Abrir o menú principal

En matemáticas, unha serie é a suma dos términos dunha sucesión. Represéntase unha serie con términos como

onde N é o índice final da serie. As series infinitas van desde 1 ata .

As series poden converxer ou diverxer. En cálculo, unha serie diverxe se converxe a infinito. Para os matemáticos, unha serie diverxe se non converxe a nada.

Índice

Algúns tipos de seriesEditar

  • Unha serie xeométrica é unha serie onde cada sucesivo término está producido multiplicando o término previo por unha constante. Exemplo:
 
En xeral, as series xeométricas
 
converxen se e soamente se |z| < 1.
 
  • Unha serie alternada é unha serie onde os términos alternan o signo. Exemplo:
 

Criterios de converxenciaEditar

Clasificar unha serie é determinar se converxe a un número real ou se diverxe (  ou oscilante). Para isto existen distintos criterios que, aplicados á serie en cuestión, mostrarán de que tipo é (converxente ou diverxente).

Se unha serie   é converxente, entón  .

O recíproco non é certo. Por iso, o contra recíproco é:

Se   entón   é diverxente

Criterio de D'AlembertEditar

Sexa unha serie  , tal que   (términos non negativos).

Se existe

 

con  , o Criterio de D'Alembert establece que:

  • se l < 1, a serie converxe.
  • se l > 1, a serie diverxe.
  • se l = 1, non é posible dicir nada sobre o comportamento da serie.

Neste caso, é necesario probar outro criterio, coma o criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)Editar

Sexa unha serie  , tal que   (terminos non negativos). E supoñamos que existe

 , siendo  

Entón, se l < 1, a serie é converxente. En cambio se l > 1 entón a serie é diverxente. Ó igual que o criterio de D'Alembert, se l=1, non podemos concluir nada a priori, debemos ver o criterio de Raabe, para ver se podemos concluir algo.

Criterio de RaabeEditar

Normalmente utilizase despois de comprobrar os criterios de D'Alembert e da raíz. Nalgunhas series, pode ocorrer que o límite que nos de  , sexa distinto usando os dous criterios. Cando isto ocorre, recorremos ó criterio de Raabe. Tamén debemos recorrer a el cando o límite de   que nos produce é igual a 1 (mediante os criterio de D'Alembert e da raíz).

Sexa unha serie  , tal que   (términos non negativos). E supoñamos que existe

 , sendo  

Por tanto, se l > 1, entón a serie é converxente e se l < 1, a serie é diverxente

Ter coidado aquí, pois as conclusións son ó contrario que nos criterios de D'Alembert e da raíz.

Tipos de converxenciaEditar

Converxencia absolutaEditar

Unha serie   converxe absolutamente se

 

As series utilízanse moito na análise complexa e a análise funcional, onde é relevante se unha serie converxe.


 
 Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.
 Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.