Raíz (matemáticas)

En Matemáticas, a raíz enésima dun número x é un número r que elevado á enésima potencia é igual a x

onde n é o índice da raíz. Unha raíz de índice 2 chámase raíz cadrada e a de índice 3, raíz cúbica. As raíces de índice superior chámanse empregando o ordinal, como raíz cuarta ou raíz quinta.

Por exemplo:

  • 2 é a raíz cadrada de 4, porque 22 = 4.
  • −2 tamén é raíz cadrada de 4, porque (−2)2 = 4.

Na análise matemática, as raíces son tratadas como un caso particular de potenciación, onde o exponente é unha fracción:

As raíces adoitan ser escritas empregando o símbolo , con indicando unha raíz cadrada, unha raíz cúbica, unha raíz cuarta e así sucesivamente. Na expresión , n é o índice e x é o radicando. Calquera expresión que conteña unha raíz é chamada expresión radical.

HistoriaEditar

A orixe do símbolo de raíz √ é dubidosa. Moitos expertos, incluíndo Leonhard Euler,[1] cren que procede da letra "r", inicial da palabra latina "radix", que significa "raíz". O símbolo aparece impreso por vez primeira, sen o trazo horizontal, en 1525 na obra Die Coss do matemático alemán Christoff Rudolff.

PropiedadesEditar

 
As catro raíces cuartas de -1, ningunha delas real
 
As tres raíces cúbicas de −1,
unha delas real negativa

Todos os números reais positivos teñen raíz real enésima. Se o índice da raíz é impar esta raíz é un único número positivo. Se o índice é par a raíz é dobre (un número e o seu oposto).

Os números reais negativos non teñen raíz real se o índice da raíz é par e teñen como raíz un único número real negativo se o índice da raíz é impar.

A raíz dun número real que non sexa potencia perfecta é un número irracional.

Un número complexo distinto de 0 ten n raíces distintas de índice n.

Os números reais cumpren:

 
 
 

Porén, pode haber problemas no caso dos números complexos. Por exemplo:

 

pero

 

se tomamos un certo valor da raíz.

Simplificación de expresións radicaisEditar

Unha expresión radical está simplificada se[2]

  • Ningún factor do radicando pode ser escrito como potencia de expoñente maior có índice da raíz.
  • Non hai fraccións baixo o símbolo de raíz.
  • Non hai expresións radicais no denominador.

Por exemplo, para simplificar a expresión   podemos buscar un cadrado perfecto dentro da raíz e sacalo fóra:

 

Logo, ao haber unha fracción no radical cambiamos como segue:

 

Finalmente quitamos a raíz do denominador:

 

Cando no denominador hai unha suma de raíces pódese atopar un factor polo que multiplicar numerador e denominador para simplificar a expresión, o que se denomina racionalizar:

 

Serie infinitaEditar

A raíz pode ser representada coa serie:

 

con  .

Función raízEditar

Sexa n un número natural non nulo. A aplicación x → xn define unha función, de   en   se n é impar, e de   se   é par. Chámase raíz enésima, ou raíz de índice[3] n á súa función recíproca, e indícase:  .

No gráfico seguinte, están debuxadas as gráficas das funcións definidas por algunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A recta de ecuación y = x é o eixe de simetría entre cada curva e a curva da súa recíproca.

 

Cambiando de escala:

 

NotasEditar

  1. Euler, Leonhard (1755). Institutiones calculi differentialis. 
  2. McKeague, Charles P. (2011). Elementary algebra. p. 470. 
  3. Masa Vázquez, Xosé M.; Fortes López, Belén (1995). Servicio de Normalización Lingüística da Universidade de Santiago de Compostela, ed. Vocabulario de Matemáticas. Santiago de Compostela. ISBN 84-8121-369-1. 

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar