mathbb {A} ^{n}$ onde cada polinomio de S se anula. Noutras palabras,

$V(S)=\{u\in {\mathbb {A} }^{n}|\forall P\in S,P(u)=0\}$

Un subconxunto de ${\mathbb {A} }^{n}$ que é un V(S) para algún S chámase conxunto alxébrico afín. O V refírese á inicial de variedade. En moitos textos non existe diferenza entre variedade alxébrica afín e conxunto alxébricso afín; con todo é usual referirse a V(S) como variedade alxébrica afín cando non se pode expresar como unión de dous subconxuntos alxébricos afíns propios (contidos no sentido estrito). En calquera caso, esta última definición coincide coa de conxunto alxébrico afín irreducible. De forma que, en determinados textos, as nocións de variedade e irreducibilidade son equivalentes.

Dado un conxunto V de ${\mathbb {A} }^{n}$ do que se sabe que é unha variedade, sería desexable determinar o conxunto de polinomios que o xera, aínda que se fai unha definición para un caso máis xeral: se V é calquera subconxunto de ${\mathbb {A} }^{n}$ (non necesariamente unha variedade), defínese I(V) como o conxunto de todos os polinomios cuxo conxunto anulador contén V. O I esta vez é por ideal: se se teñen dous polinomios f e g e os dous se anulan en V, entón f+g tamén se anula en V, e se h é calquera polinomio, entón hf anúlase en V, así que I(V) é sempre un ideal de $k[{\mathbb {A} }^{n}]$.

As dúas cuestións que se formulan agora son: se se ten un subconxunto V de ${\mathbb {A} }^{n}$, cando é V=V(I(V))? E, se se ten un conxunto de polinomios, S, cando é S=I(V(S))? A resposta á primeira cuestión provea a introdución da topoloxía de Zariski, unha topoloxía en ${\mathbb {A} }^{n}$ que reflicte directamente a estrutura alxébrica de $k[{\mathbb {A} }^{n}]$. Entón V=V(I(V)) se e só se V é un conxunto Zariski-pechado. A resposta á segunda cuestión vén dada pola Hilbert Nullstellensatz. Nunha das súas formas, di que S=I(V(S)) é o ideal radical do ideal xerado por S.

Por varias razóns non sempre se quere traballar con todo o ideal correspondente a un conxunto alxébrico V. O teorema da base de Hilbert implica que os ideais en $k[{\mathbb {A} }^{n}]$ sempre se xeran finitamente.

Entón tense que un conxunto alxébrico é unha irreducible (ou nalgúns casos simplemente variedade) se e só se os polinomios que o definen xeran un ideal primo do anel de polinomios.

Funcións regulares

Do mesmo xeito que as funcións continuas son as aplicacións naturais nos espazos topolóxicos e as funcións suaves son as aplicacións (morfismos) naturais nas variedades diferenciables, existe unha clase natural de funcións sobre un conxunto alxébrico, chamadas regulares. Unha función regular sobre un conxunto alxébrico V contido en ${\mathbb {A} }^{n}$ está definida como a restrición dunha función regular en ${\mathbb {A} }^{n}$, no sentido definido arriba.

Pode parecer contranaturalmente restritivo requirir que unha función regular sempre se estenda ao espazo ambiente, pero esta situación é moi similar á que se dá nun espazo topolóxico normal, onde o teorema de extensión de Tietze garante que unha función continua nun subconxunto pechado sempre pode estenderse ao espazo topolóxico ambiente.

Do mesmo xeito que as funcións regulares nun espazo afín, as funcións regulares en V forman un anel, que se denota como k[V]. Este anel chámaselle o anel coordenado de V.

Xa que as funcións regulares en V proveñen das funcións regulares en ${\mathbb {A} }^{n}$, debería haber unha relación entre os seus aneis coordenados. Especificamente, collendo unha función de k[V] estase a facelo en $k[{\mathbb {A} }^{n}]$, e díxose que era a mesma que outra función se daban os mesmos valores cando se avalían en V. Isto é o mesmo que dicir que a súa diferenza é cero en V. Disto pódese ver que k[V] é o cociente $k[{\mathbb {A} }^{n}]/I(V)$.

Morfismos de variedades afíns

Usando as funcións regulares desde unha variedade afín a ${\mathbb {A} }^{1}$, pódense definir as funcións regulares dunha variedade afín a outra. Primeiro defínese unha función regular dunha variedade a un espazo afín: sexa V unha variedade contida en ${\mathbb {A} }^{n}$. Escóllense m funcións regulares en V, chamadas f₁,...,f_m. Defínese unha función regular f de V a ${\mathbb {A} }^{m}$ mediante f(t₁,...,t_n)=(f₁,...,f_m). Noutras palabras, cada f_i determina unha coordenada do percorrido de f.

Se V é unha variedade contida en ${\mathbb {A} }^{m}$, dise que f é unha función regular de V a V' se o percorrido de f está contido en V.

Isto converte a colección de todas as variedades afíns nunha categoría, na que os obxectos son variedades afíns e con morfismos que son as aplicacións regulares. O teorema seguinte caracteriza esta categoría:

A categoría de variedades afíns é a dual da categoría das k-álxebras reducidas e finitamente xeradas, e os seus homomorfismos.

Variedades proxectivas

Considérese a variedade V(y=x²). Se se debuxa nun sistema de coordenadas cartesianas obtense unha parábola. Segundo x crece, vese que a pendente da liña que vai dende a orixe até o punto (x, x²) faise máis e máis grande. Segundo x decrece, a pendente da mesma faise máis e máis pequena.

Pódese comparar isto coa variedade V(y=x³), que é unha ecuación cúbica. Segundo x crece, a pendente da liña dende a orixe até o punto (x, x³) faise maior, como antes. Pero, ao contrario que na anterior, segundo x decrece, a pendente da mesma liña faise maior. Así que o comportamento "ao infinito" de V(y=x³) é diferente do de V(y=x²). Con todo, é difícil dar sentido ao concepto de "ao infinito", se se está restrinxido ao espazo afín.

A solución a este problema é traballar no espazo proxectivo, que ten propiedades análogas ás dun espazo de Hausdorff compacto. Entre outras cousas, permite facer precisa a noción de "ao infinito" mediante a inclusión de puntos extra. O comportamento dunha variedade naqueles puntos extra dá máis información sobre ela, e vese que V(y=x³) ten unha singularidade nun daqueles puntos extra, pero V(y=x²) é suave.

Os primeiros xeómetras alxébricos déronse de conta rapidamente de que o espazo proxectivo tiña propiedades moito mellores que o afín ordinario. Por exemplo, o teorema de Bézout sobre o número de puntos de intersección entre dúas variedades pode ser mostrado na súa forma máis afiada só no espazo proxectivo. Por esta razón, este espazo ten un papel fundamental na xeometría alxébrica.

O punto de vista moderno

O estudo moderno da xeometría alxébrica redefine os obxectos básicos do seu estudo. As variedades quedan subsumidas no concepto de esquema, de Alexander Grothendieck. Este vén da observación de que se as k-álxebras reducidas finitamente xeradas son obxectos xeométricos, entón quizais calquera anel conmutativo podería selo. Como se comproba así, este é un novo punto de vista moi frutífero, e é a base para toda a investigación moderna en xeometría alxébrica.

Exemplos

Unha clase importante de variedades son as variedades abelianas, que son aquelas con puntos que forman un grupo.

Os exemplos prototípicos son as curvas elípticas, que foron un instrumento fundamental para a proba do último teorema de Fermat e úsanse tamén en criptografía de curvas elípticas.

Mentres que moita da xeometría alxébrica trata de proposicións abstractas e xerais sobre variedades, tamén se desenvolveron os métodos para a computación efectiva con polinomios concretos dados. A técnica máis importante é a das bases de Gröbner, que se emprega en todos os sistemas de álxebra computacional.

Historia

As raíces da xeometría alxébrica chegan ata o traballo dos matemáticos gregos do século V a.C. O problema de Delos, por exemplo, consistía en construír unha lonxitude x para que o cubo de lado x teña o mesmo volume que a caixa rectangular a²b para a e b dados. Menaechmus (circa 350 a.C.) considerou o problema xeometricamente intersecando un par de cónicas planas ay = x² e xy = ab. En traballos posteriores, no século III a.C., Arquímedes e Apolonio estudaron máis sistematicamente problemas de seccións cónicas, e tamén se involucraron no uso de coordenadas. Os matemáticos islámicos conseguiron resolver por métodos puramente alxébricos algunhas ecuacións cúbicas e interpretaron os resultados xeometricamente, como fixo Ibn al-Haytham no século X. Posteriormente o persa Omar Khayyám descubriu o método xeral para resolver ecuacións cúbicas coa intersección dunha parábola cun círculo. Cada un destes desenvolvementos proporcionou preguntas e descubrimentos na intersección das curvas alxébricas.

A moderna xeometría alxébrica foi desenvolvida enormemente polos geómetras italianos a principios do século XX. Enriques clasificou as superficies alxébricas agás os isomorfismos birracionais. O estilo deste grupo de matemáticos foi moi intuitivo e non tiña o rigor moderno.

Sobre as décadas de 1930 e 1940, Oscar Zariski, André Weil e outros déronse de conta de que esta disciplina necesitaba refundarse mediante a álxebra conmutativa. A álxebra conmutativa (como o estudo dos aneis conmutativos e os seus ideais) fora e foi desenvolvida por David Hilbert, Max Noether, Emanuel Lasker, Emmy Noether, Wolfgang Krull e outros. Antes deles non existían fundamentos estándar para a xeometría alxébrica.

Nos anos 1950 e 1960, Jean-Pierre Serre e Alexander Grothendieck refixeron a fundamentación facendo uso da teoría de feixes. Máis tarde, ao redor de 1960, desenvolveuse a idea dos esquemas, conxuntamente co refinado aparello da álxebra homolóxica. Tras unha década de rápido desenvolvemento, o campo estabilizouse na década de 1970, e xurdiron aplicacións na teoría de números e nas máis clásicas cuestións xeométricas de variedades alxébricas, singularidades e módulos.

Véxase tamén

Bibliografía

• Garrity, Thomas; et al. (2013). Algebraic Geometry A Problem Solving Approach. American Mathematical Society. ISBN 0-821-89396-3. 
• Griffiths, Phillip; Harris, Joe (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8. Zbl 0836.14001. 
• Harris, Joe (1995). Algebraic Geometry A First Course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97716-3. Zbl 0779.14001. 
• Mumford, David (1995). Algebraic Geometry I Complex Projective Varieties (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-58657-1. Zbl 0821.14001. 
• Reid, Miles (1988). Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-35662-8. Zbl 0701.14001. 
• Shafarevich, Igor (1995). Basic Algebraic Geometry I Varieties in Projective Space (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-54812-2. Zbl 0797.14001. 

Ligazóns externas

• Foundations of Algebraic Geometry por Ravi Vakil, 764 pp.
• Algebraic geometry Arquivado 15 de abril de 2004 en Wayback Machine. en PlanetMath
• Tradución ao inglés do libro de van der Waerden
• The History of Algebraic Geometry (1.425 Gigabyte MOV file), conferencia de Jean Dieudonné (1972)
• The Stacks Project