Abrir o menú principal

Un número complexo pode representarse xeometricamente no plano complexo ("Re" é o eixe real, "Im" é o eixe imaxinario e "i" é a unidade imaxinaria que satisfai a ecuación i2=-1). A representación do número complexo a+bi é o vector que comeza na orixe e remata no punto (a,b).

Os números complexos son unha extensión dos números reais, cumpríndose que . Os números complexos representan todas as raíces dos polinomios, a diferenza dos reais.

Os números complexos son a ferramenta de traballo da álxebra ordinaria, chamada álxebra dos números complexos, así como de ramas das matemáticas puras e aplicadas como variábel complexa, aerodinámica e electromagnetismo entre outras de grande importancia.

Conteñen os números reais e os imaxinarios puros e constitúen posibelmente unha das construcións teóricas máis dignas da intelixencia humana. Os análogos do cálculo diferencial e integral con números complexos reciben o nome de análise complexa.

Índice

DefiniciónEditar

Definirase un complexo z como un par ordenado de números reais (a, b) = (Re(z), Im(z)), no que se definen as seguintes operacións:

  • Suma

Suma de parte real, suma de parte imaxinaria:

 
  • Multiplicación

Produto da parte real da primeira compoñente menos o produto da parte imaxinaria da segunda compoñente, produto da parte real da primeira compoñente pola parte imaxinaria da segunda compoñente máis o produto da parte imaxinaria da primeira compoñente pola parte real da segunda compoñente:

 
  • Igualdade
 

A primeira compoñente (a) chámase parte real e a segunda (b), parte imaxinaria. Se un número ten apenas parte imaxinaria dise que é imaxinario puro.

Do xeito en que foron definidos, os números complexos forman un corpo, o corpo complexo, denotado por C (ou máis apropiadamente polo carácter unicode ℂ ). Se identificar o número real a co complexo (a, 0), o corpo dos números reais R aparecerá como un subcorpo de C. Alén diso, C forma un espazo vectorial de dimensión 2 sobre os reais. Os complexos non poden ser ordenados como, por exemplo, os números reais: C non pode ser convertido de ningún xeito nun corpo ordenado.

Unidade imaxinariaEditar

Tendo en conta que  , é definido un número especial na Matemática de grande importancia, o número i ou unidade imaxinaria, definido como

 

Logo,

 

Representación binomialEditar

Cada complexo é representado en forma binomial como:

 

a é a parte real do número complexo z, e b é a súa parte imaxinaria. Isto é expresado así:

 

 

Forma polarEditar

Un xeito alternativo de definir un punto P no plano complexo en vez de empregar as coordenadas x e y, é empregar a distancia do punto ao O, punto con coordenadas (0, 0) (a orixe), xunto co ángulo entre o eixo positivo real e o segmento OP no sentido positivo (contrario ás agullas do reloxo). Isto conduce á idea da forma polar dos números complexos.

O módulo dun número complexo   é

 

Se z é un número real (é dicir,  ), entón r = | x|. En xeral, polo teorema de Pitágoras, r é a distancia entre o punto P que representa o número complexo z e a orixe. O cadrado do módulo é

 

onde   é o conxugado de  .

O argumento de z é o ángulo que forma o raio OP co eixo real positivo. Escríbese  . Ao igual que o módulo, o argumento pode ser calculado a partir da forma binomial  :[1]

 

O valor de φ adoita ser expresado en radiáns. Habitualmente dáse o valor principal no intervalo (−π, π]. O argumento do número complexo 0 é indeterminado, mais é común escoller arbitrariamente 0.

O valor de φ coincide co resultado da arcotanxente:  .

Os valores r e φ dan outra representación dos complexos, coñecida como forma polar, como combinación do módulo e o argumento. Relacionando ambas as expresións pode considerarse a chamada "forma trigonométrica"

 

Usando a identidade de Euler pode escribirse

 

Sinopse históricaEditar

A primeira referencia coñecida a raíces cadradas de números negativos provén do traballo dos matemáticos gregos, como Herón da Alexandría no século I a. C. como resultado dunha imposíbel sección dunha pirámide.

Os complexos fixéronse máis patentes no século XVI, cando matemáticos italianos como Tartaglia e Cardano investigaron fórmulas que desen as raíces exactas dos polinomios de graos 2 e 3. Malia só estaren interesados nas raíces reais deste tipo de ecuacións, encontrábanse coa necesidade de traballaren con raíces de números negativos. O termo imaxinario para estas cantidades foi acuñado por Descartes no século XVII e está en desuso.

A existencia de números complexos non foi completamente aceptada ata a interpretación xeométrica que foi descrita por Wessel en 1799, redescuberta algúns anos despois e popularizada por Gauss. A implementación máis formal, con pares de números reais, foi dada no século XIX.

Estrutura alxébricaEditar

O conxunto dos números complexos ten estrutura de corpo:

  • Dous números complexos calquera poden sumarse e multiplicarse e o resultado é un número complexo.
  • Todos os números complexos z teñen un oposto (-z).
  • Todos os números complexos diferentes do 0 teñen inverso.

Ademais, estas dúas operacións cumpren a propiedade conmutativa.

NotasEditar

  1. Kasana, H.S. (2005). "1". Complex Variables: Theory And Applications (2ª ed.). PHI Learning Pvt. Ltd. p. 14. ISBN 81-203-2641-5. 

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar

Outros artigosEditar

Ligazóns externasEditar


 
 Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.
 Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.