Ecuación

Unha ecuación é toda igualdade entre dúas expresións matemáticas, denominadas membros e separadas polo signo igual, nas que aparecen elementos coñecidos e datos descoñecidos ou incógnitas, relacionados mediante operacións matemáticas. Os valores coñecidos poden ser números, coeficientes ou constantes, tamén variables e mesmo obxectos complexos como funcións ou vectores; os elementos descoñecidos poden estar determinados mediante outras ecuacións dun sistema ou algún outro procedemento de resolución de ecuacións. As incógnitas, representadas xeralmente por letras, constitúen os valores que se pretenden calcular (en ecuacións complexas, como sucede nas ecuacións diferenciais, no canto de valores numéricos poderían tratarse de elementos dun certo conxunto abstracto). Por exemplo, na ecucación alxébrica seguinte:

Un sistema dinámico corresponde a un tipo particular de ecuación, cuxas solucións son funcións. O comportamento límite é ás veces complexo. Nalgúns casos, caracterízase por unha curiosa figura xeométrica, denominada atractor estraño.

$\overbrace {3x-1} ^{\text{primeiro membro}}=\overbrace {9+x} ^{\text{segundo membro}}$

a variable $x$ representa a incógnita, mentres que o coeficiente 3 e os números 1 e 9 son constantes coñecidas. A igualdade formulada por unha ecuación será certa ou falsa dependendo dos valores numéricos que tomen as incógnitas; pódese afirmar entón que unha ecuación é unha igualdade condicional, na que só certos valores das variables (incógnitas) fana certa.

Chámase solución dunha ecuación a calquera valor individual de ditas variables que a satisfán. Para o caso dado, a solución (neste caso, única) é:

$x=5$

No caso de que todo valor posible da incógnita faga cumprir a igualdade, a expresión chámase identidade. Se no canto dunha igualdade se trata dunha desigualdade entre dúas expresións matemáticas, denomínase inecuación.

O símbolo «=», que aparece en cada ecuación, foi inventado en 1557 por Robert Recorde, ao considerar que non había nada máis igual que dúas líñas rectas paralelas da mesma lonxitude.

Unha ecuación escríbese como dúas expresións, conectadas por un signo igual ("="). As expresións nos dous lados do signo igual denomínanse "primeiro membro" ou "esquerdo" e "segundo membro" ou "dereito" da ecuación, aínda que se poden permutar. Con moita frecuencia supónse que o segundo membro da ecuación é cero. Isto non reduce a xeneralidade, pois se pode realizar simplemente restando de ambos membros o dereito.

Tipos de ecuacións

As ecuacións adoitan clasificarse segundo o tipo de operacións necesarias para definir, e segundo o conxunto de números sobre o que se busca a solución. Entre os tipos máis comúns están as:

• Alxébricas, que son aquelas cuxa expresión é unha igualdade entre dous polinomios con coeficientes racionais e, polo menos, un deles non nulo, como no exemplo: $x^{3}y+4x-y=2xy\,\!$. Mediante as mesmas transformacións en ambos membros da ecuación e na mesma orde, a ecuación pódese reducir á forma $P(x)=0$, onde $P(x)$ é un polinomio non nulo con coeficientes racionais; volvendo ao exemplo anterior, a ecuación resultaría ser $x^{3}y+4x-y-2xy=0\,\!$. As ecuacións alxébricas tamén reciben o nome de ecuacións polinómicas, aínda que hai autores que prefiren reservar este termo para as ecuacións polinómicas con varias variables, deixando o termo de ecuacións alxébricas para as ecuacións polinómicas dunha soa variable. Segundo o grao do polinomio, as ecuacións alxébricas poden ser:
  • De primeiro grao, chamadas tamén lineais cando son dunha variable.
  • De segundo grao ou tamén cuadráticas cando son dunha variable.
  • De terceiro grao ou no caso de seren dunha soa variable, tamén chamadas cúbicas.
  • De cuarto grao, de quinto grao, etc.
• Diofantianas ou diofánticas, cuxos coeficientes son números enteiros e das que so interesan as solucións enteiras. Poden considerarse como un tipo de ecuacións alxébricas cando veñen dadas na forma $P(x)=0$, onde $P(x)$ é un polinomio non nulo con coeficientes enteiros. Porén, hai ecuacións diofantianas cuxa expresión non vén dada por un polinomio, como, por exemplo, as ecuacións diofantianas exponenciais.
• Racionais, aquelas nas que un o ambos membros se expresan como un cociente de polinomios
• Transcendentes, que involucran funcións non polinómicas, como as trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, etc.
• Funcionais, nas que algunhas das constantes e variables que interveñen non son números reais, senón funcións. Se na ecuación aparece algún operador diferencial, chámanse Diferenciais. Estas últimas poden ser:
  • Ordinarias, que conteñen funcións dunha soa variable e as súas derivadas.
  • Parciais ou en derivadas parciais, cando conteñen funcións de varias variables e as súas derivadas parciais.
• Integrais, que son aquelas ecuacións nas que unha función descoñecida aparece no integrando. Existe unha estreita conexión entre as ecuacións integrais e as ecuacións diferenciais, de feito, hai algúns problemas que se poden formular cunha ecuación diferencial ou cunha ecuación integral.

Historia das ecuacións polinómicas

Os primeiros en tratar as ecuacións de primeiro grao foron os árabes, nun libro chamado Tratado da cousa, e á ciencia de facelo, Álxebra (do ár. algabru walmuqābalah, redución e comparanza). A cousa era a incógnita. A primeira tradución foi feita ao latín en España, e como a palabra árabe a cousa soa algo parecido á X española medieval (que ás veces deu o son castelán 'J' e outra X porque o seu son era intermedio, como en México/Méjico, Ximénez/Jiménez), os matemáticos españois chamaron á cousa X e así segue.

Para resolver ecuacións de primeiro e segundo grao, o home non atopou gran dificultade, situación completamente diferente da que ocorreu para ecuacións de grao maior de 2. En efecto, a ecuación xeral de terceiro grao:

... $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,\!$

requiriu consideracións bastante profundas e resistiu todos os esforzos dos matemáticos da antigüidade. Só se puideron resolver a principios do século XVI, no Renacemento en Italia. Aquí presentarase o ambiente existente no descobremento da solución das ecuacións de terceiro grao ou cúbicas. Os homes que perfeccionaron as cúbicas, italianos todos, constituíron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se deu na historia. A maioría deles eran autodidactas, traballaban na contabilidade, en problemas de xuro composto e de seguros.

Téndose elevado por riba do sinxelo cálculo práctico, os grandes alxebristas italianos constituían no seu maior parte un grupo sagaz e oportunista que se atopaba no seu elemento tanto entre tramposos e xogadores de cartas como entre espadachíns ou nas cátedras de Universidade, ás que aspiraban e algunhas veces ocupaban. Para dar publicidade ás súas probas de axilidade mental mantiveron entre si competencias para a solución de problemas. (Algo moi similar ao que facían os hindús séculos antes). Para facer dobremente difícil o seu deporte, algunhas veces facían apostas que depositaban en mans dun terceiro. O ganador leváballo todo. Nesta atmosfera combativa estalou a guerra en torno á ecuación cúbica. A faísca puido ser acendida, sen querer, por un pai Franciscano, Luca Pacioli, quen en 1492 publicou un compendio de álxebra, a "Suma Aritmética". Con ela transmitiu a álxebra inventada ata a data e terminou coa irritante observación de que os matemáticos non poderían aínda solucionar ecuacións cúbicas por métodos alxébricos.

O primeiro home en recoller o desafío de Pacioli en torno ás cúbicas foi Scipio do Ferro, o fillo dun fabricante de papel, que chegou a ser catedrático de matemática na Universidade de Boloña. Tendo atopado a solución xeral para todas as ecuacións cúbicas da forma simplificada $x^{3}+nx=h\,\!$. Do Ferro mantivo en segredo o seu descubrimento, probablemente para confundir aos adversarios durante as competencias. Pero nos seus últimos días confiou a súa solución a un estudante, Antonio Fior, quen a utilizou nunha disputa de álxebra cun rival, Nícolo Fontana, chamado Tartaglia ('tartalla') por mor de que padecía este defecto.

Na época da contenda con Fior, Tartaglia pasara a ser un dos máis sagaces solucionadores de ecuacións de Italia, e ideara unha arma secreta propia: Unha solución xeral para as cúbicas do tipo

$x^{3}+mx^{2}=h\,\!$

Así, cando Fior lle deu un grupo de exemplos específicos do tipo $x^{3}+px+q=0\,\!$, respondeulle con exemplos do tipo $x^{3}+mx^{2}=n\,\!$. Durante o intervalo concedido para obter as respostas, tanto Tartaglia como Fior traballaron arreo, e oito días antes de rematar o prazo, Tartaglia atopou unha solución xeral para as ecuacións do tipo $x^{3}+px=q\,\!$ e en dúas horas resolveu tódalas ecuacións de Fior; desta sorte, cando se acabou o tempo e chegou o día de facer o cómputo, Tartaglia solucionara os problemas de Fior e este non solucionara os de Tartaglia. Como novo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se atopou cun rival máis forte: Gerolamo Cardano, fillo ilexítimo dun avogado e á súa vez pai dun asasino. Cardano era un astrólogo que facía horóscopos para os reis, un médico que visitaba aos seus enfermos e un escritor científico de cuxa pluma emanaron montañas de libros. Foi tamén un xogador inveterano*, sempre balanceándose ao bordo da prisión. Pero Cardano sempre saía ben parado. O Papa outorgoulle unha pensión, solucionándolle así os seus problemas económicos e Cardano, a base de adulacións, obtivo de Tartaglia a solución da ecuación cúbica.

Aínda que Cardano xurou manter secreta a solución de Tartaglia, publicouna uns cantos anos despois, en 1545, nun tratado monumental sobre ecuacións chamado "Ars Magna" (Grande Arte). Tartaglia, que estivera a piques de escribir o seu propio libro, pasou o resto da súa vida maldicindo a Cardano pola súa estafa. No entanto, o libro de Cardano recoñecía o descubrimento de Tartaglia. Tamén no mesmo libro, Cardano fixo pasar á historia a outro matemático: Lodovico Ferran, que morreu á idade de 43 anos envelenado pola súa propia irmá. Así como Tartaglia solucionara a cúbica, da mesma forma Ferran, cando aínda estudaba con Cardano, deu solución das de cuarto grao ou cuárticas (con fórmulas máis complicadas que as de terceiro grao). Ao descubrir a obra de ambos homes, Cardano na súa "Ars Magna" puido dar ao mundo as solucións xerais das cúbicas e as cuárticas, divulgando os dous avances da álxebra máis transcendentais desde a morte de Diofanto, 1300 anos antes.

Na Ars Magna, Cardano aceptou formalmente o concepto dos números negativos e enunciou as leis que os rexen. Tamén anticipou outro tipo novo de número que denominou ficticio ou sofisticado. Tal foi a raíz cadrada dun número negativo, que é máis difícil de comprender que un número negativo propiamente, xa que ningún número real multiplicado por si mesmo dá un número negativo. Na actualidade os matemáticos chaman número imaxinario á raíz cadrada dun número negativo; cando a devandita cantidade combínase cun número real, o resultado chámase número complexo.

Os matemáticos posteriores amosaron que os números complexos poden ter toda clase de aplicacións.

En gran parte debido a Cardano, a matemática saíu do seu paso polas pugnas do Renacemento enormemente enriquecidas. O éxito dos matemáticos italianos produciu un grande efecto. Era a primeira vez en que a ciencia moderna excedera as conquistas dos antigos.

Ata entón, en todo o curso da Idade Media, a achega consistira soamente en entender o traballo dos antigos, e agora finalmente, certas cuestións que os antigos non tiveran éxito en conquistar, foron resoltas. E isto sucedeu no século XVI, un século antes da invención de novas ramas da matemática: a Xeometría analítica, e o Cálculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron a superioridade da nova ciencia sobre a antiga. Logo disto, non houbo matemático importante que non intentase estender as conquistas dos italianos resolvendo ecuacións de quinto, sexto e máis alto grao en forma análoga aos italianos, é dicir, atopando unha fórmula xeral ou como se di actualmente, resolvelas por radicais.

O prominente alxebrista do século XVII, Tschirnhausen (1651-1708) creu atopar un método xeral de solución. O seu método estaba baseado na transformación dunha ecuación a outra máis sinxela; pero esta soa transformación requiría dalgunhas ecuaciones auxiliares.

Máis tarde, cunha análise máis profunda demostrouse que o método de transformación de Tschimhausen, en efecto, dá a solución de ecuacións de segundo, terceiro e cuarto grao, pero para unha ecuación de quinto grao necesítase resolver primeiro unha ecuación auxiliar de sexto grao, cuxa solución non era coñecida.

O famoso matemático francés Lagrange no seu gran traballo "Reflexións sobre a solución de ecuacións alxébricas" publicado en 1770-1771, (con máis de 200 páxinas) examinou de xeito crítico todas as solucións das ecuacións de segundo, terceiro e cuarto grao coñecidas ata a súa época e demostrou que o seu éxito sempre se basea en propiedades que non cumpren ecuacións de quinto grao e superiores.

Desde o tempo de Do Ferro ata este traballo de Lagrange, máis de dous séculos e medio pasaran e ninguén durante este grande intervalo dubidara da posibilidade de resolver ecuacións de quinto grao e maiores por radicais, isto é, de atopar fórmulas que envolven só operacións de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación e raíces con expoñentes enteiros positivos, que poden expresar a solución dunha ecuación en termos dos coeficientes, isto é, fórmulas semellantes a aquela pola que se resolveu a ecuación de segundo grao na antigüidade e a aquelas atopadas polos italianos para as ecuacións de terceiro e cuarto graos. Os matemáticos pensaron que os seus fracasos se debían principalmente á súa propia incapacidade para atopar unha solución. Lagrange di nas súas memorias:

O problema de resolver (por radicais) ecuacións cuxo grao é máis alto que o cuarto é un deses problemas que non foron resoltos aínda que nada proba a imposibilidade de resolvelos.

Lagrange avanzou bastante na teoría das ecuacións alxébricas formalizando o traballo anterior á súa época e descubrindo novas relacións entre esta teoría e outras como a teoría das permutacións. Con todo, malia os seus persistentes esforzos, o problema permaneceu sen solución e constituía, en palabras do mesmo Lagrange, "Un reto para a mente humana".

Consecuentemente foi unha sorpresa enorme para todos os matemáticos cando en 1824 veu a luz o traballo dun novo xenio noruegués chamado Niels Henrik Abel (1802 - 1829), no cal dábase unha proba de que se os coeficientes dunha ecuación se tomaban simplemente como letras, entón non existe ningunha expresión alxébrica con devanditos coeficientes que fose solución da ecuación correspondente. Entón, os esforzos dos máis grandes matemáticos de todos os países por tres séculos para resolver ecuacións de grao maior que catro por radicais non foi coroado polo éxito, pola sinxela razón de que este problema, simplemente, non ten solución.

Esas fórmulas son coñecidas para ecuacións de segundo, terceiro e cuarto grao, pero para ecuacións de grao maior non existen tales fórmulas

Pero iso non é todo aínda. Un resultado extremadamente importante na teoría das ecuacións alxébricas esperaba aínda ser descuberto. O feito é que hai moitas formas especiais de ecuacións de calquera grao que si se poden resolver por radicais, e moitas delas son exactamente as que son importantes para resolver problemas concretos da realidade.

Resumindo, despois do descubrimento de Abel a situación era a seguinte:

Aínda que a ecuación xeral de grao maior que 4 non se podía resolver por radicais, hai un número ilimitado de ecuacións de grao maior a catro que si se poden resolver por radicais. A pregunta era ¿cales ecuacións si se poden resolver por radicais e cales non? ou noutras palabras: ¿que condicións debe cumprir unha ecuación para que poida ser resolta por radicais? A resposta a este problema que daba fin a todo este asunto das ecuacións deuna o brillante matemático francés Evariste Galois. (1811-1832).

Malia o curto da súa vida, Galois fixo descubrimentos moi avanzados para o seu tempo en moitas ramas da matemática e, en particular, deu a solución ao problema que quedaba pendente na teoría das ecuacións alxébricas nun pequeno manuscrito titulado "Memoria sobre as condicións para resolver as ecuacións por radicais", que foi escrito en trinta e unha páxinas case inintelixibles escritas á présa a noite antes do duelo en que foi morto á idade de 20 anos.

En todo o anterior falamos dos intentos durante tres séculos, para resolver por radicais calquera ecuación de calquera grao. O problema resultou ser máis difícil e máis profundo do que se pensaba nun principio e deu orixe á creación de novos conceptos, importantes non só para o álxebra senón tamén para a matemática en xeral. Para a solución práctica das ecuacións o resultado de todo este traballo foi o seguinte:

Unha fórmula xeral para as ecuacións está moi lonxe de existir e, aínda nos casos particulares en que existe, era de pouca utilidade práctica por mor das operacións sumamente complicados que se tiñan que facer. (Actualmente as computadoras facilitan todo ese traballo).

En vista do anterior, os matemáticos desde hai moito empezaron a traballar en tres direccións completamente diferentes, que son:

1. No problema da existencia de raíces (solucións).
2. No problema de saber algo das solucións só traballando cos seus coeficientes.
3. No cálculo aproximado das raíces ou solucións dunha ecuación.

As ecuacións na xeometría

Xeometría analítica

Unha sección cónica é a intersección dun plano e un cono de revolución.

Na xeometría euclidiana, é posible asociar un conxunto de coordenadas a cada punto do espazo, por exemplo mediante unha cuadrícula ortogonal. Este método permite caracterizar as figuras xeométricas mediante ecuacións. Un plano nun espazo tridimensional pode expresarse como o conxunto de solucións dunha ecuación da forma $ax+by+cz+d=0$, onde $a,b,c$ e $d$ son números reais e $x,y,z$ son as incógnitas que corresponden ás coordenadas dun punto do sistema dado pola retícula ortogonal. Os valores $a,b,c$ son as coordenadas dun vector perpendicular ao plano definido pola ecuación. Unha recta exprésase como a intersección de dous planos, é dicir, como o conxunto de solucións dunha única ecuación lineal con valores en $\mathbb {R} ^{2}$ ou como o conxunto de solucións de dúas ecuacións lineais con valores en $\mathbb {R} ^{3}.$

Unha sección cónica é a intersección dun cono con ecuación $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ e un plano. Noutras palabras, no espazo todas as cónicas defínense como o conxunto de solucións dunha ecuación dun plano e da ecuación dun cono dado. Este formalismo permite determinar as posicións e as propiedades dos focos dunha cónica.

O uso das ecuacións permite recorrer a un amplo campo das matemáticas para resolver cuestións xeométricas. O sistema de coordenadas cartesianas transforma un problema xeométrico nun problema de análise, unha vez que as figuras se transforman en ecuacións; de aí o nome de xeometría analítica. Este punto de vista, esbozado por Descartes, enriquece e modifica o tipo de xeometría concibido polos antigos matemáticos gregos.

Actualmente, a xeometría analítica designa unha rama activa das matemáticas. Aínda que segue utilizando as ecuacións para caracterizar as figuras, tamén emprega outras técnicas sofisticadas como a análise funcional e a álxebra lineal.

Ecuacións cartesianas

Sistema de coordenadas cartesianas cunha circunferencia de raio 2 (marcada en vermello) centrada na orixe de coordenadas. A ecuación dunha circunferencia é (x − a)² + (y − b)² = r² onde a e b son as coordenadas do centro (a, b) e r é o raio.

Un sistema de coordenadas cartesianas é un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única nun plano mediante un par de números ou coordenadas, que son as distancias desde o punto, con signo máis ou menos dependendo do cuadrante no que se acha o punto, a dúas rectas perpendiculares chamadas eixes de coordenadas.

Pódese utilizar o mesmo principio para especificar a posición de calquera punto no espazo de tres dimensións mediante o uso de tres coordenadas cartesianas, que son as distancias con signo a tres planos mutuamente perpendiculares.

A invención das coordenadas cartesianas no século XVII por René Descartes (nome latinizado: Cartesius) revolucionou as matemáticas ao propor a primeira conexión sistemática entre a xeometría euclidiana e a álxebra. Utilizando o sistema de coordenadas cartesianas, as formas xeométricas (como as curvas) poden describirse mediante ecuacións cartesianas: ecuacións alxébricas que implican as coordenadas dos puntos situados na forma. Por exemplo, unha circunferencia de raio 2 nun plano, centrada na orixe de coordenadas, pode ser descrita como o conxunto de todos os puntos cuxas coordenadas x e y satisfán a ecuación x² + y² = 4.

Ecuacións paramétricas

Artigo principal: Ecuación paramétrica.

Unha ecuación paramétrica para unha curva expresa as coordenadas dos puntos da curva como funcións dunha variable, chamada parámetro.

${\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}$

son as ecuacións paramétricas da circunferenca unitaria, onde t é o parámetro. En conxunto, estas ecuacións chámanse unha "representación paramétrica" da curva.

A noción de ecuación paramétrica xeneralizouse a superficies, variedades e variedades alxébricas de maior dimensión, sendo o número de parámetros igual á dimensión da variedade, e o número de ecuacións igual á dimensión do espazo no que se considera a variedade (para as curvas a dimensión é un e utilízase un parámetro, para as superficies a dimensión é dous e dous parámetros, etc.).

Véxase tamén

Outros artigos

• Ecuación de primeiro grao
• Ecuación de segundo grao
• Ecuación de terceiro grao
• Ecuación de cuarto grao
• Ecuación de quinto grao
• Inecuación
• Ecuación química