Raíz cadrada
En matemáticas, a raíz cadrada dun número real non negativo x é o número real non negativo que, multiplicado consigo mesmo, dá x. A raíz cadrada de x escríbese . Por exemplo, , xa que 4 × 4 = 16, e . As raíces cadradas son importantes na resolución de ecuacións cadráticas.
A xeneralización da función raíz cadrada ós números negativos dá lugar ós números imaxinarios e ao corpo dos números complexos.
O símbolo da raíz cadrada empregouse por primeira vez no século XVI. Especúlase con que tivo a súa orixe nunha forma alterada da letra r minúscula para representar a palabra latina "radix", que significa "raíz".
Definición
editarSexa n un número natural non nulo. A función x → xn define unha bixección, de R para R se n é impar, e de se é par.
Chámase enésima raíz, ou raíz de orde n á súa función inversa, e denótase:
. (dúas notacións posibles)
Para todo n natural, a e b reais positivos, temos a equivalencia:
.
No gráfico seguinte, hai debuxadas as curvas dalgunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A diagonal da ecuación y = x é eixo de simetría entre cada curva e a curva da súa recíproca.
Cambiando de escala:
A raíz de orde dúas chámase raíz cadrada e, por ser a máis frecuente, escríbese sen superíndice: en vez de .
A raíz de orde tres chámase raíz cúbica.
O cálculo efectivo da raíz faise mediante as funcións logaritmo e exponencial:
.
Tódolos ordenadores e calculadoras empregan este método. O problema é que este cálculo non funciona cos números negativos, porque o logaritmo usual so está definido en (0; + ∞). De aí unha tendencia, aínda minoritaria, de definir as raíces a partir desta fórmula, e polo tanto de restrinxir os seus dominios de definición a (0; + ∞).
Propiedades
editarAs seguintes propiedades da raíz cadrada son válidas para tódolos números positivos x, y (e, no primeiro caso, distintos de cero):
- para todo número real x (véxase valor absoluto)
- , que é outro xeito de expresar a raíz cadrada.
A función raíz cadrada, en xeral, transforma números racionais en números alxébricos; é racional se e só se x é un número racional que pode escribirse como fracción dos cadrados perfectos. Se o denominador é 12 = 1, entón trátase dun número natural. En cambio, é irracional.
A función raíz cadrada, como inversa que é da potenciación por 2, transforma a superficie dun cadrado na lonxitude do seu lado.