Número triangular
Un número triangular conta os obxectos colocados en forma de triángulo equilátero. O n-ésimo número triangular é o número de puntos na disposición triangular con n puntos a cada lado (ver figura), e é igual á suma dos n números naturais de 1 a n. A secuencia de números triangulares, comezando co número triangular 0, é
Fórmula editar
Os números triangulares veñen dados polas seguintes fórmulas explícitas:
O feito de que o o número triangular é igual pódese ilustrar mediante unha proba visual.[1] O exemplo :
O número triangular Tn resolve o problema do apretón de mans de contar o número de apretóns de mans se cada persoa nunha habitación con n + 1 persoas dá a man unha vez a cada persoa. Noutras palabras, a solución ao problema do apretón de mans de n persoas é Tn−1.[2] A función T é o análogo aditivo da función factorial, que son os produtos de números enteiros de 1 a n.
Relacións con outros números figurados editar
Os números triangulares teñen unha gran variedade de relacións con outros números figurados (números que forman figuras).
Simplemente, a suma de dous números triangulares consecutivos é un número cadrado. Alxebraicamente,
Todos os números triangulares cadrados atópanse a partir da recursividade
Ademais, o cadrado do n-ésimo número triangular é o mesmo que a suma dos cubos dos enteiros de 1 a n. Isto tamén se pode expresar como
Outras propiedades editar
Os números triangulares corresponden ao caso de primeiro grao da fórmula de Faulhaber.
Os números triangulares alternados (1, 6, 15, 28, ...) tamén son números hexagonais.
Todo número perfecto par é triangular (así como hexagonal), dado pola fórmula
Por exemplo, o terceiro número triangular é (3 × 2 =) 6, o sétimo é (7 × 4 =) 28, o 31 é (31 × 16 =) 496 e o 127 é (127 × 64 =) 8128.
A suma dos recíprocos de todos os números triangulares distintos de cero é
O maior número triangular da forma 2k − 1 é 4095 (ver a ecuación de Ramanujan–Nagell ).
Wacław Franciszek Sierpiński formulou a pregunta sobre a existencia de catro números triangulares distintos en progresión xeométrica. Foi conxecturado polo matemático polaco Kazimierz Szymiczek como imposible e máis tarde foi probado por Fang e Chen en 2007.[3] [4]
As fórmulas que implican expresar un número enteiro como suma de números triangulares están conectadas coas funcións theta, en particular á función theta de Ramanujan.[5][6]
Aplicacións editar
Unha rede totalmente conectada de n dispositivos informáticos require a presenza de Tn − 1 cabos ou outras conexións.
Nun formato de torneo que utiliza unha fase de grupos round-robin, o número de partidos que hai que xogar entre n equipos é igual ao número triangular Tn − 1. Por exemplo, unha fase de grupos con 4 equipos require 6 partidos, e unha fase de grupos con 8 equipos require 28 partidos.
Usado tamén no problema bovino de Arquímedes.
Raíces triangulares e probas de números triangulares editar
Por analoxía coa raíz cadrada de x, pódese definir a raíz triangular (positiva) de x como o número n tal que Tn = x :
Notas editar
- ↑ "Triangular Number Sequence". Math Is Fun.
- ↑ "The Handshake Problem | National Association of Math Circles". MathCircles.org. Arquivado dende o orixinal o 10 March 2016. Consultado o 12 January 2022.
- ↑ Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression
- ↑ Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers
- ↑ Liu, Zhi-Guo (2003-12-01). An Identity of Ramanujan and the Representation of Integers as Sums of Triangular Numbers. The Ramanujan Journal (en inglés) 7. pp. 407–434. ISSN 1382-4090. doi:10.1023/B:RAMA.0000012425.42327.ae.
- ↑ Sun, Zhi-Hong (2016-01-24). "Ramanujan's theta functions and sums of triangular numbers". arXiv:1601.06378 [math.NT].
Véxase tamén editar
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Número triangular |