Cadrado perfecto

Un número cadrado perfecto en matemáticas, ou un número cadrado, é un número enteiro que é o cadrado doutro; ou dito doutro xeito, é un número que ten como raíz cadrada un número natural.

Un número é un cadrado perfecto se se pode dispor nunha figura cadrada. Por exemplo, 9 é un número cadrado perfecto xa que pode ser escrito como 3 × 3, e pódese dispor do seguinte xeito:

3² = 9

Un número enteiro positivo que non ten divisores cadrados fóra do 1 denomínase número libre de cadrados.

Elevar 5 ao cadrado dá a área dun cadrado de lado 5.

En álxebra, o cadrado dun número n exprésase como n², e equivale a n × n. A operación alxébrica de elevar ao cadrado un número n proporciónanos a área dun cadrado xeométrico cun lado que mide n. Por tal razón, esta operación coñécese como elevar ao cadrado.

Un número natural n elevado ao cadrado pódese linearizar por medio da seguinte expresión:

$n^{2}=\sum _{i=1}^{n}{(2i-1)}$

Así, por exemplo:

$3^{2}=\sum _{i=1}^{3}{(2i-1)}=1+3+5=9$

Que dá o mesmo resultado que a multiplicación:

$3^{2}=3\times 3=9$

Propiedades

A fórmula xeral para o n-ésimo número cadrado é n². Esta expresión é igual á suma dos n primeiros números impares, demostrable por indución matemática, rexistrada na seguinte fórmula:

$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}\;(2k-1)$

$e.g.\ 5^{2}=\sum _{k=1}^{5}\;(2k-1)=1+3+5+7+9=25$

Un cadrado par pódese expresar como a suma de dous impares consecutivos. Se cumpre a condición cabe pois $P=4n^{2}$ e exponse a seguinte ecuación:

$P=(2n^{2}+1)+(2n^{2}-1)$

Un número primo da forma $4k+1$ pódese expresar como a suma de dous cadrados:

$4k+1=m^{2}+n^{2}$

$e.g.\ k=4\rightarrow 17=16+1=4^{2}+1^{2};\quad k=9\rightarrow 37=6^{2}+1^{2}=36+1$

Os babilonios usaban táboas de cadrados para a multiplicación aplicando a fórmula:

$ab={\frac {1}{4}}[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}]$

$e.g.\ 5\times 2={\frac {1}{4}}[(5+2)^{2}-(5-2)^{2}]={\frac {49-9}{4}}={\frac {40}{4}}=10$

O teorema dos catro cadrados de Lagrange establece que calquera número enteiro positivo pode ser escrito como a suma de catro cadrados perfectos. Tres cadrados non son suficientes para ser representados como números da forma 4^k(8m + 7). Un número positivo pode ser representado como unha suma de dous cadrados precisamente se a factorización en números primos non contén potencias impares da forma 4k + 3. Esta é unha xeneralización do problema de Waring.

Segundo o último díxito do número n do que se quere calcular o seu cadrado pódese comprobar que este cadrado terá as propiedades seguintes:

1. Se o último díxito é 0, o seu cadrado acaba en 00 e os díxitos precedentes forman un cadrado.
2. Se o último díxito é 1 ou 9, o seu cadrado termina en 1 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
3. Se o último díxito é 2 ou 8, o seu cadrado termina en 4 e os díxitos precedentes forman un número par.
4. Se o último díxito é 3 ou 7, o seu cadrado termina en 9 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
5. Se o último díxito é 4 ou 6, o seu cadrado termina en 6 e os díxitos precedentes forman un número impar.
6. Se o último díxito é 5, o seu cadrado termina en 25 e os díxitos precedentes forman un número par.
7. Polo tanto, ningún cadrado perfecto enteiro acaba en 2, 3, 7 nin 8.

Exemplos

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25

A cantidade de factores (divisores) dun número cadrado perfecto é sempre impar. Ou dito doutro xeito, cúmprese que para todo número natural que non é cadrado perfecto, a cantidade dos seus factores é un número par.

Todo número natural pódese descompor en factores primos e os seus correspondentes expoñentes: $N=p_{1}^{a}.p_{2}^{b}.p_{3}^{c}...$,

onde N é un número natural, $p_{1},p_{2},...$ son números primos e a,b,c,... os seus correspondentes expoñentes. Dado que todos os posibles divisores de N son unha combinación deste produto desde a=0,1,2,..a, b=0,1,2,...b e c=0,1,2,...c, a cantidade de divisores de N é:

n = (a+1).(b+1).(c+1)... onde n é a cantidade de factores ou divisores de calquera número natural.

Posto que nun número cadrado perfecto os expoñentes a, b, c, ... son números pares, todos os factores de n serán impares e polo tanto o produto tamén é un número impar. Isto pode comprobarse revisando unha táboa de divisores.

Os primeiros 50 cadrados perfectos son:

0² = 0 ((sucesión )) (REVISAR ISTO)

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

Cadrados seguintes e anteriores a outro

Pode calcularse un cadrado a partir do anterior ou do anterior cadrado par/impar respecto doutro coñecido.

• A distancia entre un cadrado e o seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado do seguinte e restarlle 1: Se para 4² = 16, para 5² = 4² + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 - 1 = 25.

Exemplos:

cadrado 0, calcular cadrado 1: 0 + (2 * 1) - 1 = 00 + 02 -1 = 00 + 01 = 01

cadrado 1, calcular cadrado 2: 1 + (2 * 2) - 1 = 01 + 04 -1 = 01 + 03 = 04

cadrado 2, calcular cadrado 3: 4 + (2 * 3) - 1 = 04 + 06 -1 = 04 + 05 = 09

cadrado 3, calcular cadrado 4: 9 + (2 * 4) - 1 = 09 + 08 -1 = 09 + 07 = 16

cadrado 4, calcular cadrado 5: 16 + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 -1 = 16 + 09 = 25

cadrado 5, calcular cadrado 6: 25 + (2 * 6) - 1 = 25 + 12 -1 = 25 + 11 = 36

cadrado 6, calcular cadrado 7: 36 + (2 * 7) - 1 = 36 + 14 -1 = 36 + 13 = 49

Outra maneira de calcular a distancia é tendo en conta a seguinte propiedade:

A diferenza entre un número cadrado e o consecutivo (se se comeza co 0) son todos os números impares, en orde ascendente:

0 + 1 = 1

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16

• A distancia entre un cadrado e o seguinte do seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 4 veces o lado desexado -1: Se para 4² = 16, para 6² = 42 + (4 * (6-1)) = 16 + 20 = 36

Exemplos:

cadrado 0, calcular cadrado 2: 0 + (4 * (2 - 1)) = 0 + 4 = 4

cadrado 2, calcular cadrado 4: 4 + (4 * (4 - 1)) = 4 + 12 = 16

cadrado 4, calcular cadrado 6: 16 + (4 * (6 - 1)) = 16 + 20 = 36

cadrado 6, calcular cadrado 8: 36 + (4 * (8 - 1)) = 36 + 28 = 64

---

cadrado 1, calcular cadrado 3: 1 + (4 * (3 - 1)) = 1 + 8 = 9

cadrado 3, calcular cadrado 5: 9 + (4 * (5 - 1) = 9 + 16 = 25

cadrado 5, calcular cadrado 7: 25 + (4 * (7 - 1) = 25 + 24 = 49

Estes casos resultan de interese con números moi grandes, para achar en bucles o seguinte cadrado ou o seguinte cadrado de lado par/impar, especialmente en computación onde as sumas son moito menos custosas que as multiplicacións e as multiplicacións por potencias de 2 poden ser realizadas con instrucións de desprazamento de bits. Á súa vez as multiplicacións ('2 * x' ou por '4 * x' segundo o caso), dentro dun bucle pode manterse como unha suma se se garda o valor previo de suma. Nótese como en ambos os casos á dereita do todo, o seguinte cadrado, para ambos os casos resólvense con sumas.

A operación á inversa é facilmente deducible, é dicir, achar o cadrado anterior a outro dado.

• A distancia entre un cadrado e o anterior, resulta de restar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado actual e sumarlle 1: Se para 6² = 36, para 5² = 6² - (2 * 6) + 1 = 36 - 12 + 1 = 25

• A distancia entre un cadrado e o anterior do anterior, resulta de restar ao cadrado 4 veces o lado actual -1: Se para 6² = 36, para 4² = 6² - (4 * (6-1)) = 36 - 20 = 16

Cadrados como sumas

O n-ésimo número cadrado pode ser calculado do resultado obtido nas dúas anteriores posicións e ao que se lle engade o (n − 1)-ésimo cadrado de si mesmo, subtraendo o (n − 2)-enésimo cadrado, e engadindo 2 ($n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2$). Por exemplo, 2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

É a miúdo útil notar que o cadrado de calquera número pode ser representado como a suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por exemplo, o cadrado de 4 ou 4² é igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este é o resultado de engadir unha columna de grosor un ao grafo cadrado de lado tres (como nun taboleiro de tres en raia). Pódese engadir tamén tres lados e catro á parte superior para obter un cadrado. Isto pode ser tamén útil para atopar o cadrado dun número grande de forma inmediata. Por exemplo, o cadrado de 52 = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. É máis fácil así:157²=150² + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. É o primeiro sumando e os demais son máis fáciles de atopar, 303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649

Un número cadrado pode ser considerado tamén como a suma de dous números triangulares consecutivos. A suma de dous números cadrados consecutivos é un número cadrado centrado. Cada cadrado impar é ademais un número octogonal centrado.

Números cadrados pares e impares

O cadrado dun número par sempre é par (de feito é divisible por 4), xa que (2n)² = 4n².

O cadrado dun número impar é sempre impar, xa que (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

Disto séguese que a raíz cadrada dun cadrado perfecto par sempre é par, e a raíz cadrada dun cadrado perfecto impar sempre é impar. Este feito emprégase moito nas demostracións (véxase raíz cadrada de 2).

Suma dos primeiros n cadrados

Para o primeiros cinco cadrados perfectos

$\sum _{k=1}^{5}\;k^{2}=1+4+9+16+25={\frac {5(5+1)(2\times 5+1)}{6}}$

Xeneralizando para os primeiros n cadrados perfectos resulta a suma

$S_{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Construción de cadrados perfectos

• O produto de dous pares consecutivos sumánolle 1 é un cadrado perfecto

$(2n)(2n+2)+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}$

Exemplo: 52·54 + 1 = 2809, cadrado de 53.

• O produto de dous impares consecutivos máis 1 é un cadrado perfecto.

$(2n-1)(2n+1)+1=4n^{2}-1+1=4n^{2}$

Por exemplo, 95·97 + 1 = 9216. Nos dous casos achamos o cadrado da media aritmética dos factores.

• O produto de catro enteiros consecutivos aumentado en 1 é un cadrado perfecto.$(n-1)(n)(n+1)(n+2)+1=(n^{2}+n-1)^{2}$

Por exemplo 13·14·15·16 + 1 = 43681, cadrado de 209.

• O produto dun múltiplo dun número polo múltiplo transconsecutivo do mesmo máis o cadrado do xerador é cadrado perfecto.

$kn[(k+2)n]+n^{2}=n^{2}(k+1)^{2}$

Por exemplo, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Logo 21·35 + 49 = 784, cadrado de 28.

Véxase tamén

Bibliografía

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
• Weisstein, Eric W. «Square Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Outros artigos

• Potenciación
• Raíz cadrada
• Ecuación de segundo grao

Ligazóns externas

• Alpertron.com.ar Un applet XAVA que descompón un número natural na suma de catro cadrados.